基于數字序列編碼遺傳算法的高層結構黏滯阻尼器優化布置

第一作者燕樂緯男，博士，講師，1978年10月生

通信作者周云男，教授，博士生導師，1965年9月生

基于數字序列編碼遺傳算法的高層結構黏滯阻尼器優化布置

燕樂緯1, 陳洋洋2，周云1

(1.廣州大學土木工程學院，廣州510006; 2. 廣州大學工程抗震研究中心，廣州510006)

摘要：提出一種基于數字序列編碼遺傳算法的高層結構黏滯阻尼器優化布置方法，解決了允許各層阻尼器安裝數量不同時，二進制編碼的標準遺傳算法不能完備表達求解空間的問題。數字序列編碼用染色體的一個基因位表示一個阻尼器的安裝位置，其數值表示該阻尼器的安裝層數。在這一編碼方案下，優化問題基因型空間中的染色體和表現型空間中的可選布置方案一一對應，編碼滿足嚴格的合法性、完備性、Lamarckian性質以及強因果性。與數字序列編碼方式相對應，離散重組交叉算子保證了種群的有效進化。此外，基于染色體目標函數值的相對大小構造適應度函數，能夠充分體現種群中染色體的適應度差異，加速種群的進化，進而獲得優化問題的全局最優解。對多遇地震下20層Benchmark結構的阻尼器布置方案進行了優化，計算結果表明了該方法的有效性。

關鍵詞：數字序列編碼；遺傳算法；相對適應度；阻尼器；高層結構

收稿日期：2014-05-07修改稿收到日期：2014-09-25

中圖分類號:O224；TU311文獻標志碼：A

Optimal positioning of viscous dampers in tall buildings based on digital sequence conding genetic algorithm

YANLe-wei1,CHENYang-yang2,ZHOUYun1(1. School of Civil Engineering, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China; 2. Earthquake Engineering Research and Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Abstract:An optimal locating method of viscous dampers in tall buildings was presented based on digital sequence coding genetic algorithm (DSCGA). Compared with standard genetic algorithm (SGA), the presented algorithm could completely represent the solution space of the optimization problem when the number of dampers was not equal in each damper-installation storey. A gene bit of digital sequence code represented an installation position of a damper, its value denoted the damper-installation storey. With the presented digital sequence coding, the size of the genotype space was exactly consistent with that of the phenotype space, while strict legitimacy, completeness, Lamarckian property, and strong causality were satisfied. The discrete-recombination cross operator, corresponding to the digital sequence coding, ensured the effective evolution of the population. Furthermore, a fitness function was constructed based on a relative objective function value, it could not only fully embody the fitness difference in population but also promote effective evolution to obtain the global optimal solution as a result. The method was applied for a typical damper positioning optimization problem, a 20-storey Benchmark structure under a frequent seismic level was considered. The efficiency and applicability of the presented algorithm were assessed.

Key words:digital sequence coding; genetic algorithm; relative fitness; damper; tall buildings

黏滯阻尼器(Viscous Damper)是一種廣泛應用于高層、超高層建筑結構的被動減震控制裝置。用遺傳算法對高層結構的黏滯阻尼器安裝位置進行優化以提高耗能效率、降低消能減震系統的成本，是當前研究的一個熱點。對于選定安裝阻尼器的樓層安裝相同數量阻尼器的優化問題，可以采用二進制編碼的標準遺傳算法(Standard Genetic，Algorithm， SGA)進行優化。在此類問題中，每一個樓層只有安裝阻尼器和不安裝阻尼器兩種狀態，這兩種狀態可以用{1,0}表示，恰好對應于遺傳算法的一個基因位。將整個高層結構的阻尼器安裝狀態列入一個數列中，就形成了標準遺傳算法的染色體。根據結構的響應設置適應度函數，對阻尼器安裝布置的參數空間進行遺傳優化，得到的最佳染色體就是優化問題的最優解，也即阻尼器的最優布置方案[1]。

