基于支承反力測試的軸承載荷辨識

第一作者魏巍男，碩士，1988年10月生

通信作者張志誼男，博士，教授，1970年11月生

基于支承反力測試的軸承載荷辨識

魏巍，張志誼，華宏星

(上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室，上海200240)

摘要：提出一種水洞中螺旋槳軸系艉支承結構軸承處載荷的辨識原理，該方法通過實測的支承反力反求施加在艉軸承處的作用力。側重于測試方法的原理描述，通過建立艉支承結構的簡化模型，對有預應力的支承結構的載荷-力響應關系進行推導，得到了結構軸承處的載荷-支承反力的解析表達式，然后在此基礎上構建軸承處載荷的辨識原理。仿真結果表明，該方法辨識精度較高，可用于水洞中螺旋槳軸系艉軸承處的載荷辨識。

關鍵詞：軸承支承結構；載荷；辨識

收稿日期：2013-10-09修改稿收到日期：2013-12-24

中圖分類號:TH212；TH213.3文獻標志碼：A

基金項目：國家863計劃資助項目(2012AA041309)

Identification of bearing loads based on support reaction measuring

WEIWei,ZHANGZhi-yi,HUAHong-xing(State Key Lab of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:A principle for identifying stern bearing loads of a propeller shaft system in a water tunnel was presented here. With this method, the loads on the sthern bearing surface were obtained through directly measuring support reactions. The principle of the measuring method was described here, the simplified model of a bearing-support structure was established. The load- force-response relationship of a pre-loaded support structure was deduced, the analytical expressions for bearing loads-support reactions was acquired. Furthermore, an identification algorithm for bearing loads was established. Simulation results showed that this method has a relatively high precision, and is suitable for the stern bearing load identification of a propeller shaft system in a water tunnel.

Key words:bearing support structure; loads; identification

動態載荷的辨識是一個極具價值的問題，廣受關注。在動力學研究中，動態載荷是一項非常重要的原始參數，準確了解結構所受載荷是結構的設計改進和了解其動態特性的重要參考和依據[1]。但是事實上眾多實例表明，相當大比例的外載荷是難以直接測得甚至是無法測得。此時，載荷識別作為一種間接測量手段，給工程應用提供了巨大的便利。對于動力機械設備和橋梁等大型設施，由載荷識別可監測系統的運行狀態和了解其動態特征，并可給疲勞設計提供參考[2-5]。

自從上世紀70年代首次提出以來，載荷識別技術得到了飛速的發展，各種方法不斷涌現[6]。一般來說，載荷識別技術可分為頻域法和時域法。其中頻域法發展的較早，比較成熟、完備。頻域法基于傅里葉變換，其思想為根據響應譜識別激勵譜，特點為輸入輸出呈較好的線性關系，避開了煩瑣的積分、表達較為簡單，因此計算處理較為便捷。載荷識別的頻域法主要分為以下幾種[7]：①基于頻響函數求逆的載荷辨識；②系統模態坐標變換方法；③逆虛擬激勵法以及①、②的改進方法。由于上述優點，頻域法在工程實踐中的應用成熟而廣泛。

對于船舶的推進軸系而言，對艉支承結構上的軸承處所受載荷作辨識，有助于了解軸系的振動特性，分析軸系的穩定性，給改進軸系的設計和減小軸系振動等提供重要參考[8]。本文針對船舶驅動軸系的艉支承結構和傳感器布置的特點，對艉支承結構進行了合理簡化。然后將其分為幾部分，分別推導。基于對有預緊力的伯努力-歐拉梁的橫振和縱振的力關系的解析計算，得到軸承載荷和各梁端傳感器上力的關系。進一步地從正反問題兩個方向推導計算，在頻域上建立了對軸承載荷的辨識方法。此方法面向模態測試實驗，從理論上推導了載荷辨識的原理。并給出了辨識方法的仿真精度分析。

1原理介紹

在軸承支承結構中，中間的軸承與四根梁鉸接，梁支撐在剛度很高的力傳感器上，為了增加結構剛度[9]，梁上預加了預緊力P。簡化的模型如圖1，絕對坐標系為方向示意，原點在軸承幾何中心。其中1、2、3梁固支端裝有傳感器。

圖1　簡化的模型 Fig.1 Simplified model

簡便起見，下文中橫振和縱振不區分梁和桿的稱呼，而都稱為梁。模型中的梁有兩種基本的振動，橫振和縱振。其他方向上的振動與所要研究載荷無關，可以忽略[10]。橫振在固支處產生的反力主要為切向力，縱振在固支處產生的力主要為軸向力。利用振動方程找到這些反力和鉸接處的力的關系，使用幾何關系，對軸承列運動方程即可求得軸承處所受的載荷。所以以下分別對梁的橫振、梁的縱振、軸承和鉸接點的幾何關系和軸承的運動方程進行推導。

