基于Zipf定律和分形理論的碳儲量分布研究

摘要：運用Zipf定律和分形理論對江西省森林土壤有機碳儲量及植被碳儲量規模分布特征進行了定量研究。結果表明：①森林土壤碳儲量和森林植被碳儲量規模分布均符合Zipf定律，通過Zipf定律把握碳儲量規模的分布是可行的；②在等級-森林0～20 cm土壤有機碳儲量規模分布中，出現了雙分形特征，存在2個次級結構子系統，系統Ⅰ中Zipf維數q<1，分形維數（D）較大，說明各地區之間土壤碳儲量規模差異不大，分布相對集中，分形形態表現較好；系統Ⅱ中Zipf維數q>1，分形維數（D）較小，說明各地區之間土壤碳儲量規模結構差異較大，分布相對分散，分形特征形態表現較差。0～100 cm土壤有機碳儲量規模分布規律與0～20 cm土壤有機碳儲量規模分布相似；③在等級-森林植被碳儲量規模分布雙對數圖上也存在2個子系統，表現出明顯的雙分形特征。綜合結果分析表明，在江西全省范圍內，無論是土壤碳儲量，還是森林植被碳儲量，在資源規模分布上都存在著極大的不均衡性，其空間結構差，優化程度不高，亟待進一步完善。

關鍵詞：分形理論；Zipf定律；碳儲量分布

中圖分類號：S718.5 文獻標識碼：A 文章編號：0439-8114（2016）01-0054-05

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2016.01.016

工業革命以來，由于化石燃料的過度燃燒，溫室氣體不斷的在地球大氣中積累，導致陸地地表和海洋大氣的氣溫持續上升[1]，溫室效應已成為當今國際社會公認的最為嚴重的環境問題之一[2]。因此，降低大氣中主要溫室氣體二氧化碳的濃度是解決溫室效應的主要途徑。

森林作為陸地生物圈的主要組成部分，不僅維持著約占全球86%以上的植被碳庫，同時也維持著巨大的約占全球73%的土壤碳庫[3]。土壤每年呼吸釋放到大氣中的CO2是化石燃料燃燒釋放的CO2的10倍以上[4]。土壤有機碳庫的輕微變化足以對大氣中的CO2造成極大的影響，進而通過溫室效應影響全球氣候變化[5]。所以有必要對土壤有機碳儲量和分布特征進行詳細研究。與此同時，為更好地理解森林生態系統與氣候變化之間的相互作用，也為提高該區域森林生態系統的質量提供數據支持，還需要研究森林植被碳儲量及其分布情況。

森林土壤和植被碳儲量的分布形態可以理解為是在某種規定的尺度中離散的分布。這種分布上或結構上的離散性是森林資源規模分布不均衡的主要原因，也是研究森林生態系統碳儲量規模分布形態的方向之一[6-9]。筆者利用分形理論和Zipf定律對江西省森林土壤和植被碳儲量的規模分布及其特征進行定量分析，為研究森林生態系統碳儲量空間分布格局提供了新思路，同時，也為林業部門制定區域森林資源可持續經營方案提供了新理念。

1 分形理論與Zipf定律介紹

1.1 分形理論

分形理論（Fractal theory）是現代非線性科學中的一個重要分支，是科學研究中一種重要的數學工具和手段。1967年，Mandelbrot首次創造性地闡述了分形理論，它可以定量表達自然界中傳統歐式幾何學不能描述的復雜而有規則的幾何現象，揭示非線性系統中有序和無序的統一、確定性和隨機性的統一問題，為人們認識和分析復雜性問題提供了新的方法。經過眾多研究者的修正，分形得以有了較為全面而恰當的定義[10-13]。而分形維數（Fractal dimension）則是描述分形的重要參數，能夠反映分形的基本特征，用數學模型表述為：

N（r）～r-D （1）

模型中，r為尺度；N（r）為被量度客體的數目；D為分形維數。分形理論經過幾十年的發展，現已被廣泛應用于生物學、物理學、化學、氣象學、地質學、計算機圖形學、材料學、經濟學等自然科學和社會科學研究中，成為當今國際上許多學科的前沿研究領域之一[14]。目前，分形理論在林業科學中的應用主要有森林生態系統土壤分形特征研究、森林氣候時空分布的分形特征研究、森林火災的分形模擬、森林植被空間格局的分形研究、樹木結構特征的分形模擬、木材構造及其生理特征分形研究、植物形態結構及其動態變化的分形模擬以及林業遙感圖像的紋理分析等方面[9，10]。