但是，實際的高層結構阻尼器優化配置問題中，各層的阻尼器安裝數量不一定相同[2]，用二進制編碼的標準遺傳算法求解此類問題會遇到很大的困難甚至難以求解[3]。

針對具體的工程優化問題，選用適當的編碼和相應的遺傳算子進行優化，是遺傳算法研究一個重要的方向[4]。Dyer等[5]將實數編碼遺傳算法應用于航天工程中導彈推進系統的優化設計。Panteleev等[6]對比了二進制編碼和實數編碼遺傳算法在次優綜合控制問題中的優化效果。陳瑤等[7]利用整數編碼的遺傳算法提出了兩點組群雜交算子和基于適應值的組群啟發式變異算子，解決了管理工程中的分組優化強NP難問題。此外，Fujita等[8]和李宏男等[9]分別提出了在不同的優化目標和評價準則下對阻尼器進行優化配置的問題。

本文將在以往工作的基礎上[10-11]，設計數字序列編碼、相對適應度函數和離散重組交叉算子，解決高層結構各層阻尼器安裝數量不同時的優化布置問題。

1計算模型

1.1結構模型

阻尼器優化配置問題的研究需要反復分析不同阻尼器配置方案下的結構響應，反饋給遺傳算法進行迭代優化。以阻尼器在各層的分布狀態為設計變量時，結構體系的響應可以利用層模型的動力響應分析得到。

一般情況下，線性黏滯阻尼器的出力取決于其瞬時相對速度的大小[12]：

(1)

地震作用下，安裝黏滯阻尼器的結構體系的運動微分方程可表示如下：

(2)

1.2優化模型

高層結構阻尼器優化布置問題的一般數學表達形式為：

(3)

式中：n是結構層數，X是阻尼器的布置方案；t是動載荷作用時間；g(X,t)≤0是經過標準化處理的約束條件。

f是優化問題的目標函數。出于結構安全性和舒適性的考慮，一般需要優化結構在地震動時程內的層間位移角峰值和加速度峰值[9]。

2數字序列編碼遺傳算法

2.1編碼

用遺傳算法求解工程中的優化問題時，首先要考慮的就是所用編碼能否恰當地表示優化問題的求解空間，以及能否通過相應的遺傳算子實現問題的優化求解[13]。

由于二進制編碼的基因位只有{0,1}兩種狀態，當各層配置的阻尼器數量不相同時，不能用一個基因位表示一層的阻尼器安裝狀態。如果用多個基因位表示一層的阻尼器安裝狀態，雖然理論上可行，但隨著樓層的增加，將會使染色體編碼長度成倍增加，引發遺傳優化過程的“維數災難”而難于求解。

例如，文獻[3]用6個二進制編碼表示一層結構上的阻尼器數量，n層結構的編碼長度為6n，并用此方法對一棟6層結構進行了阻尼器優化配置(編碼長度36)。如果結構層數增加到20層，則染色體編碼長度長達20×6=120，遺傳優化過程所需的計算量和計算時間都將是難以承受的。

此外，用二進制碼串表示高層結構的阻尼器配置方案還存在合法性(legality)的問題。當安裝阻尼器的總層數預先確定時，遺傳操作各步驟產生的染色體中1的數量是不確定的，總數與給定的阻尼器安裝層數不一定相符合。要避免此問題，就需要在交叉算子和變異算子中進行限定，這也會浪費大量的計算時間和計算資源。

事實上，由于樓層數和阻尼器安裝數目均為整數，用整數序列表示高層結構阻尼器的布置狀態是最自然、最合理的方式。在總的阻尼器安裝數量確定的情況下，有兩種整數編碼方案可供選擇，即

方案A：染色體的每一項為一個基因位，表示一個樓層，其數值表示該層的阻尼器安裝數目。例如，序列(0 0 1 0 2 1 0 1 3 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0)表示在20層結構的第3、6、8、13、15層各布置一個阻尼器，在第5層布置2個阻尼器，在第9層布置3個阻尼器，阻尼器總數為10個。

方案B：染色體的每一項為一個基因位，表示一個阻尼器，其數值表示該阻尼器的安裝層數。例如，方案A中例舉的阻尼器配置方案可以表示為(3 5 5 6 8 9 9 9 13 15)。

