讓微積分課堂教學“活”起來

【摘 要】基于目前微積分課堂不夠活躍的現象，提出四點建議：一、充分展現微積分教學目的；二、讓數學文化滲透到微積分教學；三、發揮信息技術在微積分教學中的輔助功能；四、學習方式多樣化。

【關鍵詞】微積分 課堂教學 活躍

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）27-0121-02

“你能給我找來一個數不清自己手指頭的人么？”這句話恰好說明了數學的廣泛性。數學是最純然的知識，甚至可以說它是一個時代理性的標志。而專門研究函數和變量的微積分則是劃時代的數學成就，它也是我們經管類專業的公共必修課程。

現代的微積分教學較之傳統，在教學內容、教學方法、教學手段等方面有了較大的轉變，也取得了一定的成效。但數學知識的系統性、邏輯性、嚴密性、抽象性仍然使學生們“談微色變”，反映到微積分課堂上就是氣氛不夠“活”甚至“活”不起來。究其原因還是學生們對微積分的興趣不夠。所以，如何提升學習興趣讓微積分教學“活”起來，顯得尤為迫切。下面筆者結合前人的探討和自身多年從教的經驗談一些想法，提出四條建議。

一 充分展現微積分教學目的

經管類專業的學生大部分認為開設微積分課程就是為了以后的專業課學習打好基礎，誠然，大學非數學專業微積分的學習確實有這樣的目的，但數學的效用不僅僅如此。正如弗朗西斯·培根所說：“在數學上，我沒什么缺憾可報告，除了一點之外，這就是：人們并沒有充分理解純數學的妙用。”在微積分教學中，我們還應培養學生有意識地不僅要把數學作為計算工具，更應以發展數學能力為重，能把數學的思維方式應用到其他學科乃至實際生活中。比如微積分中的極限思想，貫穿于微積分課程始終，其中所體現的過程與結果、有限與無限、直與曲、不變與變之間的對立統一思維能讓我們辯證地去看待問題；又如曲線圍成的平面面積、曲面圍成的立體體積的計算問題，其中的整體細劃為部分，由近似再到精確的轉化、化歸思維；微積分中無處不在的分析歸納再論證思維、導數與微分中的逆向思維、類比一元函數微積分學習多元函數的比較思維，等等，這些都隱含在微積分知識學習的背后，需要教師在教學中引導學生有意識地挖掘，真正領悟數學的本質，體會學習數學的樂趣，從而形成自己的數學思維。

羅巴切夫斯基曾說過：“任何數學分支，不管多么抽象，有朝一日都要應用于真實世界的現象”，要體會數學的魅力還必須把數學思維遷移到其他學科的學習直至實際問題的解決。比如數學建模在其中就擔當了重要角色，它通過把實際問題從數學角度加以分析、解答，讓學生近距離地體會數學的妙用。而建立微分方程就是一種數學建模方法。教學中應適當引入相關例子，激發學生的好奇心和求知欲，讓學生明確日后受益更多的可能首先是所積累的數學思維方式，而后是具體的數學知識。在崇尚科學的時代，微積分不應充當把學生淘汰出通向科學領域的“過濾器”，而應成為鼓勵學生學習科學的“助推器”。

二 讓數學文化滲透到微積分教學

數學雖然是理性的科學，但它也需要感性認知的加入。日本心理學研究者三浦致世認為，感性是指基于具有多種含義和復雜特征的信息，通過印象評價、綜合把握等形式，對狀況進行整體的直覺判斷的能力。故而，數學知識的內化需要有數學文化的牽引。

數學文化即數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展，還包括數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展史中的人文成分和數學與其他各種文化的關系等。在教學中，適時給學生介紹微分和積分的起源與發展，穿插數學人物的成長與發展歷程、艱辛的知識發現及證明過程和其中所體現出的鍥而不舍的研究精神、嚴謹的思維方式等，比如對微積分的理論基礎極限的定義就經歷了從形式直觀、語言模糊到精確、嚴謹、簡約的“ε-N”，“ε-δ”的語言過程。在講無窮級數時，就可插入牛頓—萊布尼茲、伯努利兄弟對無窮級數的情有獨鐘；還可簡略向學生介紹歐拉在求完全平方數的倒數之和1/12+1/22+1/32+…時大膽的想象到再證明的過程。數學也有其藝術性，表現在它的簡單美、對稱美、統一美、奇異美。很多實際問題模型化成數學問題后，就會變得簡潔明了，數學符號語言本身也體現了簡單美，數學中不管是形式上的還是圖形上的對稱更是比比皆是。

