一竅通時百竅通

劉春花

課本例題是一類特殊的練習題，它承載著體現數學思想、揭示數學方法、規范思考過程的使命.那么如何將一道例題的作用發揮得“入木三分”呢？例題的變式與拓展就是一個有效方法.下面就以蘇科版八年級上冊第三章《勾股定理》中的一道例題為例，嘗試對它進行變式與拓展，以幫助同學們達到學得“通”，用得“活”的目的.

一、 由“一棵樹”想到“一片森林”

如圖1，AD是△ABC的中線，AD=24，AB=26，BC=20，求AC.（課本第87頁例2）

【分析】在△ABD中，已知AB、AD及BD的長可以判定△ABD為直角三角形，從而根據中垂線的定義可判斷AD即為線段BC的中垂線，再由中垂線性質可得AC=AB.

【知識點】本題運用了勾股定理的逆定理，中垂線的定義及性質.—— 一棵樹

【知識面】本題的目的是體會直角三角形與等腰三角形之間的密切聯系，把研究等腰三角形轉化為研究直角三角形.

——幾棵樹

【知識體】本題放入直角三角形中求線段的長.事實上初中階段求線段長“放入”直角三角形是通法，不僅是勾股定理，還有三角函數.——一片森林

二、 由“一棵樹”繁衍“幾棵樹”

變式一 ? 如圖2，在等腰△ABC中，AB=AC=26，BC=20，求BC邊上的中線AD的長.

【變式依據】將原題中的一個已知與結論互換.

【變式目的】（1） 感受變中不變.雖然題目有變化，但解決問題的脈絡不變.

（2） 加強知識點與知識面之間的聯系.通過該題明晰“等腰三角形與直角三角形間的密切關聯——高線”.

變式二 ? 如圖3，在△ABC中，AB=17，AC=10，BC=21，AD是BC邊上的中線.求AD的長.

【分析】要求線段AD的長，可以將它“放入”一個直角三角形，利用勾股定理求得.那么是過A點還是D點構造直角三角形呢？若過D點構造，發現很難與已知條件建立聯系，若過A點構造，則容易與已知產生關聯，因此，先嘗試過點A作AE⊥BC，構造直角三角形.

如圖4，發現可在Rt△ABE和Rt△ACE中利用勾股定理建立方程，（設CE=x，則BE=21-x，在兩個直角三角形中表示出AE2，得172-（21-x）2=102-x2，化簡解得x=6），從而可求出線段AE、線段DE，最后再在Rt△ADE中利用勾股定理求出AD的長.

【變式依據】由特殊情況向一般情況轉化.

【變式目的】（1） 感受勾股定理的強大，在直角三角形中已知任意兩邊可求第三邊.

（2） 拓展思維，將特殊向一般轉化;形成解題策略，構造直角三角形求線段長是常用方法.

這種方法不僅在勾股定理的應用上有價值，亦能影響后續三角函數的學習.

對于學習，我們有著美好的愿望——一通百通.正如吳承恩《西游記》：“這猴王也是他一竅通時百竅通，當時習了口訣，自習自練，將七十二般變化，都學成了.”若要想“百竅通”，那么就要先“一竅通”，若要“一竅通”，有效的方法是通過例題變式深入理解其精髓，掌握其數學思想方法，最終實現“活學活用”.

三、 自己“種樹”，試一試，變一變

1. 如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E.求AE、EC的長.

【分析】首先連接BE，如圖6，根據線段垂直平分線的性質，可得AE=BE，然后設AE=x，由勾股定理可得方程：x2=92+（12-x）2，繼而求得答案.

解：連接BE，

∵AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，

∴AE=BE，設AE=x，則BE=x，EC=AC-AE=12-x，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9

【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及勾股定理.此題難度不大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用.

2. 感悟分享

嘗試精神：嘗試能成功，成功能創新.前面的路，不論是一馬平川還是千山萬壑都要自己去走、去闖、去試，才使我們的生命更有意義.那么先從上一題的變式拓展開始嘗試吧！

3. 我的變式分享

【悟空七十二變之一】

如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AC的垂直平分線交BC于D，若BC=12，求BD的長.

【答案】BD=8.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）