2有預緊力的梁的振動

對于軸承來說，我們關心的只是其上x、y方向上的力和z方向的轉矩。對于小變形條件下的振動，x和y方向的力對應著梁的結構平面內的橫向和縱向振動，產生z方向轉矩的力也對應著梁端在平面內的反力。因此，梁的振動歸結為橫向和縱向振動，以下分別對其進行推導。

2.1有預緊力梁的橫向振動

如圖2為受預緊力的懸臂梁的橫振力學模型，P為預緊拉力。fjs0(t)表示梁端的反力，fjs(t)為強迫力，j為梁編號，在梁的振動推導中均略去了j。

圖2　受軸向預緊力的懸臂梁的橫振分析 Fig.2 Lateral vibration of a cantilever beam with longitudinal load

受軸向力的梁自由橫振方程為：

A0表示梁截面積。利用分離變量法求解[11-12]，并代入邊界條件：

左端：

右端：

得到振型函數為：

r=1,2,3

(1)

另外由矩陣有非零解的條件，求得頻率方程為：

β4+2k4-k2β2sinλ1l·shλ2l+

2k4cosλ1l·chλ2l=0

(2)

現在考慮梁端受強迫力fs(t)時的響應。受軸向預緊力梁的強迫振動方程為：

(3)

其解為振型乘以和時間相關的系數的線性疊加的形式，即

(4)

(5)

(6)

系數Ar1可由正則化條件確定。

2.2有預緊力梁的縱向振動

如圖2，梁上有軸向預緊力，因此采用線性疊加的方法，在無預緊力縱向振動的基礎上加上靜變形。對于自由振動，其振動方程為：

使用分離變量法解上方程，并考慮到邊界條件：

左端：

u(0,t)=0

右端：

(7)

強迫振動下梁的縱向振動方程為：

(8)

其中f(x,t)為分布力。方程(8)的解為：

(9)

把式(9)代入式(8)，并考慮到正則化條件和振型函數的正交性，可以得到關于振型坐標的微分方程，同2.1易解之。又由梁左端的拉力為：

對其作傅里葉變換得到：

Fp0(ω)=2πPδ(ω)+

(10)

其中:Cr由正則化條件給出。由于相對的梁上的關于P的縱振的量均抵消，所以如無說明，后面的分析中縱振的量將略去預緊力P。

3協調關系及軸承動力學方程

3.1局部和整體坐標系說明

為了便于將各個梁上的力在整體坐標系表示，厘清各個局部坐標系和整體坐標系之間的符號關系，并使推導的位移和力的方向關系協調，需要對梁上的局部坐標系和整體坐標系進行說明。整體坐標系在1中已有說明，下面說明局部坐標系。

圖3(a)為梁振動推導所在的局部坐標系，w表示橫振的正方向，u表示縱振的正方向，原點在固支點[12]。

圖3(b)為局部坐標系下梁上力的正方向示意。對于梁上剪力遵循以下約定：當剪力使梁產生如圖所示的“U”型彎曲時方向為正，反之為負。對于梁上軸向力約定為：當軸向力使梁產生拉伸的趨勢時為正方向，反之為負[13]。

于是，各個梁端所受力在各自局部坐標系下的正方向如圖3所示。需要說明的是，本文涉及所有運算的量均為標量。

圖3　局部坐標系及梁上剪力和拉力正方向示意 Fig.3 Local coordinates and the positive direction of shear and tensile stresses

3.2參數說明及相關推導

軸承和四根梁鉸接的幾何關系如圖4(a)所示。可以看出，軸承中心位置在(x1,y1)和(x3,y3)的中點。因此軸承中心的速度和加速度可以由幾個鉸接點的速度得出

圖4(b)是軸承的受力分析圖。

圖4　軸承和支撐梁的幾何關系及軸承的受力分析圖 Fig.4 Geometric relationship between the bearing and the supporting beam (a) and load analysis of the bearing (b)

其中各個力的方向考慮了各個梁的局部坐標系的正方向。由于結構是小位移線性運動，因此忽略了θ對各個力和速度及加速度方向的影響。另外考慮到結構的對稱性，與2梁對稱的梁上的力均可以由其他梁表示出。

梁固定端的反力為fjso和fjpo，鉸接端的作用力為fjs和fjp，其中j代表1、2、3。fjso和fjpo的在其局部坐標系中的正方向見圖6。另外，考慮到測試中實測數據的特點，fjpo在經過上述步驟并取傅里葉變換后，還需減去預緊力因素P(ω)=2πPδ(ω)。