用二進制編碼時，也有兩種編碼方式：

方案C：僅用一個基因位表示一層的阻尼器安裝狀態。由于此方案不能表示一層安裝多個阻尼器的情況，方案A、B中的例子不能用此方案表示。

方案D：用多個基因位表示一層的阻尼器安裝狀態。由于阻尼器總數為10，每層需要用4個基因位才能表示出所有可能的情況。例如第5層布置兩個阻尼器，編碼表示為(0 0 1 0)，第9層布置3個阻尼器，編碼表示為(0 0 1 1)，全部20層的編碼總長度為4×20=80。

以上四種編碼的對比如表1所示。表中所列位串長度和基因型空間的大小均以20層結構安裝10個阻尼器為例計算，此時所有的可行解數量，也即表現型空間的大小為2010。

表1　不同編碼方式的比較

從表中可以看出，方案A、C、D都會產生大量不合法的染色體，導致其不滿足Lamarckian性質(優良基因遺傳性質)，因果性(基因型空間的小擾動對應表現型空間的小擾動)較差。此外，方案C還不能表示各層阻尼器配置數量不同的狀態，不具備完備性。只有方案B基因型空間中的染色體和表現型空間的可行解一一對應，既滿足合法性，又滿足完備性。并因此而具備很強的Lamarckian性質和因果性，能夠保證遺傳優化過程的順利實施。

在方案B中，各基因位的數值僅表示樓層序號，無數值大小意義，可以稱為數字序列編碼。數字序列編碼方案和與之對應的遺傳算子相結合構成的遺傳算法，稱為數字序列編碼遺傳算法(Digital Sequence Coding Genetic Algorithm，DSCGA)。

2.2離散重組交叉算子

需要指出的是，本文所提的數字序列編碼雖然在形式上與多參數整數編碼相類似，在編碼層次上卻有著本質的區別。數字序列編碼的可變參數為阻尼器的布置方案，整個數字序列表示一種可行布置方案，序列中的每個元素表示一個阻尼器的安裝位置，處于基因層次。多參數整數編碼由多個獨立的參數序列組成，各元素之間沒有彼此依賴關系，屬于個體的局部組分層次，基因包含在元素數值之中。這一基因層次的差別反應在遺傳操作過程中，最典型的體現就是交叉算子的不同。

交叉算子是遺傳算法中最重要的遺傳算子之一。根據遺傳算法的積木塊假設，交叉算子通過重組父代的特性來產生子代，屬于基因層面的遺傳操作。由于多參數整數編碼的基因包含于序列元素的數值之中，需要采用算數交叉算子才能實現染色體的基因交換。而在本文所提的DSCGA中，序列中的元素本身就處于基因層次，其取值僅表示阻尼器安裝位置，無數值大小意義。因而對其進行算術交叉運算不僅毫無意義，而且會破壞算法的Lamarchkian性質。合理的做法是交換序列中的元素，有效地地實現基因重組，生成具備父代優良基因的子代個體。具體的操作步驟包括：

Step1：在父代種群中隨機選擇兩個個體，準備進行交叉操作。

Step2：生成一個在(0,1)上均勻分布的隨機數τ，用lc=ceil[τ(l-1)]確定交叉位置lc，式中l為位串長度，ceil[]為向上取整函數；

Step3：交換父代個體交叉位置之后的位串，生成子代個體；

Step4：對生成的子代個體重新排序，使之符合順序原則。

這一交叉算子稱為離散重組交叉算子，其形式與二進制編碼遺傳算法的單點交叉相類似。之所以能夠采用這種方式，是數字序列編碼的符號性而非數值性決定的。執行離散重組交叉算子之后，子代個體可能會出現排序混亂問題，需要用排序命令重新排序，以便執行下一步的遺傳操作。

例如，對兩個選定的準備進行交叉操作的個體：

父代個體X1：2 2 3 3│3 6 7 8 10 12

父代個體X2：1 2 2 4│5 7 7 8 11 16

若位串中豎線所在位置為隨機選定的交叉位置，則交叉得到的新個體為：

1 2 2 3 4 6 7 8 10 12

即完成了交叉操作。

2.3相對適應度函數

輪盤賭選擇算子的優點是能夠定量表示染色體適應度的差異。采用輪盤賭選擇算子時，染色體的適應度值具有絕對意義，適應度的數值大小會直接影響被選中的概率[14]。

為了實現從目標函數值到適應度函數值的映射，一般的做法是采用界限構造法構造適應度函數[15]，即

F(x)=Cmax-f(x)

