幾何學中的珍寶

陳世亨

一、 追溯勾股定理的文化淵源

勾股定理從被發現至今已有5000多年的歷史，5000多年來，世界上幾個文明古國都相繼發現和研究過這個定理.我國是最早了解勾股定理的國家之一，在4000多年前，我國人民就應用了這一定理.據我國一部古老的算書《周髀算經》記載，商高（約公元前1120年）答周公曰：“勾廣三，股修四，徑隅五”.這本書中同時還記載有另一位中國學者陳子（公元前7-前6世紀）與榮方在討論測量問題時說的一段話：“若求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日.”如圖1，即邪至日

這就是一般意義下的勾股定理.

2000多年前，古希臘的畢達哥拉斯（約公元前585年-公元前497年）在觀察方形瓷磚密鋪的地板面時，發現了勾股定理.因此，在國際上勾股定理又被稱為畢達哥拉斯定理.

歷史文獻記載，商高知道特殊情況下的勾股定理比畢達哥拉斯學派至少要早五六個世紀，而陳子掌握普遍性的勾股定理的時間要比畢達哥拉斯早一二百年，無可爭議，是我們的祖先最早發現勾股定理，我們為此而驕傲和自豪！

二、 體驗勾股定理的發現過程

勾股定理是古人在測量土地、研究天文和制作工具的過程中，通過很多人的經驗積累得到的.我們學習《勾股定理》時，也不妨體驗一次勾股定理的發現過程，當一回小小數學家.

活動1：探究等腰直角三角形三邊的關系.

問題：圖2中正方形A、B、C的面積有何關系？你能歸納出正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三條邊有什么特殊關系嗎？

活動2：探究網格中直角三角形三邊之間的關系.

問題1：在圖3的方格紙中，每個小方格的面積均為1，三個正方形A、B、C的面積有何關系？

問題2：圖3中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？

問題3：通過對等腰直角三角形及網格中的直角三角形三邊關系的探究，你能對任意直角三角形三邊關系提出一個合理的猜想嗎？

問題4：如圖4，直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，上面提出的猜想仍然成立嗎？你有什么方法進行證明呢？

通過對特殊情形的觀察與分析，進行合情推理，作出猜想，再對一般情形進行證明，得到所有直角三角形都具有這個性質，即如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

三、 感受勾股定理證明的魅力

勾股定理的證明方法層出不窮，至今已多達近四百種.由于《幾何原本》的廣泛流傳，歐幾里得的證明是勾股定理所有證明中最為著名的.

如圖5所示，在直角三角形ABC各邊上分別向外作正方形，連接CD、FB.

因為AC=AF，AB=AD，∠FAB=∠CAD，所以△FAB≌△CAD.

作CL∥AD.

所以S正方形ACHF=S矩形ADLM.同理可證S正方形BKGC=S矩形MLEB，

所以AB2=BC2+AC2，即a2+b2=c2.

為此，希臘人稱之為“已婚婦女的定理”;法國人稱之為“驢橋問題”;阿拉伯人稱之為“新娘圖”“新娘的坐椅”;在歐洲，又有人稱之為“孔雀的尾巴”或“大風車”.

公元3世紀，我國古代數學家趙爽和劉徽分別對勾股定理作了證明.

趙爽創制了“勾股圓方圖”，又稱“弦圖”，以弦為邊長得到正方形ABCD，把這個正方形分成四個全等的直角三角形和一個小正方形，每個直角三角形的面積為ab，中間的小正方形的面積為（a-b）2.于是便可得如下的式子：c2=（a-b）2+4×ab，化簡得c2=a2+b2.他是世界上第一個用數形結合方法得到勾股定理的人.“趙爽弦圖”是后世證明的先導，體現了圖形割補的思想.

劉徽用了“青朱出入圖”進行證明，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來（出），移到以弦為邊的正方形的空白區域內（入），結果剛好填滿，勾股定理的證明便清晰地呈現.整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，也被稱為“無字證明”.

我國古代數學家證明勾股定理是多么巧妙，多么簡捷，融幾何知識與代數知識于一體，體現了數與形的完美結合，真可謂獨具匠心.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學）