MATLAB在二重積分計算中的應用

【摘 要】重積分計算是高等數學教學中的重要內容，如何計算重積分顯得尤其重要。重積分計算主要思想是如何把重積分化為累次積分，如何決定積分次序。由于有些積分的被積函數和積分區域比較復雜，計算起來比較困難，甚至有些重積分無法計算。然而MATLAB軟件在高等數學重積分計算中有很大的優勢，通過MATLAB軟件求解重積分不僅可以提高學生學習的積極性，而且可以提高學生學習的興趣和效率。本文研究的主要內容是如何運用MATLAB內部函數計算二重積分。

【關鍵詞】MATLAB 二重積分 高等數學

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）27-0057-02

隨著科學技術及計算機的飛速發展，各類數學軟件的不斷涌現，這使在解決一些復雜的問題變得非常簡單。MATLAB已成為許多課程的基本教學工具，是大學生、碩士生和博士生必須掌握的基本技能；在設計研究單位和工業部門，MATLAB已成為必備的標準軟件。MATLAB軟件“面向對象”的特點愈加突出，數據類型愈加豐富，操作界面愈加完善，運算速度越來越快，功能越來越強大。MATLAB在高等數學教學中起著非常重要的作用。MATLAB具有簡單易學、代碼短小高效、計算功能強大以及可擴展性等優點。基于MATLAB的高等數學教學可以提高學生課堂的參與性，激發學生學習的興趣，有利于教學質量的提高。MATLAB已經成為國際控制界公認的標準計算軟件，國內已經有很多工科院校把MATLAB引入課堂，作為數學公共課教學改革的核心內容。本文主要研究如何利用int函數、dblquad函數和quad2d函數求高等數學中的二重積分。

一 符號表達式和函數表達式

MATLAB有強大的符號運算和數值計算功能，兩者的根本區別是：符號計算需要定義符號表達式，而數值計算需要定義函數表達式。對于一般的程序設計軟件實現數值計算還可以，但是實現符號計算并不是一件容易的事。MATLAB的數學工具箱可以完成幾乎所有的符號運算和數值計算功能，MATLAB可以用syms函數和單引號產生符號表達式，同時也可以利用M-函數文件、內聯函數和匿名函數得到函數表達式。

例1：定義多變量符號表達式f=x2siny

syms函數調用格式：syms xy；f=x^2*sin（y）

單引號調用格式：f='x^2*sin（y）'

例2，定義多變量函數表達式fun=x2*sin（y）

方法一：M函數文件方法

編寫M文件：function fun=f（x，y）

fun=x^2*sin（y）

方法二：inline函數方法

fun=inline（' x.^2.*sin（y）'）

方法三：匿名函數方法

fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）

二 二重積分的計算方法

MATLAB提供了兩種方法計算二重積分即符號計算和數值計算。符號計算是求矩形區域上的二重積分，利用MATLAB內部命令int計算兩次一重積分，調用格式為int（int（f，A，B），C，D），其中f是符號表達式，變量的取值范圍是A≤x≤B，C≤y≤D。符號計算的結果往往是符號，如果要求其值，需調用函數vpa（I，n），得到具有n位有效數字I的近似值。數值計算可以調用MATLAB內部函數dblquad函數和quad2d函數。dblquad函數是求矩形區域上二重積分的數值估計，調用格式為dblquad（fun，A，B，C，D），其中fun是函數表達式，變量的取值范圍是A≤x≤B，C≤y≤D。quad2d函數求平面區域上二重積分的數值估計，調用格式為quad2d（fun，A，B，C，D），其中fun是函數表達式，變量的取值范圍是A≤x≤B，C（x）≤y≤D（x）。

例1，求二重積分 ，其中區域Ω

是有直線x=0，x=1，y=1，y=2圍成的區域。

根據區域Ω的特點即可以看成X型區域也可以看成Y型區域，采用X型區域把二重積分化為二次積分得：

運用MATLAB軟件求解二次積分方法如下：

方法一：調用MATLAB符號計算命令int

>>syms x y；>> f=x^2*sin（y）；>> I=int（int（f，0，1），1，2）；

>> I=cos（1）/3-cos（2）/3；>>I=vpa（I，4）；>> I=0.3188；

方法二：調用MATLAB數值計算命令dblquad

>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）； >> I=dblquad（fun，0，1，1，2）；>> I=0.3188；

