橋梁動力測試信號的自適應分解與重構(gòu)

第一作者單德山男，博士,教授，博士生導師，1969年生

橋梁動力測試信號的自適應分解與重構(gòu)

單德山，李喬，黃珍

(西南交通大學土木工程學院橋梁工程系，成都610031)

摘要：針對橋梁結(jié)構(gòu)動力測試信號噪聲水平高、難以分離結(jié)構(gòu)有效信號的特點，在總體平均經(jīng)驗模態(tài)分解方法和主成分分析的基礎(chǔ)上，建立了自適應分解與重構(gòu)方法。對經(jīng)驗模態(tài)分解結(jié)果的模態(tài)混疊現(xiàn)象進行深入分析，利用白噪聲概率密度函數(shù)的均勻性對模態(tài)混疊模式一進行了改進，基于相關(guān)性分析改進了模態(tài)混疊模式二，改進后的分解方法在計算效率和分解精度上均有較大提升；隨后對所有分解獲得的固有模態(tài)函數(shù)進行多尺度主成分分析，實現(xiàn)降噪和選擇并重構(gòu)測試信號。分別用模擬信號和實際橋梁測試信號對所提方法的有效性進行了驗證。結(jié)果表明：改進后的信號自適應分解和重構(gòu)方法能在降噪的同時，有效地提取橋梁結(jié)構(gòu)信息，可用于實際橋梁結(jié)構(gòu)的動力測試分析中。

關(guān)鍵詞：橋梁；動力測試；EEMD；信號分解；信號重構(gòu)

基金項目：國家自然科學基金(51078316)；國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(2013CB036300-2)；四川省科技計劃項目(2011JY0032)；鐵路科技研究開發(fā)計劃項目(2011G026-E、2012G013-C)

收稿日期：2013-12-05

中圖分類號:U448.25;U448.27文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學

Adaptive decomposition and reconstruction for bridge structural dynamic testing signals

SHANDe-shan,LIQiao,HUANGZhen(Bridge Engineering Department, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:In order to extract structural information from bridge structural dynamic signals with high noise level, a novel adaptive decomposition and reconstruction method was proposed by combining the ensemble empirical mode decomposition (EEMD) method and the principal component analysis (PCA) method for the specific characteristics of bridge structural dynamic signals. Based on the in-depth analysis of mode mixing in results of empirical mode decomposition, the uniformity of probability density function of white noise was adopted to improve the pattern I of mode mixing, and the correlation analysis was used to ameliorate the pattern II of mode mixing, then the calculation efficiency and decomposition accuracy were upgraded greatly for the improved EEMD. The multi-scale principal components analysis was implemented for all of the intrinsic mode functions (IMFs) obtained with the improved EEMD to reduce noise and select IMFs. Moreover, the dynamic signals were reconstructed. The effectiveness of the proposed method was verified with both the simulated signals and testing signals from real bridge structures. The results showed that the proposed method can be used to decompose adaptively and denoise effectively the bridge dynamic signals with high noise, and extract accurately the structural information from the testing signals, furthermore, it is applicable for the dynamic testing analysis of real bridge structures.

Key words:bridge; dynamic test; ensemble empirical mode decomposition (EEMD); signal decomposition; signal reconstruction

信號分解技術(shù)廣泛應用于橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別中，如Fourier變換、小波變換以及HHT變換[1]。因HHT變換中的經(jīng)驗模式分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)能對非線性、非平穩(wěn)信號進行自適應分解而受到廣泛關(guān)注。與Fourier變換和小波變換不同的是，EMD無需基函數(shù)，屬于數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應信號分解[1]。然而，EMD也存在一些問題，如分解獲得的同一固有模態(tài)(Intrinsic Mode Function, IMF)中存在振幅完全不同的振動模式(本文定義模態(tài)混疊模式一)，或不同的IMF中存在相似的振動模式(本文定義模態(tài)混疊模式二)[2]。