讓學生在學習微積分的同時通過數學文化的適時滲透，了解什么是微積分，微積分做了什么等問題，有助于激發學生學習微積分的興趣，活躍課堂氣氛。

三 發揮信息技術在微積分教學中的輔助功能

信息技術有助于呈現思想、溝通并支持推理和計算，而且“執行一個過程不再一定需要人類參與，學習符號不再像過去那樣只是少數人的特權”，使得微積分學習從枯燥、抽象走向生動、形象。

美國微積分教材改革遵循“四原則”，每個概念以幾何、文字描述和代數形式呈現，對于微積分的主要概念如極限、導數、積分的介紹，除了概念本身的文字敘述和符號語言描述，“形”的展現也很必要。教師可以借助信息技術可視化優勢給學生帶來交互性和動態性的體驗。如極限的“ε-N”定義，引入實例時通過對ε的不同賦值，用數學軟件制作相應的圖形，從動態演示中讓學生產生感性認識，進而總結規律，歸納極限定義。再如用“元素法”求面積、體積可通過軟件制圖功能讓學生對無限分割有一種逼近感，更好地從數、形結合中去理解極限與積分的關系。常見的數學軟件如Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD、幾何畫板等既能繪制數學圖形也能完成數值符號運算。對于經管類專業的學生而言，要使微積分顯得易接近，應用更重于計算，故而微積分很多計算如求積分、求解微分方程等都可借助于數學軟件，通過簡單的口令輸入就可求得結果，這樣讓學生把更多的精力放在數學實際應用上。

此外，隨著人們對“互聯網+”信息觀念的深入認同以及現代智能設備的發展，微積分教學設計和教學媒體在這方面也應有所突破，除了現行的網絡平臺，如WolframAlpha、試題庫系統、精品課程網等外，制作跨媒體教材、手機APP等使學習不受時空界限的束縛，實現課內課外、線上線下、校內校外隨時隨地非線性學習，真正打通書本世界、現實世界和網絡世界的聯系。

四 學習方式多樣化

現在的微積分學習方式非常單一，主要以聽、練為主，本質上還是一種模仿，這就導致了相當多的學生持記憶知識的學習觀，甚至在運用微積分知識解決問題時一旦離開課本就無從下手。當代建構主義認為“課本知識只是一種關于各種現象的較為可靠的假設，不是解釋現實的‘模板’”，而學習是“學生建構自己知識的過程”，并不是簡單的信息輸入、存儲和提取，應是“同化和順應”，即一方面理解、記憶新知識，在分析的基礎上形成自己的思想，一方面對既有知識、經驗進行改造。因此，微積分學習方式要體現學生的主體地位。對于一些難以理解的概念、定理可采取如研究性學習、基于問題的學習、合作學習等共同學習方式，以加強溝通交流、發揮團隊優勢，充分調動學習的積極性，完成知識建構。

比如極限概念，不僅其豐富性、抽象性影響了學生對概念的掌握，而且在未學概念之前學生對日常生活用語“趨向”“極限”的理解也會影響極限數學含義的學習。大部分學生會求極限但不代表他理解了極限，此時可提出問題：“ =1嗎？”基于問題讓學生進行探究、合作討論，老師適當加以引導，從而更好地幫助學生理解極限中所包含的無限思想。又如對微分與積分關系的理解，大部分學生會求微分、積分，但很少探索它們互逆的運算關系，故而可通過分組討論的方式，以PPT、小論文、口述性語言等方式呈現討論結果。

除了以上幾點，同時還需要教師提高自身的學術威信和人格魅力，形成個人教學風格，也需要學校其他工作人員的共同努力，促使學生形成良好的學風。總的來說，影響微積分課堂教學效果的因素是多方面的，促發學生的學習動機，增進學習興趣，從而讓課堂“活”起來是重要的方面，值得我們繼續深入探討。

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〔責任編輯：龐遠燕〕