萬變不離其宗

蔣云紅

學習數學，最重要的就是靈活運用，“變”才是數學的靈魂.看到“變”，很多同學會產生恐懼，其實我們只要熟練掌握核心概念、定理，抓住其形變而神不變之處，問題就能迎刃而解.下面我們以“勾股定理”這一章中的一道課本例題為例，對它進行一些變式探究.

原題 ? （蘇教版教材八上第86頁例1）《九章算術》中有一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意即：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子3尺遠，問折斷處離地面多高？

教材中有詳細解答過程，此處不作贅述.

【變式1】一個三角形三邊長的比是3∶4∶5，它的周長是60，求這個三角形的面積.

【思路點撥】一般我們看到比例，可設一份為k，則三邊分別是3k、4k、5k，根據周長是60，得到k=5，從而三邊分別是15、20、25，但要求三角形面積，本題還要用到勾股定理的逆定理.

解：設一份為k，則三邊長分別是3k、4k、5k，有3k+4k+5k=60，∴k=5，

∴三邊的長分別是15、20、25，

又∵152+202=625，252=625，

∴152+202=252，

∴ 它是直角三角形，斜邊長為25.

∴它的面積是15×20=150.

答：這個三角形的面積是150.

【說明】變式1已知的是三邊比例關系，若要求面積，一般三角形則必須求出一邊及該邊上的高，若特殊一點可運用勾股定理的逆定理說明這個三角形是直角三角形，問題也能迎刃而解.

【變式2】如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以BD為折痕，將梯形ABCD折疊，使AD交BC于點E，點A落在點A1.

（1） 求證：BE=DE;

（2） 若AB=2，AD=3，BC=5，求△CDE的面積.

【思路點撥】

1. 圖形中出現了角平分線（折疊出現了角相等）、平行線，容易得到等腰三角形;

2. 找到合適的直角三角形，巧用勾股定理，用方程思想求解.

解：（1） ∵折疊，∴∠ADB=∠BDA1，A1B=AB=2，A1D=AD=3，

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，

∴∠BDA1=∠DBE，∴BE=DE.

（2） ∵折疊，

∴A1B=AB=2，A1D=AD=3，∠A=∠A1=90°.

在Rt△A1BE中，設BE=DE=x，則A1E=3-x，

根據勾股定理得，x2=（3-x）2+22，

【說明】折疊前后的兩個圖形是全等圖形，對應邊、對應角相等，另外還要注意多觀察圖形，找到合適的直角三角形，利用勾股定理列方程求邊長.

【變式3】如圖4所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求線段EF的長.

【思路點撥】現已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關鍵是線段的轉化，考慮到三角形的中線有特殊的性質，不妨先連接AD.

解：連接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°.

∵∠BAC=90°，AD為△ABC的中線，

∴AD=DC=DB.

∵AB=AC，AD為△ABC的中線，

∴AD⊥BC，∴∠BAD=∠B=∠C=45°.

∵∠EDA+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，∴∠EDA=∠CDF.

∴△AED≌△CFD（ASA），∴ AE=FC=5.

同理：AF=BE=12.

在Rt△AEF中，根據勾股定理得：

EF 2=AE 2+AF 2=52+122=132，∴EF=13.

【說明】通過此題，我們可以了解：當已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應通過適當的轉化把它們放在同一直角三角形中，再用勾股定理求解.

我們在練習過程中若能有意識地進行變式拓展訓練，通過對例題、習題進行多角度、多層次的演變探究，使一道題變成一類題，一類題變成多類題，在不同角度、不同層次、不同背景下構建對勾股定理的認知，定能提高分析問題、解決問題的能力.

（作者單位：江蘇省常州市翠竹中學）