(4)

為保證適應度F(x)非負，往往需要給最大值Cmax設定較大的裕度。其結果是改變了目標函數值的相對大小，輪盤賭選擇優勝劣汰的選擇意義被弱化，這將會嚴重影響遺傳算法優化的計算效率。

為解決這一問題，本文作者在文獻[10]中提出了一種基于目標函數相對大小的適應度函數構造方法。設規模為N的種群中，第i個染色體的目標函數值為f(xi)，則其適應度可以按下式計算：

(5)

這樣得到的適應度可以稱為相對適應度(Relative fitness)。采用相對適應度可以避免事先預估Cmax，計算得到的相對適應度能夠最直接地體現種群中各個染色體目標函數值之間的差異，使目標函數值(層間位移角和加速度等結構響應)小的染色體獲得較大的選擇概率，目標函數值較大的染色體獲得較小的選擇概率，目標函數值最大的染色體直接被剔除。

例如，某規模為100的種群，一次迭代計算得到的目標函數最小值為2.3×10-3，最大值為2.7×10-3，平均值為2.5×10-3。表2給出了采用界限構造法目標函數(預設界限值Cmax=4×10-3)和相對適應度目標函數時，不同層次染色體的選擇概率。

表2　采用不同適應度構造方法時的選擇概率

從表中可以看出，采用相對適應度方法構造適應度函數時，最優染色體和最差染色體被選中的概率差距明顯大于界限構造法。優良染色體的存活率將會大幅提高，帶有優良基因的模式將能以最合理的概率存活下來，而不良模式將會以很大的概率被摒棄。

2.4遺傳算法的其它問題

對應于序列編碼，采用以較低的變異概率隨機變動某一基因位的取值的方式實現染色體的變異。具體操作步驟是:①根據變異概率選定需要變異的染色體；②隨機選定一個變異位；③將變異位上的數值變異為[1,N]范圍內的任意整數值，N為結構層數。其在表現型空間的意義為：將父代給出的解所表示的某層安裝的阻尼器隨機移動到另一層。

最優保持策略是遺傳算法研究的重要成果之一。研究表明，采用了最優保持策略的遺傳算法能依概率收斂到優化問題的全局最優解，不采用最優保持策略的遺傳算法則不具備這一收斂性。在本文中，采用以下方式實現最優保持策略：計算新一代種群的目標函數值，若子代種群中最優染色體的目標函數值高于父代種群中的最優染色體(這表示父代最優染色體的適應度值優于子代最優染色體)，則用父代種群的最優染色體代替子代種群中的最差染色體，也即目標函數值最大的一個。

2.5計算流程圖

在本章的最后，給出基于DSCGA高層結構阻尼器優化配置方法的計算流程圖示于圖1。

圖1　計算流程圖 Fig.1 Calculation flowchart

3算例

本章用序列編碼遺傳算法對多遇地震下20層Benchmark模型進行阻尼器優化布置，并與二進制編碼的標準遺傳算法進行對比，以驗證本文所提方法的有效性。

3.120層Benchmark模型

20層Benchmark模型為鋼框架結構。地上20層除首層層高為5.49 m外，其余各層層高均為3.96 m。各層質量和剛度如表3所示[16]。

表3　20層Benchmark模型結構參數

3.2優化問題描述

要求在此20層Benchmark結構上安裝多個等效阻尼器系數為ceq=1.05×108N·s/m的黏滯阻尼器，選擇最佳的安裝位置，優化結構在7度多遇地震加速度時程作用下的抗震性能。

優化工作分兩個階段進行。第一階段研究阻尼器數量一定(10個)時，不同地震波作用下，DSCGA與SGA的優化配置結果對比。本文選取El Centro波、DEL AMO BLVD-90波和Northbridge波(峰值55gal)，以結構最大層間位移角和峰值加速度為優化目標進行優化。地震波的基本數據見表4。