1.2 Zipf定律

在認識自然資源數量的分布形態及其表現實質時，Zipf定律給研究者提供了一種思考的途徑和一類精巧的模式。美國哈佛大學教授吉弗于1949年出版的《人類行為與最小努力原則》一書全面闡述了Zipf定律的內容。該定律針對空間地域分布中的非連續現象（即離散分布現象），從諸如等級-大小或秩位-規模等的關系中揭示出了一條值得重視的結論[15]。Zipf定律可以用數學模型表述為：

lnP（k）=-qlnk+lnP1 （2）

模型中，k為某個體在系統中的等級，即位序；P（k）為等級k的個體規模；P1為等級首位的規模；q為參數（Zipf維數），且q×D=R2[6，15]，R2為擬合出的式（2）的決定系數。Zipf維數具有明確的分維意義，揭示了等級-大小等關系的分形結構特征。目前，Zipf定律已經被廣泛地應用到城市、經濟、生態、海洋、旅游等許多領域。楊國良等[16]用zipf定律對四川省入境旅游流規模結構的研究結果表明，zipf定律、差異度、均衡度指標均可作為旅游流規模結構分析的有效手段或工具。談明洪等[15]對Zipf維數和城市規模分布的分維值的關系進行了探討。但zipf定律在林業科學領域中的應用較少，劉羿等[6]用zipf定律對全國森林資源規模分布情況的研究是一次很好的嘗試。

2 材料與方法

2.1 研究方法

以江西省為研究范圍，各市為研究的基本單位，對各市的森林土壤有機碳儲量和森林植被碳儲量規模進行排序，并將規模序號和指標數量進行對數變換，繪制在雙對數坐標圖上，觀察其擬合狀況。如果二者存在回歸擬合函數關系，即滿足式（2），則可以認為該碳儲量規模結構符合Zipf定律；反之，論證前的假設不成立，碳儲量規模結構不符合Zipf定律。如果符合Zipf定律，就逐點擬合出最優的數學模型，并根據q和R2利用D=R2/q計算出分形維數（D），最后對繪制的圖形進行分析。當Zipf維數q>1，分形維數（D）較小時，系統無標度區間內森林土壤和植被碳儲量規模結構差異較大，說明無標度區間分形特征形態表現較差；當Zipf維數q<1，分形維數（D）較大時，系統無標度區間內森林資源規模分布相對集中，結構差異性較小，說明分形形態表現較好。據此，來分析江西省森林碳儲量空間分布的結構特點。

2.2 數據來源

研究所采用的數據是江西省2001—2005年森林資源二類調查數據，選擇的指標是0～20 cm土壤有機碳儲量、0～100 cm土壤有機碳儲量、森林植被碳儲量（表1）。

2.3 數據處理

數據處理采用Excel軟件，包括數據排序、圖表分析、模型lnP（k）=-qlnk+lnP1的擬合。

3 結果與分析

3.1 森林土壤有機碳儲量空間格局分形特征

將江西省各地區的森林土壤有機碳儲量數據按照從高到低的順序進行排序，分別得到0～20 cm和0～100 cm土壤有機碳儲量序列。把排在首位的地區等級定為1，排次位的等級定為2，依此類推。江西省等級-森林土壤有機碳儲量規模雙對數圖如圖1所示。由圖1可知，等級-森林0～20 cm土壤有機碳儲量規模的散點圖很難用一條直線或曲線擬合，其間出現明顯分岔轉折點，表明森林土壤有機碳儲量規模結構發育不完善，在大的結構體系下存在2個次級結構子系統，即存在無標度區[13]分段情況，也就是雙分形特征[19]。從散點圖初步可以判定，第6、7點出現斷裂，該斷裂很可能是分岔點，由式（2），根據已知的P（k）和lnk經過逐一回歸，確定兩條最佳擬合直線，即第1～6點所代表的系統Ⅰ和第7～11點所代表的系統Ⅱ。通過森林土壤有機碳儲量指標能夠說明碳儲量規模分布符合Zipf定律，并出現雙分形特征[16]。從圖1和表2擬合情況看，系統Ⅰ中q<1，分形維數（D）較大，前6個點對應的贛州市、吉安市、上饒市、撫州市、宜春市、九江市6個地區0～20 cm土壤碳儲量規模差異不大，分布相對集中，分形形態表現較好。系統Ⅱ中q>1，分形維數（D）較小，說明散點圖上對應的景德鎮市、萍鄉市、鷹潭市、新余市、南昌市5個地區0～20 cm土壤碳儲量規模結構差異較大，分布相對分散，分形特征形態表現較差。綜合圖1來看，2個規模結構等級子系統不僅內部結構的分布模式不同，而且子系統之間呈跳躍式突變，分別代表第6點和第7點的九江市和景德鎮市，0～20 cm土壤有機碳儲量前者為3 774萬t，是后者1 192萬t的3倍左右。由圖2和表2擬合得到的最佳方程可知，在等級-森林0～100 cm土壤有機碳儲量規模分布中同樣出現了雙分形特征和2個子系統，其中系統Ⅰ中q<1，分形維數（D）較大，前6個點對應的贛州市至九江市等6個地區0～100 cm土壤碳儲量規模差異不大，分布相對集中，分形形態表現良好。系統Ⅱ中q>1，分形維數（D）較小，說明散點圖上對應的景德鎮市至南昌市5個地區在0～100 cm土壤碳儲量規模結構差異較大，分布相對分散，分形特征形態表現較差。綜合圖1、圖2、Zipf維數和分形維數來看，0～20 cm和0～100 cm土壤有機碳儲量規模分布規律相似。

