知錯能改，善莫大焉

薛麗萍

勾股定理是幾何的一個基本定理，是解決幾何問題的重要工具之一，也是體現數形結合思想的紐帶.同學們在學習勾股定理時，往往會有一些錯誤的認識.現在我們一起來整理勾股定理易錯題型，找出錯因，在糾錯中學習勾股定理.

一、 定理理解不透徹，定勢思維來影響

同學們在勾股定理的理解上，往往會受思維定勢的影響，不認真審題，忽略其關鍵點，草率出手而出錯.

例1 ? 已知某直角三角形的三邊分別是3、4、x，則x2的值為_______.

【錯因分析】3、4、5是同學們最先接觸、印象最深的一組勾股數，當看到直角三角形兩邊是3和4時，受思維定勢的影響，自然而然地認為第三邊一定是5，故x2的值為25.實際上，在直角三角形中沒有明確哪邊是斜邊時，應分類討論考慮全面.

【正解】3不可能作為斜邊;當4是斜邊時，x2=7;當x是斜邊時，x2=25.故x2=7或25.

【感悟】勾股定理很容易，其中一角是直角;應用注意三條邊，分清哪條是斜邊;直角邊要平方和，斜邊平方等于它.

二、 一目十行，錯加條件留遺憾

數學解題時看到熟悉的圖形，很多同學往往粗略審題，忽略了題目的條件和與熟悉的圖形的細微差別，把未知的結論當已知條件直接使用，導致錯解.

例2 ? 如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，AD=13 cm，試求四邊形ABCD的面積.

【錯因分析】同學們在解決此題時，往往會有這樣的疑惑：我的答案是正確的，為什么不得分呢？那是因為本題中只知△ABC是直角三角形，大多數同學錯誤地理解為△ACD也是直角三角形，直接利用直角三角形的面積公式求解.而實際上△ACD的形狀需要根據其三邊長度之間的數量關系，利用勾股定理的逆定理作出判斷.

【正解】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=5 cm，∵AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD是直角，∴四邊形ABCD的面積=4×3+×5×12=36.

【感悟】解題不能憑經驗，審清題意多留心，要證直角有方法，勾股定理逆定理！

三、 根據條件來作圖，考慮全面防漏解

在數學學習中，同學們處理常見的圖形和條件時，往往容易忽視非常規圖形，造成漏解，甚至解答錯誤.我們應排除定向思維產生的錯解，周密地考慮問題，用分類討論的思想方法來解決此類問題.

例3 ? 在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，求BC的長.

【錯因分析】本題沒有直接給出符合條件的示意圖，需要同學們先根據題意畫出符合要求的圖形再解答.在作出示意圖分析問題時，我們往往習慣性地將△ABC理解成銳角三角形，沒有全面判斷三角形的形狀，出現漏解情況.在畫示意圖的過程中，我們要根據條件，考慮所作點或線的呈現順序，如第一步由AB=15可確定線段AB，第二步由AC=20確定點C時，要考慮點C的位置.當位于AB的左側，形成的∠ABC為鈍角，如圖2;當位于AB的右側，形成的∠ABC為銳角，如圖3.

【正解】如圖2，當∠ABC為鈍角時，在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=256，BD2=AB2-AD2=81，∴CD=16，BD=9，故BC=7;如圖3，當∠ABC為銳角時，可求得BC=25.

【感悟】在勾股定理的學習中，要養成良好的審題習慣，重視知識的呈現過程，運用分類討論思想，突破思維定勢，避免漏解.

四、 直覺經驗有誤區，嚴謹計算現事實

例4 ? 如圖4，一架長2.5米的梯子AB，斜靠在豎直的墻AC上，梯子的底部B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯子的底端也將向外移0.4米嗎？

【錯因分析】同學們沒有通過嚴謹的思考與計算，憑直覺會認為如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，而梯子的長度是不變的，那么梯子的底端肯定也要向外移0.4米.事實上，直覺往往會產生錯誤，我們需要運用數學知識，通過計算B1B的長度來判斷梯子的底端移動的距離.

【正解】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=2.4，∴A1C=2，Rt△A1B1C中，由勾股定理得B1C=1.5，∴B1B=0.8，∴梯子的底端應向外移0.8米.

【感悟】看似簡單的實際問題，不能光憑直覺，只有轉化為數學問題，利用勾股定理計算線段長度，才能呈現事實真相.

剖析解數學題的易錯點，對于培養數學的思維品質，提高解題能力具有重要意義，讓我們知錯能改，輕松應對勾股定理！

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）