根據2.1中式(6)，并令

由2.1中的式(10)，并令

則得：

(11)

對橫振和縱振的振型函數，取梁端并做傅里葉變換，有：

(12)

由圖4(a)中的幾何關系，設t時刻軸承中心坐標為(x,y)，在梁1、2、3端點分有：

(1)：x-rcosθ=-r+u1(l,t),y-rsinθ=w1(l,t)

(2)：x-rsinθ=w2(l,t),y+rcosθ=r-u2(l,t)

(3)：x+rcosθ=r-u3(l,t),y+rsinθ=-w3(l,t)

將上述各式簡單加減可以得到：

(13)

(14)

3.3軸承 方向受力分析

參照圖4(b)的受力情況，對x方向有：

對其作傅里葉變換，并代入式(11)、(12)和(13)，得到：

(15)

3.4軸承 方向受力分析

參照圖4(b)，對 方向列動力學方程有：

對其作傅里葉變換并代入式(11)、(12)和(13)得到：

(16)

3.5軸承θ方向受力分析

對軸承的θ方向列動力學方程有：

對其作傅里葉變換，并代入式(11)、(12)、(14)得到：

(17)

4軸承所受載荷的辨識原理和精度

4.1辨識的原理

式(15)～(17)為載荷辨識的基礎，其中各量與梁的屬性參數有關。辨識原理基于模態測試，這些參數經由模態測試得到，辨識原理中的已知力均為測試中直接獲得的梁端支承反力。為了驗證辨識原理的精度，需要得到其正過程的表達結果。然后在其正過程中令待辨識量取比如1，求得梁端各參數的值，再把求得的梁端各值返帶回上式中，求得待辨識量的值，將其與1比較即得辨識方法的精度。下面推導辨識方法的正過程。

4.2辨識的正過程

考慮到線性小變形的前提，我們可以分別討論x、y方向的力和z方向的扭矩的情形，求得它們對應的分量，然后將各個分量相加即得梁端參數的值。為了表示方便，令：

4.2.1軸承受x方向的力

考慮軸承受x方向的力，注意到結構的對稱性和軸承的剛體假設，有：

U1(l,ω)=W2(l,ω)=-U3(l,ω)

(18)

把(12)兩式代入得到：

F1p0x=-F3p0x

(19)

把式(19)代入式(15)得到：

(20)

4.2.2軸承受y方向的力

與4.2.1類似，對于梁端的位移有以下關系：

W1(l,ω)=-W3(l,ω)=-U2(l,ω)

(21)

把(12)兩式代入得到：

F1s0y=-F3s0y,

(22)

把式(22)代入式(16)求得：

F1s0y(ω)=

(23)

4.2.3軸承受 方向的扭矩

由于結構的對稱性，在軸承中心承受z方向的扭矩時其受力也為對稱，因此有

W1(l,ω)=W2(l,ω)=W3(l,ω)很明顯F1soz=F2soz=F3soz。代入式(17)有：

4.3仿真分析

在代入程序進行仿真分析中，結構的主要參數和尺寸如表1。

本分析的數據來自于解析方程的數值解以及一些仿真數據。根據3.2的參數計算過程，首先需要解頻率方程(2)和計算縱向振動的模態頻率，然后據此思路使用相關計算軟件編程求得其他參數的表達式。為了簡便，這里涉及的頻率都使用弧度單位。借助于數值計算軟件解非線性方程，對于兩種模態頻率求解結果如表2。考慮到精度要求，橫振的模態取到10階，縱振取到了5階。待辨識量在不同頻率處的值見表3。

表2　模態頻率

對于正過程，梁端各參數為各自對應分量的疊加，即：

(25)

根據式(20)、(23)、(24)求出各分量，代入式(25)即得梁端的參數。進一步地，使用上式中各量的關系，可以把六個力簡化為三個力，從而正過程的關系可以寫成：

(26)

令待辨識量Fx、Fy和Mz為1，代入式(26)，使用計算軟件進行編程計算，求得各待辨識量在模態頻率處的值(精確到小數點后4位)，結果如表3所示。

從表3的結果可以看出，Fx(ω)、Fy(ω)和M(ω)的辨識精度均達到了5‰以上，Fx(ω)和Fy(ω)的精度相當，M(ω)的辨識精度略低一些。

5結論

本文基于對有預緊力的梁的橫向和縱向振動的載荷-反力關系的解析計算，從逆問題和正問題兩個方向推導，在頻域上建立了對軸承載荷的辨識原理。此方法面向模態測試實驗，優點在于：①基于頻域使其計算上完全線性，而避開了杜哈曼積分和卷積，編程計算求解非常簡便；②精度達到5‰以上，且僅需三個傳感器。從精度分析的結果來看，是非常令人滿意的。

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