針對模態(tài)混疊問題，國內(nèi)外學者提出了很多改進方法：Huang等[3]以降低EMD自適應性為代價，提出間歇檢測方法；譚善文等[4]通過約束特征尺度大小避免EMD的模態(tài)混疊，其方法也犧牲了EMD自適應性。近年來，隨著白噪聲統(tǒng)計特性研究的進展，基于EMD二進自適應濾波的特點[5]，建立了噪聲輔助數(shù)據(jù)分析(Noise-Assisted Data Analysis, NADA)[6]，在此基礎(chǔ)上Wu等[7]提出了總體平均經(jīng)驗模態(tài)分解方法(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)，該方法在EMD中加入Gaussian白噪聲對模態(tài)混疊進行改善；研究表明白噪聲添加次數(shù)越多，效果越顯著[7]。

橋梁結(jié)構(gòu)測試信號分解和重構(gòu)的目的是從分解后的成分中選擇有效成分以表征結(jié)構(gòu)的真實響應。對于EMD/EEMD方法的分解結(jié)果來說，有效成分的選擇實際上就是IMF的選擇。陳仁祥等[8]提出了自動選擇IMF分量的算法，并應用于滾動軸承振動信號的降噪；陳雋等[9]通過去除前若干階IMF分量和余量，實現(xiàn)IMF的選擇，進而對疲勞應變信號的降噪；基于IMF中噪聲信號的統(tǒng)計分析，Terrien等[10]對IMF1進行平穩(wěn)性檢驗，確定其中的有效成分，進而實現(xiàn)IMF的選擇，并應用于機械和生物信號的處理中。

然而，EEMD必會增加新的模態(tài)混疊，即重構(gòu)信號中必然包含殘余的噪聲，且由于白噪聲的隨機性使得不同噪聲的疊加將獲得不同的模態(tài)數(shù)目，進而影響總體平均的結(jié)果[7]；另外EEMD方法是通過犧牲計算效率來解決模態(tài)混疊的。既有IMF的選擇方法基本上均依據(jù)白噪聲EMD得到的IMF成分的能量密度與其平均周期的乘積為常量的特點[7]進行的。實際橋梁的動力測試多采用環(huán)境激勵的方法進行，其動力測試信號具有噪聲水平高、難以分離結(jié)構(gòu)有效信號的特點[11]。針對橋梁結(jié)構(gòu)動力測試信號特點，本文對EEMD算法進行了改進，并用多尺度主成分分析對IMF進行降噪和選擇，達到精確提取結(jié)構(gòu)有效信號的目的。

1EEMD的改進

1.1EEMD

(1)

EEMD整個過程如圖 1所示，由該圖可知，確保不同xi(t)EMD得到的IMF數(shù)量相同是關(guān)鍵所在，在不同噪聲情況，要使得每一xi(t)分解得到相同數(shù)量IMF難以保證[7]。

圖1　EEMD基本流程 Fig.1 The Flowchart of EEMD

1.2改進EEMD

EMD中存在兩種不同性質(zhì)的模態(tài)混疊情況[2]，本文從信號處理的角度出發(fā)，分別進行改進。

1.2.1模態(tài)混疊模式一的改進

(1)在信號x(t)中分別添加N個滿足N(0,1)分布的白噪聲，即：

xi(t)=x(t)+wi(t)(i=1,2,…,N)

(2)

(3)

殘量為：

(4)

(3)用EMD分解噪聲wi(t)，獲得各噪聲的IMF分量以及殘量

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(7)重復第(6)步，直到所得的殘量不再可分。測試信號x(t)的分解殘量R(t)為

(10)

測試信號x(t)可表示為

(11)

1.2.2模態(tài)混疊模式二的改進

若不同IMF中存在相同的振動模式，即不同IMF的形狀相似。為此，本文從信號相關(guān)性[12]的角度對分解獲得IMF進行相關(guān)性檢驗，進而將相同振動模式的不同IMF合并，進而改進該類模態(tài)混疊模式。

設分解后的IMFi=si(t)+ni(t)(i=1,2,…,K)，其中si(t)為IMF中的特征信號，ni(t)為噪聲。不同IMF間的互相關(guān)函數(shù)為

