具有形狀記憶合金絲的復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動與穩(wěn)定性

第一作者任勇生男，博士，教授，1956年7月生

具有形狀記憶合金絲的復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動與穩(wěn)定性

任勇生，趙仰生，安瑞君，代其義

(山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，青島266590)

摘要：提出具有SMA絲的復(fù)合材料軸-盤-剛性支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動與穩(wěn)定性。將軸視為一個平行于軸線方向埋入SMA絲的薄壁復(fù)合材料空心梁，盤為各向同性剛性圓盤， 軸位于剛性軸承上。基于變分漸進(jìn)法(VAM)描述復(fù)合材料薄壁梁的變形，基于Brinson熱力學(xué)本構(gòu)方程計算SMA絲的回復(fù)應(yīng)力，采用Hamilton原理推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動方程，采用Galerkin法進(jìn)行模型離散化和近似數(shù)值計算。著重分析SMA絲含量和初始應(yīng)變對復(fù)合材料軸振動固有頻率和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響。研究結(jié)果表明，所建立的動力學(xué)模型能夠用于揭示SMA對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動與穩(wěn)定性的影響機(jī)理。

關(guān)鍵詞：形狀記憶合金;復(fù)合材料軸;轉(zhuǎn)子系統(tǒng);振動與穩(wěn)定性

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11272190);山東省自然科學(xué)基金(ZR2011EEM031)

收稿日期：2013-08-26修改稿收到日期：2013-12-19

中圖分類號:TH132文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51108376，50978218)；國家科技支撐計劃(2013BAJ08B03)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項科研基金(20106120110003)；陜西省科研項目(2012K12-03-01，2011KTCQ03-05)

Vibration and stability of a composite shaft-rotor system with SMA wires

RENYong-sheng,ZHAOYang-sheng,ANRui-jun,DAIQi-yi(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qindao 266510, China)

Abstract:A dynamical model of a rotor system containing a composite shaft with shape memory alloy (SMA) wires parallel to the shaft axis embedded, isotropic rigid disks and flexible bearings considered as linear springs and viscous dampers was presented and then used to predict the natural frequencies and dynamical stability of the rotor system. A composite thin-walled beam based on variational asymptotically approach(VAM) was employed to describe the deformation of the shaft. A thermo-mechanical constitutive equation of SMA proposed by Brinson et al. was used to calculate the recovery stress of the constrained SMA wires. Hamilton’s principle was used to derive the dynamic equations of the rotor system, they were discretized and solved with Galerkin’s method. The influcences of SMA wire content and initial strain on the natural frequencies and critical speeds of the rotor system were analyzed. Results showed that the proposed model can be used to reveal the effects of SMA on the dynamic characteristics of the rotor system.

Key words:shape memory alloy (SMA); composite shaft; rotor system; vibration and stability

纖維復(fù)合材料由于比強(qiáng)度和比剛度高、抗疲勞和減振性能好，在航空、汽車等高技術(shù)領(lǐng)域的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的柔性軸的結(jié)構(gòu)設(shè)計中已經(jīng)顯示出良好的發(fā)展前景[1-2]。采用輕質(zhì)纖維復(fù)合材料取代傳統(tǒng)的金屬材料不僅可以減輕結(jié)構(gòu)的重量，同時還能夠減少噪聲、提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的抗振性能[3]。

將形狀記憶合金(Shape Memory Alloy, SMA)埋入普通纖維復(fù)合材料產(chǎn)生的SMA混雜復(fù)合材料是一類應(yīng)用廣泛的智能材料系統(tǒng)，近幾十年來，基于熱激勵誘發(fā)SMA馬氏體相變從而改變結(jié)構(gòu)剛度特性和彈性特性的結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)原理的SMA混雜復(fù)合材料殼、板、梁的振動抑制研究，已經(jīng)獲得了一些重要的進(jìn)展[4]。如果將SMA埋入復(fù)合材料軸，利用SMA絲控制軸的動力學(xué)特性，有望滿足在高速運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下普通復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)無法滿足的動力學(xué)穩(wěn)定性的要求，從而實(shí)現(xiàn)復(fù)合材料轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全高速運(yùn)行。