表4　選用的3條地震波

第二階段研究研究阻尼器數量不同時，同一地震波作用下DSCGA與SGA的優化配置結果對比。仍以結構最大層間位移角和峰值加速度為優化目標進行優化，選取El Centro波(峰值55 gal)作為地震波時程輸入，對比阻尼器數量為8個、10個、12個時的優化配置結果。

采用本文提出的DSCGA和帶有精英保持策略的SGA(編碼方案C)分別進行優化。除了編碼方式之外， DSCGA和SGA的控制參數完全相同，即種群規模N=300，最大進化代數T=300，交叉概率pc=0.8，變異概率pm=0.2。

3.3優化結果對比分析

采用相對適應度時，不同代種群的適應度計算標準不同。為觀測種群的進化過程，可以用目標函數值的進化曲線來代替。圖2給出了El Centro波作用下以加速度為優化目標時的典型進化曲線。

對于所研究的地震波時程和阻尼器數量不同的每種工況，分別進行3次優化，平均計算時間約為6 500 s，合108min。第一階段和第二階段研究的優化結果分別如表5和表6所示。

圖2　進化曲線 Fig.2 Evolution curve

從表中可以看出，在不同的地震波作用下，以加速度為優化目標時，DSCGA顯然能夠獲得比SGA更好的加速度控制效果，其最優解中存在一層布置多個阻尼器的情況。如在El Centro波作用下，第4、 5層分別布

表5　不同地震波作用下的優化結果

表6　阻尼器數量不同時的優化結果

置2個阻尼器；DEL AMO BLVD波作用下，第3、4、5層分別布置2個阻尼器；Northbridge波作用下，第3層布置3個阻尼器。由于二進制編碼的SGA不能表示各層阻尼器布置數量不同的情形，無法搜索到這類可行解，因而其最優解的控制效果明顯不如DSCGA。

從表6中阻尼器安裝數量不同時的優化結果對比，可以看出一個明顯的趨勢，即阻尼器安裝的數量越多，DSCGA的優勢越明顯。阻尼器數量為8個時，DSCGA與SGA的優化效果一致，且基本集中在中下層；阻尼器數量為10個時，DSCGA的加速度優化效果已經開始優于SGA；阻尼器數量為12個時，無論是加速度還是層間位移角，DSCGA的優化效果都明顯優于SGA，所獲得的最優解中都存在一層布置多個阻尼器的情形。這是因為，當阻尼器的數量較少時，最優布置方案傾向于中下層均勻布置，其最優解包含在SGA的可行空間中；當阻尼器的數量較多時，各層阻尼器數量不同能起到更好的控制效果，其最優解已經超出了SGA可行解的范圍(即前文所述該問題的SGA編碼不具備完備性的缺點)。而數值序列編碼的完備性使得DSCGA能夠順利查找到所需要的全局最優解。

4結論與展望

針對具體的工程優化問題，選用適當的編碼和相應的遺傳算子進行優化，是遺傳算法研究一個重要的方向。為求解高層結構阻尼器優化配置(允許各層安裝不同數量阻尼器)問題，本文提出了數字序列編碼(編碼方案B)及其相應的DSCGA。

采用數字序列編碼直接目的是完備(completeness)且合法(legality)地表達的表現型空間，解決以往編碼方案不能完備表達表現型空間(方案C)或大量非法解破壞遺傳算法機理，導致GA陷入非法解陷阱(方案A、D)的問題。

與一般的整數編碼遺傳算法相比，DSCGA具有兩個明顯的創新之處：①數字序列編碼編碼充分考慮了各可選位置選用目標數量不同(以高層結構各層安裝不同數量阻尼器為例)的優化問題的特點，具備合法性、Lamarckian性和優良的因果性，解決了二進制編碼SGA不能完備表達此類優化問題的求解空間的問題；②DSCGA的編碼元素處于基于層次而非局部組分層次，僅具有序號意義，可以采用離散重組交叉算子進行交叉，而非一般整數編碼遺傳算法所用的算術交叉。

DSCGA的意義在于提供了一種求解多個可選位置選用不等數量目標的復雜優化模型的方法。數字序列編碼可以完備且合法地表達此類優化問題的表現型空間，這使得DSCGA的每一次搜索，也即每一個可行解的適應度值計算都具備尋優價值，不會陷入無謂的非法解陷阱；所用編碼與表現型空間的可行解一一對應，不會錯失優化問題的全局最優解。離散重組交叉算子的根本思想在于通過交叉將部分阻尼器的安裝位置換位，而非普通整數編碼遺傳算法所用算數交叉給出的數值運算，更加符合此類優化問題的優化機理。