Rij(τ)=Rsisj(τ)+Rsinj(τ)+

Rsjni(τ)+Rninj(τ)(i≠j)

(12)

因噪聲互不相關(guān)，即Rsinj(τ)=Rsjni(τ)=Rninj(τ)=0。式(12)可寫為

Rij(τ)=Rsisj(τ)(i≠j)

(13)

(14)

2IMF的降噪與選擇

在IMF選擇中，F(xiàn)landrin等[13]認為IMF1均為噪聲，獲得IMF1的噪聲能量后，估計其他IMF的噪聲水平和置信區(qū)間，并據(jù)此對IMF進行降噪和選擇。近年的研究表明IMF1中仍可能含有結(jié)構(gòu)信息[10]；且各IMF噪聲能量的關(guān)系是在某些假設條件下建立的，對橋梁結(jié)構(gòu)動力測試信號的適應性不好。為克服該問題，采用多尺度主成分分析(Multi-scale Principal Component Analysis, MPCA)[14]處理每一IMF，實現(xiàn)IMF的降噪和選擇。

2.1主成分分析

主成分分析[12](Principal Component Analysis, PCA)在方差分析的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)投影到方差最大的正交主成分上，使得多維數(shù)據(jù)的互相關(guān)最小，進而實現(xiàn)多維數(shù)據(jù)的降維。

C=E(XXT)=Um×mΛm×mUTm×m

(15)

式中：Λ為協(xié)方差矩陣特征值的對角矩陣，Λ=diag(λ1,λ2,…,λm)，且λ1≥λ2≥…≥λm；U為特征向量組成的正交矩陣。

(16)

pi對應的特征值λi定義為該主成分的貢獻率φi

(17)

前l(fā)個主成分得累計貢獻率ψi定義為：

(18)

實際應用時，確定累計貢獻率的閾值后，即可確定主成分的選擇數(shù)量。

2.2多尺度主成分分析

多尺度主成分分析將主成分分析的正交相關(guān)性能力與小波多尺度分解[15]能力相結(jié)合[14]，利用噪聲的互不相關(guān)特點對測試信號進行降噪，從橋梁動力信號中提取結(jié)構(gòu)特征。實現(xiàn)過程如下：

(1)對IMFi(i=1,2,…,K)進行多尺度小波分解；

(2)對每一尺度進行主成分分析，計算各自小波系數(shù)的協(xié)方差矩陣、主成分分量；確定主成分數(shù)量并計算閾值，獲得大于或等于閾值的小波系數(shù)；

(3)對檢測到的顯著事件尺度進行組合，依據(jù)所選分值和閾值重構(gòu)IMF，獲得降噪后的IMFi，并計算其PCA；

(4)對降噪后IMFi進行相關(guān)性檢驗，合并具有相同振動模式的IMF，用PCA方法選擇并獲得最終的分解結(jié)果。

3測試與驗證

利用改進EEMD分解橋梁結(jié)構(gòu)測試信號后，應用MPCA對每一分解成分進行降噪，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)動力測試信號的處理，分別用模擬信號和實際橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)的動力測試信號對本文所提方法進行驗證，以說明本文改進方法的效果。

3.1模擬信號

模擬信號由兩個1 Hz和5 Hz的余弦信號疊加噪聲水平約15%的隨機噪聲組成：

分解結(jié)果如圖2所示，圖中(a)為EEMD分解結(jié)果，(b)為改進EEMD的分解結(jié)果，(c)為MPCA降噪后的結(jié)構(gòu)信號。比較圖2(a)和(b)可知：EEMD獲得10個IMF，其中IMF3為1 Hz的分量，IMF4和IMF5為5 Hz的分量，即不同的IMF包含相同的頻率成分，仍然