Baz等[5]將復(fù)合材料驅(qū)動軸簡化為實(shí)心軸，基于有限元方法研究了埋入SMA絲的復(fù)合材料驅(qū)動軸的靜態(tài)特性和熱特性。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)SMA絲被激活時，可以提高軸的扭轉(zhuǎn)剛度。Baz等[6]采用有限元分析和振動實(shí)驗研究埋入SMA絲空心復(fù)合材料驅(qū)動軸動力學(xué)特性，結(jié)果表明激活NITI絲可以使軸的振動幅值減少了約50%。Tylikowskitffu等[7]將旋轉(zhuǎn)軸簡化為對稱疊層圓柱殼，基于Liapunov 直接法分析了含有SMA絲的復(fù)合材料軸的動力穩(wěn)定性，研究結(jié)果表明，激活SMA絲可以明顯增加旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速。Gupta等[8]基于瑞利法研究了空心復(fù)合材料軸內(nèi)埋入SMA絲的雙盤和單盤轉(zhuǎn)子的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速，分析了SMA絲的以及支承剛度變化的影響。研究發(fā)現(xiàn)，SMA的相變回復(fù)力能夠抑制轉(zhuǎn)子加速/減速通過臨界轉(zhuǎn)速時的共振響應(yīng)。Sawhney等[9]進(jìn)行了埋入SMA絲的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料軸的制備和實(shí)驗研究。Gupta等[10]設(shè)計了一個嵌入SMA絲的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料軸的實(shí)驗裝置，實(shí)驗結(jié)果表明，激活SMA絲的復(fù)合材料軸的固有振動頻率顯著增加。我們注意到，在上述所有這些研究中，有關(guān)楊氏模量、回復(fù)應(yīng)力等描述SMA絲特性的重要力學(xué)參數(shù)主要出自一些有限的實(shí)驗數(shù)據(jù)，此外，在復(fù)合材料軸動力學(xué)建模過程中僅僅考慮了軸的橫向彎曲變形。

本文建立了一個具有SMA絲的復(fù)合材料軸-盤-軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，研究了該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動與穩(wěn)定性。將軸視為一個埋入SMA絲薄壁復(fù)合材料空心梁，SMA絲與軸線平行布置，固結(jié)于軸上的盤為各向同性剛性圓盤，軸位于剛性軸承上。采用Brinson熱力學(xué)本構(gòu)方程[11]計算SMA絲的回復(fù)應(yīng)力，由VAM[12]描述拉-彎-扭耦合復(fù)合材料薄壁梁的變形，并且計入橫向剪切變形的影響。基于Hamilton原理建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動方程，采用Galerkin方法對運(yùn)動方程進(jìn)行離散化，通過數(shù)值計算得到軸的固有頻率以及系統(tǒng)的固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化的Campbell圖，著重分析了固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速隨SMA絲含量和初始應(yīng)變的變化規(guī)律，揭示了SMA對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響機(jī)理。

1振動方程

圖1表示長度為L、厚度為h的繞其軸線以定常角速度旋轉(zhuǎn)的封閉截面纖維復(fù)合材料薄壁軸。慣性坐標(biāo)系為(x,y,z)，局部坐標(biāo)系為(x,s,ξ)，其中環(huán)向坐標(biāo)s沿著薄壁梁中面切線逆時針方向，ξ沿著薄壁梁中面法線方向。SMA絲平行于復(fù)合材料軸的軸線埋入基體內(nèi)。

圖1　具有SMA絲的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸 Fig.1 Rotating composite shaft with SMA wires

從文獻(xiàn)[12]的位移場表達(dá)式出發(fā)，進(jìn)一步引入橫向剪切變形的影響，于是薄壁軸橫截面上的任意一點(diǎn)沿著x,y,z方向的位移假設(shè)如下

u1(x,y,z,t)=U1(x,t)-y(s)θy(x,t)-

z(s)θz(x,t)+g(s,x,t)

u2(x,y,z,t)=U2(x,t)-zφ(x,t)

u3(x,y,z,t)=U3(x,t)+yφ(x,t)

(1)

其中：U1(x,t),U2(x,t),U3(x,t)分別表示橫截面沿著x,y,z方向的剛體位移；φ(x,t),θy(x,t),θz(x,t)分別表示橫截面繞x軸的扭轉(zhuǎn)角以及繞y,z軸的扭轉(zhuǎn)角。y,z表示橫截面中心圍線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，是環(huán)向坐標(biāo)s的函數(shù)。