方法三：調用MATLAB數值計算命令quad2d

>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）；>> I=quad2d（fun，0，1，1，2）；>> I=0.3188；

例2，求二重積分 ，其中區域Ω是

有拋物線y=x2和x=y2圍成的區域。

根據區域Ω的特點把二重積分化為二次積分得：I=

，此積分區域為平面區域調用quad2d

函數如下：

>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）；>>C=@（x）x.^2；D=@（x）sqrt（x）；

>> I=quad2d（fun，0，1，C，D）；>> I=0.0492；

由于區域Ω是平面區域，對y的積分是變限積分，因此不能直接調用dblquad函數。但是可以通過變量替換轉化為矩形區域上的積分。

令z=（y-C（x））/（D（x）-C（x）），則y=（D

（x）-C（x））z+C（x），二重積分可以轉化為I=

。通過此變換把

平面上的二重積分化為矩形區域上的二重積分，因此可以調用int命令和dblquad命令。然而對于符號計算命令int求解積分時，要求被積函數具有顯式的原函數，但是此時的被積分函數沒有顯式的原函數，因此只能調用MATLAB數值計算命令dblquad：

>> fun=@（x，z）x.^2.*sin（（sqrt（x）-x.^2）.*z+x.^2）.*（sqrt（x）-x.^2）；

>> I=dblquad（fun，0，1，0，1）；>> I=0.0492；

例3，求二重積分 ，其中區域Ω是有

拋物線y=x2和x=y2圍成的區域。

根據區域Ω的特點把二重積分化為二次積分得：

，調用平面區域求積分命令quad2d得：

>> fun=@（x，y）x.^2.*y；>>C=@（x）x.^2；D=@（x）sqrt（x）；

>> I=quad2d（fun，0，1，C，D）；>> I=0.0536；

根據例2中的變換方法把對y的變限積分也化為定積分，則積分可化為： 。這時二次積分的積分區域是矩形區域，并且此時的被積函數具有顯示的原函數，因此可以調用int命令和dblquad命令。

方法一：調用MATLAB符號計算命令int

>> syms x y >> f=x^2*sin（（sqrt（x）-x^2）*z+x^2）*（sqrt（x）-x^2）；>> I=int（int（f，0，1），1，2）；

>> I=3/56；>> vpa（I，3）；>> I=0.0536；

方法二：調用MATLAB數值計算命令dblquad

>> fun=@（x，z）x.^2.*（（sqrt（x）-x.^2）.*z+x.^2）.*（sqrt（x）-x.^2）；>> I=dblquad（fun，0，1，0，1）；

>> I=0.0536。

MATLAB在計算二重積分的時候可以運用符號運算和數值計算兩種思路。這兩種思路都可以解決二重積分問題但又各有優劣，符號計算因其需要被積函數的原函數，所以可以得到積分的精確值，然而這也是符號計算的劣勢，因為很多的被積函數不存在顯式的原函數；而數值計算不論被積函數有沒有顯式的原函數都可以計算積分，但是得到的是近似值而不是精確值。多重積分的數值計算在很多工程問題中都有很重要的應用，可以通過運用MATLAB內部命令解決工程中的實際問題，提高學生的動手能力和解決實際問題的能力，為學生以后的工作積累實踐經驗。

三 結束語

高等數學把基于MATLAB的數學實驗課引入課堂，提高了學生學習的積極性和學習興趣，改變了傳統的教學方法，增強了應用數學知識解決實際問題的能力，提高了學習效率，有利于提高教學質量。結合高等數學教學過程遇到的二重積分計算，通過幾個例子給出二重積分的計算方法。本文著重分析了MATLAB求二重積分的符號計算和數值計算兩種思路的相似和不同之處，以及如何運用MATLAB內部函數實現復雜的積分計算。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]王正林、劉明.精通MATLAB 7[M].北京：電子工業出版社，2006

[3]王沫然.MATLAB與科學計算（第2版）[M].北京：電子工業出版社，2003

[4]薛定宇、陳陽泉.高等數學應用問題的MATLAB求解[M].北京：清華大學出版社，2004

[5]柯善軍.高等數學與應用實驗[M].北京：北京航空航天大學出版社，2007

〔責任編輯：林勁〕