存在模態(tài)混疊；本文改進EEMD獲得9個IMF，其中IMF4和IMF5為主要頻率成分，不存在明顯的模態(tài)混疊；另外，EEMD方法得到IMF4和IMF5的幅值變化較大，特別是IMF5的幅值變化十分明顯，與原信號的該成分差異顯著。分析認為，本文方法的每次分解均是從原信號的殘量開始，且僅取每次分解的第1階固有模態(tài)，從而確保了模態(tài)分量的一致性，避免了EEMD中不同分解過程中模態(tài)分量不一致的問題。由圖2(b)和(c)可知改進EEMD的每一IMF中均包含結(jié)構(gòu)振動信息，若直接采用圖2(b)中的IMF4和IMF5重構(gòu)結(jié)構(gòu)信息必然造成結(jié)構(gòu)信息的丟失；MPCA處理后的各IMF噪聲水平分別99.81%，98.49%，97.48%，0.61%，0.09%，96.04%，99.98%，99.01%，其中IMF4和IMF5的噪聲水平最低，分別為0.61%和0.09%，其他IMF分量的噪聲水平很高，均大于96%；圖2(c)的結(jié)果還說明了盡管IMF1的噪聲水平很高，但不全是噪聲。

圖2　模擬信號EMD及MPCA結(jié)果 Fig.2 EMD results of simulation signal

將分解所得的所有IMF疊加后重構(gòu)信號，并與原信號進行比較，得到分解誤差，兩種方法的重構(gòu)誤差如圖 3所示，由圖可知本文方法的誤差在10-14量級，EEMD方法的誤差在10-1量級，顯然本文方法的分解精度遠大于原EEMD方法的分解精度。

圖4示出了兩種方法EMD執(zhí)行次數(shù)箱線圖，本文方法總的迭代次數(shù)為45 918，最大迭代次數(shù)出現(xiàn)IMF3的計算過程中，為73次；EEMD方法總的次數(shù)為59 940，最大迭代次數(shù)出現(xiàn)IMF5的計算過程中，為309次。本文方法的計算減少約25%，即本文方法的計算效率更好。

兩種分解方法獲得的瞬時頻率如圖 5所示，為凸現(xiàn)主要頻率成分，圖中瞬時頻率顏色的深淺與該頻率成分能量大小相關(guān)，能量越大顏色越深。由圖中可知，兩種EEMD方法均能凸顯模擬信號的頻率成分，但本文改進EEMD方法獲得的瞬時頻率更為連續(xù)和清晰，特別是1 Hz瞬時頻率，由圖 2亦可發(fā)現(xiàn)該結(jié)論。圖5中還示出了MPCA降噪后的瞬時頻率，由圖5(c)可知，降噪后的主要頻率成分比改進EEMD方法的更為清晰和連續(xù)。

圖3　模擬信號重構(gòu)誤差 Fig.3 Reconstruction error of simulation signal

圖4　模擬信號分解迭代次數(shù) Fig.4 Decomposition iteration count of simulation signal

為評判降噪后的重構(gòu)信號與不含噪聲的模擬信號的差異，計算了MPCA降噪前后的相關(guān)性(MPCA降噪前的相關(guān)性計算只選擇了改進EEMD得到的IMF4和IMF5)，降噪前后的相關(guān)性分別為0.986 7和0.986 2。雖然降噪后的相關(guān)性略有降低，但其瞬時頻率連續(xù)且清晰(如圖5(c)所示)。

圖5　模擬信號分解后的Hilbert-Huang譜 Fig.5 Hilbert-Huang spectrum of simulation signal

圖6　主梁加速度傳感器布置(單位：m) Fig.6 Layout of accelerometer on main girder(Unit: m)

圖7　13#加速度傳感器測試信號分解后的Hilbert-Huang譜 Fig.7 Hilbert-Huang spectrum of testing signal for 13# accelerometer

圖8　數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間參數(shù)識別穩(wěn)定圖 Fig.8 Stable graph of data-driven stochastic subspace system identification

3.2橋梁實測動力信號

采用某主跨1 088 m斜拉橋的主梁加速度測試數(shù)據(jù)對本文方法進行檢驗。在主梁主跨1/6截面和次邊跨1/2截面的上游和下游布置豎向加速度傳感器，共布置14個加速度計，如圖6所示。