對20層Benchmark模型進行阻尼器優化配置的算例表明，DSCGA可以解決此類復雜的數值優化問題。由于所用編碼與表現型空間的可行解一一對應，既不會錯過優化問題的全局最優解，也不會陷入無謂的非法解陷阱。整個優化過程所用時間約6 500 s，在可接受范圍內。

本文針對“小震不壞”設計階段，詳細研究了多遇地震作用下結構的彈性響應優化。以此為基礎，該方法有望推廣到罕遇地震作用下進入彈塑性階段的優化分析。這部分工作將是本文后續研究的方向和重點。

參考文獻

[1]Li L, Song G, Ou J. A Genetic algorithm-based two-phase design for optimal placement of semi-active dampers for nonlinear Benchmark structure [J].Journal of Vibration and Control,2010(16):1379-1392.

[2]Estekanchi H E, Basim M C. Optimal damper placement in steel frames by the Endurance Time method [J]. TheStructure Design of Tall Special Buildings, 2011(20):612-630.

[3]楊佑發，李帥，熊麗. 偏心結構黏滯阻尼器的空間位置優化[J]. 土木工程學報，2012(45):99-102.

YANG You-fa, LI Shuai, XIONG Li. Optimal distribution of fluid viscous dampers for eccentric structure [J]. China Civil Engineering Journal, 2012(45)：99-102.

[4]田莉，陳換過，祝俊，等. 基于自適應模擬退火遺傳算法的傳感器優化配置研究[J]. 振動工程學報，2012,25(3):238-243.

TIAN Li, CHEN Huan-guo, ZHU Jun, et al. A study of optimal sensor placement based on the improved adaptive simulated annealing genetic algorithms [J]. Journal of Vibration Engineering, 2012,25(3):238-243.

[5]Dyer J D, Hartfield R J, Dozier G V, et al. Aerospace design optimization using a steady state real-coded genetic algorithm [J]. Applied Mathematics and Computation, 2012(218):4710-4730.

[6]Panteleev A V, Metlitskaya D V. An application of genetic algorithms with binary and real coding for approximate synthesis of suboptimal control in deterministic systems [J].Automation and Remote Control, 2011(72):2328-2338.

[7]陳瑤，霍佳震. 整數編碼的組群遺傳算法在分組優化中的設計和應用[J]. 上海交通大學學報，2013,47(3):472-478.

CHEN Yao, HUO Jia-zhen. Number-coded grouping genetic algorithm for solving grouping problem: design and application [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2013,47 (3):472-478.

[8]Fujita K, Moustafa A, Takewaki I. Optimal placement of viscoelastic dampers and supporting members undervariable critical excitations [J]. Earthquake and Structures, 2010(1):43-67.

[9]李宏男，曲激婷. 基于遺傳算法的位移型與速度型阻尼器位置優化比較研究[J]. 計算力學學報，2010,27(2):252-257.

LI Hong-nan, QU Ji-ting. Comparison of optimalplacement of displacement-based and velocity-based dampers using genetic algorithm [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2010,27(2):252-257.

[10]燕樂緯，陳洋洋，王龍，等. 基于相對適應度遺傳算法的高層結構黏滯阻尼器優化布置[J].振動與沖擊，2014,33(6):195-200.

YAN Le-wei, CHEN Yang-yang, WANG Long, et al. Optimum installation of viscous dampers in tall buildings based on relative fitness genetic algorithm [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014,33(6):195-200.

[11]Su R K L, Yan L W.Provision of reinforcement in concrete solids using the generalized genetic algorithm [J].Journal of Computing in Civil Engineering, ASCE, 2011, 25(3): 211-217.

[12]徐趙東，馬樂為. 結構動力學 [M]. 北京： 科學出版社，2007.

[13]玄光男，程潤偉. 遺傳算法與工程優化[M]. 北京：清華大學出版社，2004.

