四“巧”助你攻“堡壘”

張正青

本章主要研究勾股定理及其逆定理，包括它們的發現、證明和應用.同學們在學習過程中，是否能夠利用勾股定理及其逆定理，靈活地運用各種數學思想方法，找到方便快捷的解題思路，是突破難點的關鍵.

一、 巧分類

勾股定理公式的作用在于已知直角三角形三邊中的兩邊，可以求出第三邊，但是當題目中沒有給出圖形或者所給出的邊長指向不明確時，很有可能造成多解的情況，這時候需要我們對已知情況進行準確分類.

例1 ?已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長為多少？

【分析】直角三角形邊長3和4并沒有表明是直角邊還是斜邊，需分兩種情況進行討論.

解：設第三邊長為x，

【點評】本題考查了分類討論思想在勾股定理中的使用，關鍵是根據直角三角形的邊準確分類.

二、 巧轉化

勾股定理的應用前提是直角三角形，當題目所提供給我們的是多邊形或立體圖形時，這就需要我們將多邊形問題轉化為三角形問題，將立體圖形問題轉化為平面圖形的問題，從而利用勾股定理來解決.

例2 ?如圖1，長方體的高為3 cm，底面是邊長為2 cm的正方形. 現有一螞蟻從頂點A出發，沿長方體側面到達頂點C處，小蟲走的路程最短為多少厘米？

【分析】螞蟻行走的路線是一條不在同一平面內的折線，要計算它的長度，就要想法把它放到一個平面內.比較幾種展開方法，將右側面展開所得的距離最短.如圖2，將右側面展開，根據“兩點間線段最短”找到最短距離是長方形的對角線，然后用勾股定理進行解答.

解：如圖2，將右側面展開，利用“兩點之間線段最短”可得出：

點A到點C的最短距離即為線段AB的長，而長方形的高AD和兩條底邊之和DB以及線段AB恰好構成了一個直角三角形，則線段A

∴螞蟻走的路程最短為5 cm.

【點評】本題考查了立體圖形上的路線問題，我們可以用“化曲為直”的方法找到最短路徑，利用勾股定理來解決.線路很多，最短路線卻是唯一的.要弄清最短的路線，不妨借助實物演示，效果將更佳.

三、 巧選擇

用勾股定理求線段的長度，很多時候不能直接計算，題目中給我們的圖形又比較復雜，存在多個直角三角形，同學們總為找不到合適的直角三角形而困惑.這就需要我們仔細分析圖形之間的關系，選擇恰當的直角三角形來構造方程，從而順利解題.

例3 ?如圖3，將長方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在BC邊的F處，AB=CD=8 cm，BC=AD=10 cm，求EC的長.

【分析】圖3中共有4個直角三角形，其中的Rt△ABF的三邊都是可求的，設EC為x后，只有Rt△EFC的三邊是可直接用含有x的式子來表示的，因此鎖定目標為Rt△EFC.然后利用勾股定理建立方程來解答.

解：設EC=x，由折疊可知，

AF=AD=10，EF=DE=DC-EC=8-x，

在Rt△ABF中，

則FC=BC-BF=10-6=4，

在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，

即x2+42=（8-x）2，

解得x=3，∴EC=3 cm.

【點評】本題呈現的問題背景為長方形中的折疊類問題，解此類題型需要我們由折疊尋找其中的等量關系，關鍵卻是選擇恰當的直角三角形，然后運用勾股定理列出方程進行解答.

四、 巧構造

運用勾股定理解決生活中的實際問題時，找到題目中所隱藏的數學模型往往是其中的難點.需要我們認真審題，將實際問題轉化為與直角三角形有關的模型，然后利用勾股定理解直角三角形.

例4 ?如圖4，某公園有這樣兩棵樹，一棵樹高8 m，另一棵樹高2 m，兩樹之間相距為8 m，請問一只小鳥從一棵樹的樹梢沿直線飛到另一棵樹的樹梢，需要飛行多少米？

【分析】根據題意，要以AB為邊構建合適的直角三角形，把求線段的問題轉化為求直角三角形邊長的問題解答.

解：連接點A、點B，過點B向較高的樹所在的直線作垂線段，垂足為C，可得到Rt△ABC，其中AC=8-2=6，BC=8.

在Rt△ABC中，

∴小鳥需要飛行10 m.

【點評】勾股定理在實際生活中的應用非常廣泛，我們應對實際問題仔細分析，并恰當地轉化為數學問題，建立與直角三角形相關的數學模型，然后通過勾股定理解決問題.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學）