假定薄壁梁的翹曲函數(shù)g(s,x,t)具有如下形式

(2)

上述等式右端的四項依次是與扭轉(zhuǎn)、軸向拉伸、繞z軸彎曲和y軸彎曲有關(guān)的翹曲分量，其中G(s)的物理意義為扭轉(zhuǎn)率，g1(s)的物理意義為軸向應(yīng)變，g2(s)和g3(s)的物理意義為沿y,z方向的彎曲曲率。

在方程(1)和(2)中，θy(x,t),θz(x,t)可以表示如下

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]幾何方程，由位移方程(1)可以導(dǎo)出橫截面正應(yīng)變和面內(nèi)剪應(yīng)變γxx和γxs的表達(dá)式，并且依照文獻(xiàn)[13]，對橫向剪應(yīng)變γxξ的表達(dá)式也做出假設(shè)。因此，考慮剪切變形的薄壁軸的幾何方程可以寫出如下

(4)

為了導(dǎo)出復(fù)合材料軸的振動方程，利用Hamilton原理

(5)

其中:U和T分別為應(yīng)變能和動能，分別由下式確定

(6)

從方程(5)，可以推導(dǎo)出具有周向均勻剛度配置(CUS)構(gòu)型的復(fù)合材料軸的振動偏微分方程組如下

(7)

混雜SMA絲的復(fù)合材料的彈性系數(shù)按照下列混合率進(jìn)行計算

E1=E1m(1-Vs)+EsVs

ν12=ν12m(1-Vs)+νsVs

(8)

其中，下標(biāo)m，s分別表示復(fù)合材料基體與SMA絲。E，G，υ分別表示楊氏模量，剪切模量和泊松比，Vs和Vm分別為SMA絲與基體材料的體積比含量。Asma，ATotal分別表示所有埋入SMA絲的橫截面之和以及復(fù)合材料軸的橫截面，且

(9)

其中:d為SMA絲的直徑，n為埋入SMA絲的個數(shù)。

引入SMA絲對復(fù)合材料軸的作用，則可推出如下運(yùn)動方程

(10)

其中:NSMA和NΔT表示SMA絲產(chǎn)生的沿軸線方向的受限回復(fù)應(yīng)力的合力以及軸向溫度載荷

(11)

升溫過程：

(12)

降溫過程：

(13)

在SMA絲復(fù)合材料軸的模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮盤和軸承的影響。假設(shè)圓盤為剛性的，由各向同性材料制成，而軸承簡化為線性彈簧和粘滯阻尼器。

引入圓盤和軸承的SMA絲復(fù)合材料軸的運(yùn)動方程導(dǎo)出如下

(14)

2方程求解

假定彎曲位移U2(x,t),U3(x,t)和轉(zhuǎn)角θy(x,t),θz(x,t)具有下列形式

(15)

式中:Uj,Θj都是待定的位移參數(shù)，αj(x),ψj(x)則表示復(fù)合材料軸的形函數(shù)。

將(15)代入方程組 (14)，采用Galerkin法，得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動方程組

(16)

其中，M，C，KΩ，K1的表達(dá)式如下

(17)

(18)

(19)

(20)

3數(shù)值結(jié)果與討論

表1表示不考慮剪切的懸臂復(fù)合材料軸的旋轉(zhuǎn)/非旋轉(zhuǎn)固有頻率的本文計算結(jié)果和文獻(xiàn)[14]的結(jié)果的對比，其中計算參數(shù)和無量綱化方法同文獻(xiàn)[14]。由表1可以看出，二者的結(jié)果符合得很好。

表1　不計剪切的懸臂復(fù)合材料軸的固有頻率結(jié)果對比

表2　復(fù)合材料性能參數(shù) [15]

表3　SMA的材料參數(shù) [16]

為了便于分析，引入標(biāo)準(zhǔn)化因子ω0=138.85 rad/s，其意義為旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸在鋪層角為0°，轉(zhuǎn)速為0，并且NSMA=0和NΔT=0時的固有頻率。無量綱的固有頻率和轉(zhuǎn)速分別為ω*=ω/ω0，Ω*=Ω/ω0。

