細(xì)說(shuō)“三根”

丁潔

平方根、算術(shù)平方根、立方根是《實(shí)數(shù)》一章中最重要的概念，不少同學(xué)在學(xué)習(xí)中對(duì)它們認(rèn)識(shí)模糊，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象.為了弄清它們的聯(lián)系與區(qū)別，現(xiàn)整理成幾個(gè)方面來(lái)進(jìn)行釋析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、 平方根與平方數(shù)

1. 平方數(shù)的概念

對(duì)于x2=a來(lái)說(shuō)，a是x的平方數(shù)，x是a的平方根，二者的意義不同，性質(zhì)不同，求法也不同.由x2=a求a是平方運(yùn)算，由x2=a求x是開平方運(yùn)算，兩種是互逆運(yùn)算.

因?yàn)槿魏握龜?shù)、負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)，零的平方是零，所以a總是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即a≥0.

2. 平方根的性質(zhì)

正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù).例如，36的平方根是±6，如果說(shuō)36的平方根是6就不對(duì)了，因?yàn)檫€有6的相反數(shù)-6也是36的平方根.必須注意：如果把語(yǔ)言倒過(guò)來(lái)，說(shuō)6是36的平方根，這當(dāng)然是對(duì)的.要理解表達(dá)上的這種區(qū)別.

任何一個(gè)數(shù)的平方，結(jié)果是唯一的;但一個(gè)數(shù)的平方根卻不一樣.一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，是一對(duì)相反數(shù)，這就是正數(shù)a的平方根的“雙值性”，即有兩個(gè)平方根且互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

二、 平方根與算術(shù)平方根

1. 平方根與算術(shù)平方根的關(guān)系

平方根與算術(shù)平方根的相同點(diǎn)是：正數(shù)和0既有平方根，又有算術(shù)平方根（即

中均有a≥0的要求）;負(fù)數(shù)既沒(méi)有平方根，也沒(méi)有算術(shù)平方根.

平方根與算術(shù)平方根的不同點(diǎn)是：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，是一對(duì)相反數(shù)，具有雙值性;正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)，是一個(gè)正數(shù)，具有單值性.

平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系是：平方根包含了算術(shù)平方根，或者說(shuō)算術(shù)平方根包含在平方根之中，即正數(shù)的算術(shù)平方根就是正數(shù)的兩個(gè)平方根中正的那一個(gè)，正數(shù)的負(fù)的平方根就是它的算術(shù)平方根的相反數(shù).例如，81的平方根是± =±9，是兩個(gè)數(shù)，不要錯(cuò)誤地認(rèn)為81的平方根是 =±9或± =9，因?yàn)?和9都只表示81的正的平方根，即81的算術(shù)平方根，是一個(gè)數(shù).

2. 對(duì)的新認(rèn)識(shí)

（1） 具有雙重非負(fù)性，即當(dāng)a≥0（第一個(gè)非負(fù)性）時(shí)，≥0（第二個(gè)非負(fù)性）.在解題時(shí)，我們要用好這兩個(gè)非負(fù)性.

（2） 由于算術(shù)平方根概念的引進(jìn)，使得開平方運(yùn)算簡(jiǎn)單化了.事實(shí)上，算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)的正的平方根，因此要求一個(gè)正數(shù)的平方根時(shí)，可以先求這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，再填上它的相反數(shù)，就得到這個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根了.

（3） 學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根后，勾股定理a2+b2=c2（∠C=90°）又有了新的變式：即，在解題時(shí)要靈活運(yùn)用這些變式.

三、 立方根與平方根、算術(shù)平方根

1. 立方根的性質(zhì)

①一個(gè)正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0的立方根是0;

②互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根也互為相反數(shù);

（3） 一個(gè)數(shù)的立方的立方根等于這個(gè)數(shù)本身，即=a;一個(gè)數(shù)的立方根的立方也等于這個(gè)數(shù)本身3=a.

2. 開立方運(yùn)算

求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.開立方運(yùn)算與立方運(yùn)算是互逆運(yùn)算.在x3=a中，已知x求a是立方運(yùn)算.已知a求x是開立方運(yùn)算;立方運(yùn)算中的底數(shù)與冪在開立方中分別叫做立方根和被開方數(shù)，同時(shí)，我們既要會(huì)運(yùn)用開立方運(yùn)算求立方根，又要會(huì)運(yùn)用立方運(yùn)算來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的立方根.

3. 立方根與平方根、算術(shù)平方根的異同

立方根與平方根、算術(shù)平方根都是求開方的運(yùn)算，它們既有區(qū)別，也有聯(lián)系.

（1） 立方根與平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別：

①根指數(shù)不同：平方根和算術(shù)平方根的根指數(shù)是2，且通常省略不寫;立方根的根指數(shù)是3，且不能省略不寫，否則就表示求算術(shù)平方根了，這一點(diǎn)初學(xué)者最容易出錯(cuò)，要引以為戒;

②結(jié)果不同：平方根的結(jié)果除0外，有兩個(gè)互為相反數(shù)的答案，即是雙值的;但立方根的結(jié)果只有一個(gè)，即是單值的，這一點(diǎn)與算術(shù)平方根類似;

③被開方數(shù)要求不同：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根和算術(shù)平方根，而負(fù)數(shù)有立方根，且負(fù)數(shù)的立方根仍然是一個(gè)負(fù)數(shù);

④結(jié)果等于本身的數(shù)不同：平方根等于本身的數(shù)只有0一個(gè)，算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有0和1兩個(gè)，而立方根等于本身的數(shù)有-1，0，1三個(gè).

（2） 立方根與平方根、算術(shù)平方根的聯(lián)系：

①0的立方根與平方根和算術(shù)平方根都是0;

②求立方根與平方根和算術(shù)平方根都與對(duì)應(yīng)的乘方互為逆運(yùn)算.

以上談了平方根、算術(shù)平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別，你能從中得出n次方根中奇次方根與偶次方根的聯(lián)系與區(qū)別嗎？與你的同伴交流.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）