[14]Nakama T. Markov chain analysis of genetic algorithms applied to fitness functions perturbed concurrently by additive and multiplicative noise [J]. Computational Optimization and Applications，2012, 51(2):601-622.

[15]李敏強，寇紀淞，林丹，等. 遺傳算法的基本理論與應用[M]. 北京：科學出版社，2002.

[16]Ohrori Y, Christenson R E, Spencer B F, et al. Benchmarkcontrol problems for seismically excited nonlinear buildings [J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 2004(130):366-385. L, Song G, Ou J. A Genetic algorithm-based two-phase design for optimal placement of semi-active dampers for nonlinear Benchmark structure [J].Journal of Vibration and Control,2010(16):1379-1392.

[2]Estekanchi H E, Basim M C. Optimal damper placement in steel frames by the Endurance Time method [J]. TheStructure Design of Tall Special Buildings, 2011(20):612-630.

[3]楊佑發，李帥，熊麗. 偏心結構黏滯阻尼器的空間位置優化[J]. 土木工程學報，2012(45):99-102.

YANG You-fa, LI Shuai, XIONG Li. Optimal distribution of fluid viscous dampers for eccentric structure [J]. China Civil Engineering Journal, 2012(45)：99-102.

[4]田莉，陳換過，?？?，等. 基于自適應模擬退火遺傳算法的傳感器優化配置研究[J]. 振動工程學報，2012,25(3):238-243.

TIAN Li, CHEN Huan-guo, ZHU Jun, et al. A study of optimal sensor placement based on the improved adaptive simulated annealing genetic algorithms [J]. Journal of Vibration Engineering, 2012,25(3):238-243.

[5]Dyer J D, Hartfield R J, Dozier G V, et al. Aerospace design optimization using a steady state real-coded genetic algorithm [J]. Applied Mathematics and Computation, 2012(218):4710-4730.

[6]Panteleev A V, Metlitskaya D V. An application of genetic algorithms with binary and real coding for approximate synthesis of suboptimal control in deterministic systems [J].Automation and Remote Control, 2011(72):2328-2338.

[7]陳瑤，霍佳震. 整數編碼的組群遺傳算法在分組優化中的設計和應用[J]. 上海交通大學學報，2013,47(3):472-478.

CHEN Yao, HUO Jia-zhen. Number-coded grouping genetic algorithm for solving grouping problem: design and application [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2013,47 (3):472-478.

[8]Fujita K, Moustafa A, Takewaki I. Optimal placement of viscoelastic dampers and supporting members undervariable critical excitations [J]. Earthquake and Structures, 2010(1):43-67.

[9]李宏男，曲激婷. 基于遺傳算法的位移型與速度型阻尼器位置優化比較研究[J]. 計算力學學報，2010,27(2):252-257.

LI Hong-nan, QU Ji-ting. Comparison of optimalplacement of displacement-based and velocity-based dampers using genetic algorithm [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2010,27(2):252-257.

[10]燕樂緯，陳洋洋，王龍，等. 基于相對適應度遺傳算法的高層結構黏滯阻尼器優化布置[J].振動與沖擊，2014,33(6):195-200.

YAN Le-wei, CHEN Yang-yang, WANG Long, et al. Optimum installation of viscous dampers in tall buildings based on relative fitness genetic algorithm [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014,33(6):195-200.

[11]Su R K L, Yan L W.Provision of reinforcement in concrete solids using the generalized genetic algorithm [J].Journal of Computing in Civil Engineering, ASCE, 2011, 25(3): 211-217.

[12]徐趙東，馬樂為. 結構動力學 [M]. 北京： 科學出版社，2007.

[13]玄光男，程潤偉. 遺傳算法與工程優化[M]. 北京：清華大學出版社，2004.

[14]Nakama T. Markov chain analysis of genetic algorithms applied to fitness functions perturbed concurrently by additive and multiplicative noise [J]. Computational Optimization and Applications，2012, 51(2):601-622.

[15]李敏強，寇紀淞，林丹，等. 遺傳算法的基本理論與應用[M]. 北京：科學出版社，2002.

[16]Ohrori Y, Christenson R E, Spencer B F, et al. Benchmarkcontrol problems for seismically excited nonlinear buildings [J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 2004(130):366-385.