圖2表示含SMA絲(紅線)和不含SMA絲(黑線)，復(fù)合材料軸的固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，在轉(zhuǎn)速為0，即不計陀螺效應(yīng)時，復(fù)合材料軸的固有頻率為一個點(diǎn)。隨著轉(zhuǎn)速的增加，即計入陀螺效應(yīng)時，復(fù)合材料軸的固有頻率曲線分叉成上、下兩個分支，分別記為Upper(上固有頻率)和Lower(下固有頻率)，它們分別對應(yīng)于正進(jìn)動渦動和反進(jìn)動渦動。當(dāng)下分支隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小至0時,所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速Ωcr。對應(yīng)于每一階頻率，都有一個與之相對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速。對比上述兩種結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，誘發(fā)SMA絲相變可以提高軸靜止?fàn)顟B(tài)的固有頻率，提高旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸發(fā)生動力不穩(wěn)定的臨界轉(zhuǎn)速。

圖3中表示對應(yīng)于不同SMA絲含量的第一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。可以看到旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速隨著SMA絲含量的增加而增加，這是因為當(dāng)SMA絲的含量增加時，軸向張力隨之增加，于是，軸的剛度也隨之增加，從而導(dǎo)致固有頻率的增加。

圖2 含SMA和不含SMA的傳動軸第一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線(θ=30°,T=50℃,Vs=0.24)Fig.2Thefirstnaturalfrequencyvs.rotatingspeedofshaftwithSMAandwithoutSMA(θ=30°,T=50℃,Vs=0.24)圖3 不同SMA絲含量情況下的一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(θ=30°,T=50℃,ε0=0.067)Fig.3Thefirstnaturalfrequencyvs.rotatingspeedfordifferentSMAfibercontents(θ=30°,T=50℃,ε0=0.067)圖4 不同SMA絲初始應(yīng)變的一階固有頻率隨溫度變化曲線(Vs=0.36,T=50℃,θ=30°)Fig.4Thefirstnaturalfrequencyvs.rotatingspeedfordifferentSMAfiberinitialstrain(Vs=0.36,T=50℃,θ=30°)

圖4表示不同SMA絲的初始應(yīng)變下的第一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，從圖中可以看出，軸的固有頻率隨著初始應(yīng)變的增加而增加。

圖5　不同SMA絲含量情況下的一階固有頻率隨溫度 變化曲線(Ω * =5 rad/s，θ=30°, ε 0=0.067) Fig.5 The first natural frequency vs. temperature for different SMA fiber contents (Ω* =5 rad/s，θ=30°, ε 0=0.067)

圖5表示激勵溫度對第一階固有頻率的影響曲線，其中給出對應(yīng)于三種不同SMA絲含量的結(jié)果。溫度變化從0℃上升到100℃(M→A)，然后在從100℃下降到0℃(A→M)。從圖中可以看出，固有頻率隨溫度的變化曲線是典型的遲滯迴線。在一個熱循環(huán)周期內(nèi)，固有頻率隨溫度的變化可以分為兩個階段：增加階段和減少階段；在馬氏體向奧氏體相變的過程中，固有頻率隨著溫度的增加而增加，而從奧氏體向馬氏體相變的過程，固有頻率隨著溫度的減小而下降；由于轉(zhuǎn)速不為零，因此派生出兩組遲滯迴線，在圖中分別用“Upper”和“Lower”加以區(qū)分。容易發(fā)現(xiàn)，隨著SMA絲含量的增加，固有頻率也隨之提高，遲滯迴線向上發(fā)生整體遷移。

圖6　不同SMA絲初始應(yīng)變的一階固有頻率隨 溫度變化曲線(Vs=0.24, θ=30°, Ω * =10 rad/s) Fig.6 The first natural frequency vs. temperature for different SMA fiber initial strain(Vs=0.24，θ=30°,Ω * =10 rad/s)

圖6表示對應(yīng)于SMA絲的不同初始應(yīng)變的第一階固有頻率隨溫度的變化曲線。從圖中可以看出，與SMA絲含量的影響不同，在升、降溫階段的某些溫度區(qū)間，不同初始應(yīng)變下的遲滯迴線會相互重疊在一起，遲滯迴線的形狀似乎會發(fā)生較為明顯的改變。

