基于矩陣算法的平面四連桿機構的優化

麥云飛，邵葉輝

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

0 引言

平面四桿機構是由四個剛性構件用低副鏈接組成的、各個運動構件均在同一平面內運動的機構，因其結構簡單、制造容易、工作可靠，而且還能承受很大的載荷、實現多種運動規律和運動軌跡，故其在工程實際中的應用非常廣泛。但是，由于連桿機構的運動復雜，它的設計方法也比較復雜［1］。

連桿機構設計的基本問題可歸結為按給定的運動規律設計和按給定的運動軌跡設計兩大類。通常對這兩類問題都是采用函數逼近法，但計算復雜繁瑣。常規優化過程中采用for循環算法，由于MATLAB對循環的執行效率很低［2－3］，導致計算時間較長，如果計算較復雜還很容易給電腦CPU造成負擔，致使死機現象的發生。本文在對平面四連桿機構的運動進行了分析之后，主要采用矩陣算法對四連桿進行了優化，得到準確可靠的優化參數，并且與for循環算法作了對比。

1 四連桿機構優化

四桿機構示意圖如圖1所示。已知曲柄為單位長度l1＝1；兩桿長度分別為l2、l3，根據結構的實際情況，預選機架長度l4＝6。曲柄和搖桿初始位置角φ0和Ψ0分別為搖桿在右極限位置時曲柄和搖桿與機架夾角。

要求設計一個曲柄搖桿機構，當原動件曲柄的轉角φ＝φ0～（φ0＋45°），要求從動件搖桿的輸出角實現如下函數：

根據圖1得：

設計變量為：

圖1 四桿機構示意圖

1.1 建立目標函數

四連桿機構的運動軌跡如圖2所示。

圖2 四連桿機構的運動軌跡

設曲柄轉角φ從φ0～（φ0＋45°）區間內均勻的離散點數為s，則有：

取機構輸出角的平方偏差最小為設計目標：

其中：Ψi是期望輸出角；Ψsi為實際輸出角。

根據機構的運動幾何關系，實際輸出角Ψsi滿足：

對于圖2中△BDC和△ABD，根據余弦定理有：

1.2 確定約束條件

連桿機構約束情況如圖3所示。

圖3 連桿機構約束分析圖

（1）為了使機構的傳力性能良好，機構的最小傳動角為γmin≥45°，最大傳動角γmax≤135°。由圖3得到約束方程：

即

（2）平面四桿機構成為曲柄搖桿機構的尺寸約束條件如下：①平面四桿機構的最短桿和最長桿的長度之和小于或者等于其余兩桿長度之和；②最短桿相連構件為機架。根據上述2個條件有：

起作用的約束條件是機構傳動角約束條件，它們圍成可行域。

2 優化過程與對比

曲柄搖桿機構設計的數學模型屬于非線性規劃問題，因此在進行優化設計時，要調用MATLAB優化工具箱中有約束的多元函數極小值fmincon函數來實現。由于MATLAB對循環的執行效率很低，本文主要采用矩陣算法對四連桿進行了優化，得到準確可靠的優化參數，并且與for循環算法作了對比。

2.1 矩陣算法

（1）首先建立一個命名為myfun的M文件，程序如下：

（2）建立一個實現非線性約束的M文件，程序如下：

其中，c（1）和c（2）為非線性約束條件。

（3）建立一個調用優化方法的 M文件，內容如下：

運行結果為：x1取4.8509、x2取2.6721可得最優解。

2.2 for循環算法與對比

for循環算法的優化方法和矩陣算法的主要區別在目標函數的建立上面，for循環是計算n次得結果，而矩陣算法是巧妙運用矩陣計算的特點一次計算即可。

在程序中分別用系統時間標記程序開始運行和結束運行時的時間，然后用作差法計算兩種算法各自運行需要的時間。經先后運行矩陣算法和for循環算法的程序，發現for循環算法結果和矩陣算法相一致，但運行時間較矩陣算法明顯長，其中for循環算法平均用時約為0.25s，矩陣算法平均用時約為0.06s，相比而言，for循環算法用時約是矩陣算法用時的4倍多，而且矩陣算法優化程序運行更流暢。

3 結論與展望

兩種方法的計算結果相一致，但矩陣算法計算速度比for循環快，大大提高了執行效率，克服了MATLAB對循環執行效率低的缺陷，如將矩陣算法運用到復雜循環優化計算中必將大大提高工作效率。

［1］孫桓，陳作模，葛文杰.機械原理［M］.第7版.北京：高等教育出版社，2006.

［2］李南南，吳清，曹輝林.MATLAB 7簡明教程［M］.北京：清華大學出版社，2006.

［3］飛思科技產品研發中心.MATLAB 6.5輔助優化計算及設計［M］.北京：電子工業出版社，2003.