用本文方法對所有加速度信號進行分解和重構(gòu)方法進行驗證。信號采樣頻率為20 Hz，測試時長700 s。分解和重構(gòu)的情況與模擬信號分解與重構(gòu)情況類似，改進EEMD的分解誤差與次數(shù)均遠低于EEMD分解的相應數(shù)據(jù)。圖 7示出了13#加速度信號的Hilbert-Huang譜，該圖的情況與模擬信號的Hilbert-Huang譜基本一致；因該橋跨度大，結(jié)構(gòu)柔，模態(tài)密集，因此該圖中頻率不像圖5一樣能清晰表征主要成分。為說明該問題，采用數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間方法[16]對重構(gòu)后的信號進行參數(shù)識別，識別結(jié)果如圖8所示，圖8(a)為原始測試數(shù)據(jù)的穩(wěn)定圖，圖8(b)為本文方法處理后的穩(wěn)定圖，對比這兩個穩(wěn)定圖可知，用本文方法處理后數(shù)據(jù)識別的頻率值較多，且穩(wěn)定軸更為清晰，即本文方法提取的結(jié)構(gòu)信息更為豐富，圖中還標識出了具體的頻率值，與文獻[17]的豎向頻率理論計算值吻合得很好。

4結(jié)論

經(jīng)模擬信號與實橋?qū)崪y數(shù)據(jù)的驗證，可得如下結(jié)論：

(1)改進后的EEMD方法具有較好的計算效率和分解精度，分解誤差比EEMD小很多，且其Hilbert-Huang譜更為清晰和連續(xù)；

(2)多尺度主成分分析能有效地實現(xiàn)固有模態(tài)函數(shù)的降噪和選擇；降噪后Hilbert-Huang譜清晰和連續(xù)；

(3)本文所提方法能對橋梁結(jié)構(gòu)的動力測試信號進行有效的分解和降噪，提取的結(jié)構(gòu)信息更為豐富準確；

(4)實橋測試數(shù)據(jù)的處理結(jié)果表明，本文方法能應用于實際橋梁的動力測試分析中。

參考文獻

[1]Huang N, Attoh-Okine N O. The Hilbert-Huang transform in engineering[M]. Boca Raton, USA:CRC Prese,2005.

[2]Feldman M. Hilbert transform applications in mechanical vibration [M]. John Wiley & Sons, Ltd., 2011.

[3]Huang N E, Shen Z, Long S R. A new view of nonlinear water waves: the Hilbert spectrum[J]. Annual Review of Fluid Mechanics,1999,31:417-457.

[4]譚善文,秦樹人,湯寶平. Hilbert-Huang變換的濾波特性及其應用[J]. 重慶大學學報,2004.27(2): 9-12

TAN Shan-wen, QIN Shu-ren, TANG Bao-ping. The filtering character of Hilbert-Huang transform and Its application[J]. Journal of Chongqing University,2004.27(2): 9-12.

[5]Flandrin P, Rilling G, Gonclaves P. Empirical mode decomposition as a filter bank [J]. IEEESig. Pros, 2004(11):112-114.

[6]Gledhill R J. Methods for investigating conformational change in bimolecular simulations[D]. University of Southampton, 2004:201.

[7]Wu Zhao-hua,Huang N E. Ensemble empirical mode decomposition: a noise assisted data analysis method[J]. Advances in Adaptive Data Analysis, 2009, 1(1):1-41.

[8]陳仁祥, 湯寶平, 馬婧華.基于EEMD的振動信號自適應降噪方法[J].振動與沖擊, 2012, 31(15): 82-86.

CHEN Ren-xiang, TANG Bao-ping, MA Jing-hua. Adaptive de-noising method based on ensemble empirical mode decomposition for vibration signal [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(15): 82-86.

[9]陳雋, 李想.運用總體經(jīng)驗模態(tài)分解的疲勞信號降噪方法[J].振動、測試與診斷, 2011, 31(1):15-20.

CHEN Jun, LI Xiang. Application of ensemble empirical mode decomposition to noise reduction of fatigue signal [J]. Journal of Vibrat ion, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(1):15-20.

[10]Terrien J, Marque C, Karlsson B. Automatic detection of mode mixing in empirical mode decomposition using non-stationarity detection: application to selecting IMFs of interest and denoising[J]. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2011, 2011: 37, doi:10.1186/1687-6180-2011-37.