下面進(jìn)一步研究如圖7所示的SMA絲復(fù)合材料傳動軸-盤-軸承系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。單個剛盤位于軸的中央位置，軸的兩端用軸承支承。軸的鋪層方式采用[θ]10，軸承和剛盤的尺寸和性能參數(shù)如表4所示。

圖7　單剛盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng) Fig.7 A rigid disk rotor

質(zhì)量與慣性矩數(shù)值bD1l/kgbD4l/(kg·m-2)bD5l/(kg·m-2)2.43640.19010.1901

圖8　不含SMA的軸-盤-剛性軸承系統(tǒng)的Campbell圖 Fig.8 The Campbell diagram of the shaft-disk-stiff bearings system without SMA wires

圖9　含SMA絲的軸-盤-剛性軸承系統(tǒng)的Campbell圖 Fig.9 The Campbell diagram of the shaft-disk-stiff bearings system with SMA wires

圖8和圖9分別表示不含SMA絲和含SMA絲的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的Campbell圖。其中展示了前5階渦動頻率，“F”表示正進(jìn)動，“B”表示反進(jìn)動。圖中渦動頻率曲線與直線ω=Ω的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，用Ωcr表示。從圖中可以看出第二階和第三階渦動頻率曲線有相對較為明顯分叉，這可能是由于軸的振動和剛盤的振動相耦合造成的。通過比較圖8和圖9可以明顯看到，加入SMA絲能夠明顯地提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。

表5　不同SMA絲含量對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速

表5和表6分別表示具有不同SMA絲含量和不同SMA初始應(yīng)變的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前3階臨界轉(zhuǎn)速。從表5中可以清楚地看出，隨著SMA絲含量的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速隨之增加；同樣，由表6可看出SMA絲的初始應(yīng)變對轉(zhuǎn)子臨界速度也有著類似的影響。因此，通過適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)SMA絲的含量和初始應(yīng)變，能有效地增強(qiáng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為了驗證采用Galerkin法計算復(fù)合材料軸固有頻率結(jié)果的收斂性，取不同項數(shù)的振型函數(shù)進(jìn)行了計算，結(jié)果如圖10所示。其中10(a)和(b)分別對應(yīng)Lower和Upper。由圖可見，當(dāng)振型函數(shù)項數(shù)取N=5時，固有頻率-溫度變化曲線已經(jīng)與N=4，3對應(yīng)的曲線完全重合，說明本文采用的近似數(shù)值計算方法具有很好的收斂性。

表6　不同SMA初始應(yīng)變對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速

圖10　固有頻率關(guān)于振型項數(shù)的收斂性 (Ω* =5 rad/s, θ=30°, ε 0=0.067) Fig.10 Convergence of the first natural frequencies with respect to number of mode shapes (Ω* =5 rad/s, θ=30°, ε 0=0.067)

4結(jié)論

研究了一個由埋入SMA絲的復(fù)合材料軸、盤和軸承構(gòu)成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動與穩(wěn)定性。SMA絲平行于復(fù)合材料軸的軸線方向鋪設(shè)。基于VAM復(fù)合材料薄壁梁理論、Brinson熱力學(xué)本構(gòu)方程和Hamilton原理建立系統(tǒng)的運(yùn)動方程，采用Galerkin法進(jìn)行模型離散化和近似求解。分析結(jié)果表明：

(1)在復(fù)合材料軸內(nèi)埋入SMA絲可以顯著提高軸的靜態(tài)和旋轉(zhuǎn)固有頻率；

(2)溫度的變化對軸的動力學(xué)特性有重要的影響，在一個熱循環(huán)周期內(nèi)，由于馬氏體向奧氏體相變(M→A)以及逆相變(A→M)的發(fā)生，固有頻率隨溫度的變化曲線表現(xiàn)為典型的遲滯迴線；

(3)隨著SMA絲含量的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速隨之增加；另一方面，提高SMA絲的初始應(yīng)變也能增加轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界速度，從而增強(qiáng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力穩(wěn)定性。

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附錄

復(fù)合材料軸橫截面的剛度系數(shù)：

(A.1)