高中數(shù)學(xué)解題中的分類討論情形解讀

摘 要：文章主要研究了分類討論思想在高一數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。筆者從高中數(shù)學(xué)分類討論解題策略出發(fā)，對該思想應(yīng)用中的注意事項進行探究，結(jié)合實際案例和自身解題經(jīng)驗，深入挖掘了分類討論在不同類型高一數(shù)學(xué)問題處理中的應(yīng)用效益。文章對高一數(shù)學(xué)解題能力的提升具有一定的貢獻性作用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；分類討論；策略；應(yīng)用

一、高中數(shù)學(xué)解題中分類討論解題策略

分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決問題的一種思想。高一數(shù)學(xué)解題的過程中分類討論涉及知識內(nèi)容較多，在對上述題目進行處理的過程中我們可以將自己學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識全面融合在一起，結(jié)合分層討論解題方法不斷拓寬自身解題思維，培養(yǎng)自身解題能力。筆者在自身分類討論解題過程中發(fā)現(xiàn)，該思想運用的過程中要把握好分類的原則、方法和技巧，其具體包括：

（1）明確原因。分類討論的過程中要對引起討論的原因進行明確，在高一數(shù)學(xué)知識內(nèi)容基礎(chǔ)上尋找相應(yīng)的分類因素，這樣才能夠高效益、高質(zhì)量地完成各項分類，為后續(xù)討論奠定堅實的基礎(chǔ)，如概念內(nèi)涵分類、公式條件分類、實際意義分類等。

（2）掌握方法。高一數(shù)學(xué)解題分類討論的過程中要對分類討論的方法進行合理選取，保證分類原則統(tǒng)一，針對該原則對各類別對象進行統(tǒng)一劃分，形成科學(xué)類別，即“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏”。

（3）討論整合。分類完成后要結(jié)合具體類別狀況實施針對性分析，運用邏輯推理和分類解題技巧，各個擊破，確定各個類別中的相應(yīng)狀況。分類討論完成后要對各個類比的結(jié)果進行整合，在高中數(shù)學(xué)原題限定條件下確定最終結(jié)論，將結(jié)果整體化。

二、高中數(shù)學(xué)解題中分類討論情形的應(yīng)用

（一）在函數(shù)中的應(yīng)用

例1：設(shè)函數(shù)f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，求函數(shù)f（x）的最小值。

【分析】從題目條件來看，本次求解的過程中的a值不唯一，可以劃分為x≤a和x>a兩種情況。除此之外，a的值也需要在化簡后繼續(xù)討論，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，找出最小值。

【解答】（1）當(dāng)x≤a時，函數(shù)，

若，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減。

從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為.

若，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為，

當(dāng)x>a時，函數(shù).

若，則函數(shù)f（x）在[a，+∞]上的最小值為，

若，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）單調(diào)遞增。

從而函數(shù)f（x）在[a，+∞]上的最小值為，

綜上，當(dāng)時，函數(shù)f（x）的最小值為；

當(dāng)時，函數(shù)f（x）的最小值是；

當(dāng)時，函數(shù)f（x）的最小值是.

（二）在數(shù)列中的應(yīng)用

例2 已知{an}是首項為2，公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項和。

求是否存在自然數(shù)c和k，使得成立。

【分析】這道題主要考查等比數(shù)列、不等式知識以及探索和論證存在性問題的能力，筆者認(rèn)為求解的過程中可以依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡單的分式不等式，在該基礎(chǔ)上分析不等式的可能性，確定不等式參數(shù)狀況，從而獲得答案。本題可以對雙參數(shù)k，c輪流分類討論。

【解答】由題可知，（n∈N*），要使，只要.

因為，所以，（k∈N*）

故只要，（k∈N*）即可。

因為，（k∈N*） ①

所以.

又，故要使①成立，c只能取2或3。

當(dāng)c=2時，因為S1=2，所以當(dāng)k=1時，c

當(dāng)k≥2時，因為，由，（k∈N*）得.

故當(dāng)k≥2時，，從而①不成立。

當(dāng)c=3時，因為S1=2，S2=3，

所以當(dāng)k=1，k=2時，不成立，從而①不成立。

因為，又，所以當(dāng)k≥3時，，①成立。

綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使成立。

（三）在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例3 已知向量，，，且，求的值和的值。

【分析】本題以向量的垂直為依托，實質(zhì)上考查的是三角恒等變換。筆者認(rèn)為在解題過程中可以巧妙借助題意條件，對三角函數(shù)中參數(shù)的可能性進行分類討論和判斷，對三角函數(shù)值的進行全面把握，這樣才能夠快速、正確地解答。

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三、總結(jié)

分類討論作為高一數(shù)學(xué)解題中的重要思想，可以通過題目內(nèi)容的分類深入挖掘問題本質(zhì)，對問題的隱含條件、限制條件、關(guān)系條件等進行明確，從而提升高中數(shù)學(xué)解題正確率。我們在數(shù)學(xué)問題處理的過程中可以適當(dāng)運用該思想，將其與其他數(shù)學(xué)解題技巧融合運用，對數(shù)學(xué)問題可能性進行討論和解答。尤其是在數(shù)學(xué)解題出現(xiàn)“卡殼”問題后，可以運用該思想轉(zhuǎn)化問題處理角度，劃分出各項可能的情形，各個擊破，最終“柳暗花明”。

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作者簡介：

蔣力昕（1998.9— ），女，籍貫：江蘇鎮(zhèn)江，共青團員，研究方向：嘗試探討學(xué)生管理工作。

（作者身份證號碼：350102199809146741）