巧思妙想 靈活運用

潘成洲

勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學發展中起著重要的作用.數學思想是數學的“靈魂”，在運用勾股定理解題時，若能正確地把握數學思想方法，則可開闊思路，解題更加簡便快捷.現將幾種常見思想方法總結如下：

一、 數形結合思想

數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，將數量關系和空間形式巧妙結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數學問題的本質，發現問題中所隱含的條件.勾股定理本身就是數形結合的定理，它的驗證和應用，都體現了數形結合的思想.

例1 ? 有一直立標桿，它的上部被風吹折，桿頂著地，離桿腳20 cm，修好后又被風吹折，因新斷處比前次低了5 cm，且標桿頂著地處比前次遠10 cm，求標桿的高.

【分析】依題意作圖如圖1，數形結合求解.設第一次吹折后下段AB的長為x cm，上段BC的長為y cm，第二次吹折后下段AD的長為（x-5） cm，上段DE的長為（y+5） cm，依題意得，

y2-x2=202， ? ? ? ? ? ? ? ? ①（y+5）2-（x-5）2=302， ②

只要求出x+y的值即求出標桿的高而不必單獨求x與y的值.

解：設第一次吹折后下段AB的長為x cm，上段BC的長為y cm，

第二次吹折后下段AD的長為（x-5） cm，

上段DE的長為（y+5） cm，依題意得，

y2-x2=202， ? ? ? ? ? ? ? ?①（y+5）2-（x-5）2=302，②

由②-①得，10（x+y）=500，

∴x+y=50.

故標桿的高為50 cm.

【點評】利用三邊的平方關系或輔助線結合生活常識可獲得直角三角形，進而可求邊長或面積.數形結合思想是數學中的重要思想方法，它可以使抽象的知識轉化為形象的圖形，從而處理起來更直觀、容易，應該引起同學們的重視.

二、 方程思想

例2 ?在△ABC中，AB=10，AC=6，∠C=90°，點O是AB的中點，將一塊直角三角板的直角頂點繞點O旋轉，M、N分別為直角三角形的直角邊與AC、BC的交點.

（1） 如圖2，當點M與點A重合時，求BN的長.

（2） 當三角板旋轉到如圖3所示的位置時，即點M在AC上（不與A、C重合），猜想圖3中AM2、CM2、CN2、BN2這四條線段滿足的數量關系，并說明你得出此結論的理由.

【分析】（1） Rt△ABC中，已知AB=10，AC=6，可由勾股定理直接求出BC=8.不難發現連接AN可證AN=BN，在Rt△ACN中已知AC及AN與CN的數量關系，可設BN=x，則CN=8-x，由勾股定理得到方程62+（8-x）2=x2即能解出BN.

（2） 觀察題中線段都含有平方，聯想到勾股定理，但發現不能直接得出數量關系，只能添加輔助線構造全等將BN轉化為AE，使得AM、AE和CM、CN存在兩個直角三角形中，利用勾股定理則有AE2+AM2=EM2、CN2+CM2=MN2的數量關系，再由EM、NM相等建立等量關系便能解決問題.

解：（1） 連接AN.

∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2=64，

∵BC>0，

∴BC=8，

∵OA=OB，

∠AON=∠BON，ON=ON，

∴△OAN≌△OBN（SAS），∴AN=NB.

設BN=x，則CN=8-x.

∵Rt△ACN中，∠C=90°，

∴AC2+CN2=AN2，∴62+（8-x）2=x2，

（2） 延長NO到E，使EO=NO，連接AE、EM、MN.

∵OB=OA，

∠NOB=∠EOA，ON=OE，

∴△NOB≌△EOA（SAS），

∴BN=AE，∠B=∠EAO，∴AE∥BC，

∴∠EAC+∠C=180°.

∵∠C=90°，∴∠EAC=90°，

∵MO垂直平分EN，∴EM=MN.

∵AE2+AM2=EM2，CN2+CM2=MN2，

∴AM2+BN2=CN2+CM2.

【點評】我們發現“方程”是解決勾股定理計算問題的有效工具，思路清晰，解題簡便.我們也體會到直角三角形與等腰三角形有著密切的聯系，把研究等腰三角形轉化為研究直角三角形，轉化的思想是研究問題的一種策略.

三、 整體思想

例3 ? 已知a、b、c分別是Rt△ABC的兩條直角邊和斜邊，且a+b=14，c=10，則S△ABC=_______.

【分析】一般的想法，要求直角三角形的面積，先求出其兩條直角邊a、b，則S△ABC即可求出，但這樣求a、b非常繁雜，甚至在現階段不可能.如果注意到：S△ABC=ab，那么只要求出ab這一整體就可以了.

解：由a+b=14，兩邊平方得：a2+2ab+b2=196，所以ab=，

根據勾股定理，a2+b2=c2.

【點評】運用整體思想，有時可以直奔主題，少走彎路，使問題的解決更方便、快捷，在一定程度上，體現了解題者的目標意識.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學）