Ekeland變分原理與Caristi不動點定理的應用

項首先，霍隆興,昌浩田

云南大學數學系

Ekeland變分原理與Caristi不動點定理的應用

項首先，霍隆興,昌浩田

云南大學數學系

本文說明了Ekeland變分原理與Caristi不動點定理的等價性，并給出這兩個定理的兩個應用.

變分原理；不動點定理；等價性

1.引言

1972年，Ekeland[1]提出一條變分原理。它的內容為：

定理1.1(Ekeland變分原理)設(X,d)是完備的距離空間，f:X{+∞}是真下半連續泛函且ixnXff(x)＞-∞.又設存在ε＞0和x0X，使得：

f(x0)＜ixnXff(x)+ε。

則對任意的λ＞0，存在x X，滿足

這條變分原理有許多應用，其中涉及從控制論到大范圍分析等許多領域[2]。

1976年，Caristi[3]發表了下列形式的不動點定理：

定理1.2(Caristi不動點定理)設X是完備的距離空間，T:X X是映射.設f:X{+∞}是真下半連續泛函且若對任意的x X，有：(ii)d(x ,x0)＜λ；

d(x,Tx) f(x)-f(Tx)，

則T在X中必有不動點。

Caristi給出了定理1.2的直接證明后，提及他后來看到Eke?land的結果，認為他的定理“本質上”等價于Ekeland變分原理。

1987年，史樹中[4]給出了一種Ekeland變分原理與Caristi不動點定理的等價性的證明，由此我們知道這兩個定理是等價的。

通過上面的論述，本文給出兩個關于Ekeland變分原理與Ca?risti不動點定理的應用。

2.主要結果

為了證明的需要，我們給出引理.

引理2.1設(X,d)是一完備的距離空間，設φ:X R+是具有下界的泛函.T:X X是一個連續映射，且滿足下列不等式：

d(x,Tx) φ(x)-φ(Tx)，x X.

則T存在不動點。

引理2.1的證明參考文獻[5]中定理2.2的證明。

定理2.1設設(X,d)是一完備的距離空間，f:X {+∞}是下方有界的下半連續泛函，并且不恒等于+∞.則對任何給定的ε＞0及λ＞0，存在xεX，使得：

并且

一般地，若xn已經取出，則下面二者必有其一成立

這樣，我們得到了一列點{}xn滿足

令n ∞可得到故是Cauchy列.由于X完備，故存在xεX，使得則有

這表明xε滿足(2.1)，下面證明xε滿足(2.2)。

用反證法證明.假設xε不滿足(2.2)，則存在使得

綜合(2.4)可得，存在N使得當n N時，有

這說明當n N時結合(2.3)可得

這與(2.5)相矛盾！定理2.1得證.

定理2.2設(X,d)是一完備的距離空間，設T:X X是一個連續映射.若對x X，存在函數ψ:X [a,+∞), a＞-∞，使得

d(x,Tx) ψ(x)-ψ(Tx)

則T有不動點。

證明設x0是X中的任意一點，則我們考慮序列：

xn=Tnx0, n=1,2, .

由定理的條件可知

d(xi,xi+1)=d(xi,Txi) ψ(xi)-ψ(Txi)=ψ(xi)-ψ(xi+1),i=0,1,2, ,

則

定義：

則φ:X [0,+∞)，并且有

即

由引理2.1，定理2.2得證。

[1]Ekeland I,Sur les problemes variationels[M],C.R.Acad.Sci. Paris.1972(275),1057-1059.

[2]Ekeland I,Nonconvex minimization problems[J].Bull.Amer. Math.Soc,1979(1):443—474.

[3]Caristi J,Fixed point theorems for mappings satisfying inward?ness conditions[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1976(215):241—251.

[4]史樹中.Ekeland變分原理與Caristi不動點定理的等價性[J].數學進展，1987(16):203—206.

[5]徐進，張超.Caristi不動點定理的推廣[J].淮南師范學院學報，2003(3):5—6.

表4 教師對學校場地器材是否滿足學生開展課外活動統計（N=26人）

教師對學校體育場地器材的滿意度，通過調查能看出沒有體育教師對學校的體育場地器材滿意，有34.4%的老師認為比較滿意，有23.1%人認為一般，認為不太滿意的占42.3%。

表5 教師對學校體育場地器材的滿意度統計（N=26）

盡管學校對于體育設施的經濟投入是比較大的，但是就調查的結果來看，老師對學校體育場地器材滿意認可度不高。

5 結論與建議

5.1結論

學生參與課外體育活動意識較強，學生參加課外體育活動的動機呈現多樣化趨勢；學生參加課外體育活動的活動頻度比較高和活動時間充裕；學生參加課外體育活動項目選擇集中在球類項目上，男生多選擇對抗性強的，女生多選擇對抗性弱且無身體直接接觸的項目；體育教師對學生進行課外體育活動場地器材認可度不高。

5.2建議

積極營造學校課外體育活動氛圍，激發學生積極參加課外體育活動中；完善學生體育設施。

參考文獻：

[1]林鋒.廣州市中學開展“陽光體育運動”的現狀調查與分析——以越秀區為例[J].廣州體育學院學報,2010(30):4 76-80

[2]吉建秋，陳穎川，周強，侯桂明.休閑文化傳播對大學生閑暇體育行為的發展研究[J].南京體育學院報：社會科學版，2004(1)：57-60.

[3]謝香道，黃勇.大學生運動休閑參與模式的調查研究[J].成都體育學院學報2003(5)：97-98.

[4]盧元鎮.中國體育社會學[M].北京：北京體育大學出版社，2000：220-221.

[5]陳小蓉.學校學生課余體育的主要影響因素[J].中國學校體育，2000(1)：53-54.

傘洪光，（1966-），男，遼寧省錦州市人，本科，現就職于遼寧鐵道職業技術學院，任體育部主任職務。