細說“三根”

丁潔

平方根、算術平方根、立方根是《實數》一章中最重要的概念，不少同學在學習中對它們認識模糊，出現混淆現象.為了弄清它們的聯系與區別，現整理成幾個方面來進行釋析，供同學們學習時參考，希望對大家的學習有所幫助.

一、 平方根與平方數

1. 平方數的概念

對于x2=a來說，a是x的平方數，x是a的平方根，二者的意義不同，性質不同，求法也不同.由x2=a求a是平方運算，由x2=a求x是開平方運算，兩種是互逆運算.

因為任何正數、負數的平方都是正數，零的平方是零，所以a總是一個非負數，即a≥0.

2. 平方根的性質

正數a的平方根有兩個，且互為相反數.例如，36的平方根是±6，如果說36的平方根是6就不對了，因為還有6的相反數-6也是36的平方根.必須注意：如果把語言倒過來，說6是36的平方根，這當然是對的.要理解表達上的這種區別.

任何一個數的平方，結果是唯一的;但一個數的平方根卻不一樣.一個正數的平方根有兩個，是一對相反數，這就是正數a的平方根的“雙值性”，即有兩個平方根且互為相反數;0的平方根是0;負數沒有平方根.

二、 平方根與算術平方根

1. 平方根與算術平方根的關系

平方根與算術平方根的相同點是：正數和0既有平方根，又有算術平方根（即

中均有a≥0的要求）;負數既沒有平方根，也沒有算術平方根.

平方根與算術平方根的不同點是：正數的平方根有兩個，是一對相反數，具有雙值性;正數的算術平方根只有一個，是一個正數，具有單值性.

平方根與算術平方根的聯系是：平方根包含了算術平方根，或者說算術平方根包含在平方根之中，即正數的算術平方根就是正數的兩個平方根中正的那一個，正數的負的平方根就是它的算術平方根的相反數.例如，81的平方根是± =±9，是兩個數，不要錯誤地認為81的平方根是 =±9或± =9，因為 和9都只表示81的正的平方根，即81的算術平方根，是一個數.

2. 對的新認識

（1） 具有雙重非負性，即當a≥0（第一個非負性）時，≥0（第二個非負性）.在解題時，我們要用好這兩個非負性.

（2） 由于算術平方根概念的引進，使得開平方運算簡單化了.事實上，算術平方根是一個正數的正的平方根，因此要求一個正數的平方根時，可以先求這個正數的算術平方根，再填上它的相反數，就得到這個正數的兩個平方根了.

（3） 學習了算術平方根后，勾股定理a2+b2=c2（∠C=90°）又有了新的變式：即，在解題時要靈活運用這些變式.

三、 立方根與平方根、算術平方根

1. 立方根的性質

①一個正數的立方根是一個正數，一個負數的立方根是一個負數，0的立方根是0;

②互為相反數的兩個數的立方根也互為相反數;

（3） 一個數的立方的立方根等于這個數本身，即=a;一個數的立方根的立方也等于這個數本身3=a.

2. 開立方運算

求一個數a的立方根的運算，叫做開立方.開立方運算與立方運算是互逆運算.在x3=a中，已知x求a是立方運算.已知a求x是開立方運算;立方運算中的底數與冪在開立方中分別叫做立方根和被開方數，同時，我們既要會運用開立方運算求立方根，又要會運用立方運算來檢驗這個數是不是另一個數的立方根.

3. 立方根與平方根、算術平方根的異同

立方根與平方根、算術平方根都是求開方的運算，它們既有區別，也有聯系.

（1） 立方根與平方根、算術平方根的區別：

①根指數不同：平方根和算術平方根的根指數是2，且通常省略不寫;立方根的根指數是3，且不能省略不寫，否則就表示求算術平方根了，這一點初學者最容易出錯，要引以為戒;

②結果不同：平方根的結果除0外，有兩個互為相反數的答案，即是雙值的;但立方根的結果只有一個，即是單值的，這一點與算術平方根類似;

③被開方數要求不同：負數沒有平方根和算術平方根，而負數有立方根，且負數的立方根仍然是一個負數;

④結果等于本身的數不同：平方根等于本身的數只有0一個，算術平方根等于本身的數有0和1兩個，而立方根等于本身的數有-1，0，1三個.

（2） 立方根與平方根、算術平方根的聯系：

①0的立方根與平方根和算術平方根都是0;

②求立方根與平方根和算術平方根都與對應的乘方互為逆運算.

以上談了平方根、算術平方根與立方根的聯系與區別，你能從中得出n次方根中奇次方根與偶次方根的聯系與區別嗎？與你的同伴交流.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）