[11]單德山, 李喬, 付春雨, 等.橋梁健康監(jiān)測與損傷評估[M].北京：人民交通出版社,2011:25-78．

[12]朱建平. 應用多元統(tǒng)計分析[M].北京: 科學出版社,2006:93-100．

[13]Flandrin P, Gon?alvés P, Rilling G. Detrending and denosing with empirical mode decompositions[C]. Proceedings of the European Signal Processing Conference (EUSIPCO ’04), Aalborg,Denmark ,2004.

[14]Aminghafari M, Cheze N, Poggi J M. Multivariate de-noising using wavelets and principal component analysis [J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2006(50)2381-2398.

[15]侯遵澤, 楊文采. 小波多尺度分析應用[M]. 北京：科學出版社, 2012.

[16]單德山，徐敏. 數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間算法的橋梁運營模態(tài)分析[J]. 橋梁建設,2011(06): 16-21.

SHAN Des-han, XU Min. Operational modal analysis of bridge structure based on data-driven stochastic subspace algorithm [J]. Bridge Construction, 2011(06): 16-21.

[17]陳文元.考慮樁土水耦合的大跨度斜拉橋地震響應與可靠度研究[D].成都：西南交通大學,2013: 30-39. P, Rilling G, Gonclaves P. Empirical mode decomposition as a filter bank [J]. IEEESig. Pros, 2004(11):112-114.

[6]Gledhill R J. Methods for investigating conformational change in bimolecular simulations[D]. University of Southampton, 2004:201.

[7]Wu Zhao-hua,Huang N E. Ensemble empirical mode decomposition: a noise assisted data analysis method[J]. Advances in Adaptive Data Analysis, 2009, 1(1):1-41.

[8]陳仁祥, 湯寶平, 馬婧華.基于EEMD的振動信號自適應降噪方法[J].振動與沖擊, 2012, 31(15): 82-86.

CHEN Ren-xiang, TANG Bao-ping, MA Jing-hua. Adaptive de-noising method based on ensemble empirical mode decomposition for vibration signal [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(15): 82-86.

[9]陳雋, 李想.運用總體經(jīng)驗模態(tài)分解的疲勞信號降噪方法[J].振動、測試與診斷, 2011, 31(1):15-20.

CHEN Jun, LI Xiang. Application of ensemble empirical mode decomposition to noise reduction of fatigue signal [J]. Journal of Vibrat ion, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(1):15-20.

[10]Terrien J, Marque C, Karlsson B. Automatic detection of mode mixing in empirical mode decomposition using non-stationarity detection: application to selecting IMFs of interest and denoising[J]. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2011, 2011: 37, doi:10.1186/1687-6180-2011-37.

[11]單德山, 李喬, 付春雨, 等.橋梁健康監(jiān)測與損傷評估[M].北京：人民交通出版社,2011:25-78．

[12]朱建平. 應用多元統(tǒng)計分析[M].北京: 科學出版社,2006:93-100．

[13]Flandrin P, Gon?alvés P, Rilling G. Detrending and denosing with empirical mode decompositions[C]. Proceedings of the European Signal Processing Conference (EUSIPCO ’04), Aalborg,Denmark ,2004.

[14]Aminghafari M, Cheze N, Poggi J M. Multivariate de-noising using wavelets and principal component analysis [J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2006(50)2381-2398.

[15]侯遵澤, 楊文采. 小波多尺度分析應用[M]. 北京：科學出版社, 2012.

[16]單德山，徐敏. 數(shù)據(jù)驅(qū)動隨機子空間算法的橋梁運營模態(tài)分析[J]. 橋梁建設,2011(06): 16-21.

SHAN Des-han, XU Min. Operational modal analysis of bridge structure based on data-driven stochastic subspace algorithm [J]. Bridge Construction, 2011(06): 16-21.

[17]陳文元.考慮樁土水耦合的大跨度斜拉橋地震響應與可靠度研究[D].成都：西南交通大學,2013: 30-39.