解決實數問題中的數學思想方法

杭靜

數學思想方法是數學知識的重要組成部分，教材中沒有專門的章節介紹它，而是伴隨著基礎知識的學習而展開的.在學習中一定要重視對常用數學思想方法的總結與提煉，它們是數學的精髓，是解決數學問題的金鑰匙，更能使人受益終身.下面我們將解決實數問題中常用的思想方法歸納如下，供同學們學習時參考.

一、 整體思想

整體思想就是在處理問題時，從整體角度思考，即將局部放在整體中去觀察分析，探究問題的解決方法，從而使問題得以簡捷巧妙地解決.

例1 ? （2015·四川資陽）已知（a+6）2 =0，則2b2-4b-a的值為_______.

【分析】由（a+6）2和 都是非負數，根據非負數性質可求出a的值和b2-2b的值，視b2-2b為整體代入，即可求出2b2-4b-a的值.

解：∵（a+6）2 =0，由非負數性質有a+6=0，b2-2b-3=0，解得a=-6，b2-2b=3，可得2b2-4b=6，則2b2-4b-a=6-（-6）=12.

【點評】求得b2-2b=3后，也可利用因式分解或配方法求出b的值為3或-1，再分類代入求值，但較復雜，且易出錯.這里發現b2-2b與2b2-4b有特殊關系，采用整體代入法，十分簡捷，由此足見數學思想方法的巨大威力！

二、 分類思想

在解決實數的有關問題時，常常需要對問題中包含的多種情況進行分類，再按類思考，尋找出完整的答案.

例2 ? （2014·甘肅白銀）已知x、y為實數，且y= 4，則x-y=_______.

【分析】根據算術平方根的被開方數非負，夾逼出x的值，x的值有兩個，所以要分類求解.

解：根據被開方數非負有x2-9≥0和9-x2≥0，即x2-9≥0和x2-9≤0，從而x2-9=0，即x2=9，解得x=±3，此時y=4.當x=3，y=4時，x-y=3-4=-1;當x=-3，y=4時，x-y=-3-4=

-7;∴x-y=-1或-7.

【點評】對于算術平方根，被開方數必須非負才有意義，所以如果一對相反數同時為算術平方根的被開方數，那么被開方數為0.

三、 模型思想

在解決實數的有關問題時，常常先要構造非負數（如絕對值、偶次方、算術平方根等）的和為0的模型，再利用非負數的性質來解決問題.

例3 ? （1） （2011·四川內江）已知6-3m+（n-5）2=3m-6-，則m-n=_______;

（2） （2011·山東日照）已知x，y為實數，且滿，那么x2011-y2011=_______.

【分析】一個方程兩個未知數，且已知條件中有非負數，因此構造非負數和為0的模型來求解.

解：（1） 由題意，得m≥3，6-3m≤0，于是原式可化為3m-6+（n-5）2=3m-6-，即（n-5）2+=0，∴n=5，m=3，m-n=-2;

（2） 已知式子可變形為：（1-y）=0，由于被開方數非負，且算術平方根也非負，則只有當都為0時此式才成立，即1+x=0，1-y=0，解得x=-1，y=1，代入到x2011-y2011=-1-1=-2.

【點評】先對已知等式進行變形，構造出幾個非負數的和為0的等式，再利用非負數的性質即可解決問題.

四、 數形結合思想

利用數軸上點與實數之間的一一對應關系，由點的位置來判定有關代數式值的符號，再利用得到的結論來解決問題.

例4 ? （2015·山東棗莊）實數a，b，c在數軸上對應的點如圖1所示，則下列式子中正確的是（ ? ? ?）.

A. ac>bc B. a-b=a-b

C. -a<-b-b-c

【分析】先根據各點在數軸上的位置比較出其大小，再對各選項進行分析即可.

解：∵由圖可知，a-b，故C選項錯誤;∵-a>-b，c>0，∴-a-c>-b-c，故D選項正確.綜上所述，選D.

【點評】本題考查的是實數與數軸上點所表示的數之間的關系，熟知數軸上各點與實數是一一對應的關系是解答此題的關鍵.要謹防忽視符號而造成錯誤.在計算數軸上線段長度時，要注意點的坐標與線段長的互換，謹防“符號病”.

五、 轉化思想

轉化是初中數學中常見的一種數學思想，它的應用十分廣泛，在研究和解決實數問題時，經常將復雜問題轉化成簡單問題，將疑難問題轉化成容易問題，將未解決的問題轉化成已解決的問題.

例5 ? （2010·山東泰安）1，2，3，…，100這100個自然數的算術平方根和立方根中，無理數的個數有_______個.

【分析】本題要求無理數的個數，比較復雜.轉化一下思考問題的角度，找無理數的個數困難，可先找有理數的個數，分別找出1，2，3，…，100這100個自然數的算術平方根和立方根中有理數的個數后，則無理數的個數就容易求出了.

解：∵12=1，22=4，32=9，…，102=100，

∴1，2，3，…，100這100個自然數的算術平方根中，有理數有10個，

∴無理數有90個;

∵13=1，23=8，33=27，43=64<100，53=125>100，∴1，2，3，…，100這100個自然數的立方根中，有理數有4個，

∴無理數有96個.

∴1，2，3，…，100這100個自然數的算術平方根和立方根中，無理數共有90+96=186個.

【點評】直接求解比較復雜，但如果將確定無理數的個數轉化為確定有理數的個數，變復雜為簡單，求解就十分簡捷了.巧妙地轉化幫助我們提高了解題的速度，足見轉化的妙用.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）