3.2 森林植被碳儲量空間格局分形特征

對江西省各地區森林植被碳儲量數據按上述方法進行相同處理，繪制在雙對數坐標圖上，江西省等級-森林植被碳儲量規模雙對數圖如圖3所示。由圖3可知，森林植被碳儲量規模分布與森林土壤有機碳儲量規模分布基本一致，等級-森林植被碳儲量規模分布在雙對數圖上也都存在2個子系統，表現出明顯的雙分形特征，以森林植被碳儲量為指標的森林資源規模分布符合Zipf定律。從散點圖（圖3）和擬合得到的最佳方程（表3）可知，系統Ⅰ中q<1，分形維數（D）較大，表明前6個點對應的贛州市至九江市等6個地區碳儲量規模差異不大，分布比較集中，分形形態表現較好。系統Ⅱ中q>1，分形維數（D）較小，說明散點圖上對應的景德鎮市至南昌市等5個地區在碳儲量規模結構上差異較大，分布相對分散，分形特征形態表現較差。

3.3 全省碳儲量規模分布情況

綜合分析0～20 cm土壤碳儲量規模分布、0～100 cm土壤碳儲量規模分布以及森林植被碳儲量規模分布情況可知，這3個指標的規模分布規律均符合Zipf定律，都出現了雙分形特征，在大的結構體系下存在2個次級結構子系統，系統Ⅰ都由贛州市、吉安市、上饒市、撫州市、宜春市、九江市構成，系統Ⅱ則由景德鎮市、萍鄉市、鷹潭市、新余市、南昌市構成。這2個規模結構等級子系統不僅內部結構的分布模式不同，而且子系統之間呈跳躍式突變，系統Ⅰ中位次最低的城市的碳儲量是與之相應的系統Ⅱ中位次最高城市碳儲量的2～3倍。這種規模分布情況說明在江西全省范圍內，無論是土壤碳儲量，還是森林植被碳儲量，在資源規模分布上都存在著極大的不均衡性，空間結構差，優化程度不高，亟待進一步完善。

4 結論與討論

1）森林土壤碳儲量和森林植被碳儲量規模分布均符合Zipf定律，通過Zipf定律描述碳儲量規模的分布規律是可行的。

2）森林土壤碳儲量規模分布結構差異性較大，在0～20 cm和0～100 cm土壤碳儲量規模分布中都出現了雙分形特征，顯示出了2個子系統的存在。2個子系統Ⅰ的Zipf維數（q）分別為0.621 4和0.629 3，分形維數（D）分別為1.585 0和1.562 1，說明這2個系統內部結構差異性較小，碳儲量分布相對集中，分形形態表現較好。2個子系統Ⅱ的Zipf維數（q）分別為2.250 1和2.221 8，分形維數（D）分別為0.422 0和0.420 6，說明系統內結構差異性較大，分形形態表現較差。2個指標的子系統Ⅰ和Ⅱ之間呈跳躍式突變，系統Ⅰ中各城市0～20 cm和0～100 cm土壤有機碳儲量均值分別為6 000萬t和15 400萬t，遠高于系統Ⅱ中的800萬t和2 100萬t，說明贛州市、吉安市、上饒市、撫州市、宜春市、九江市在江西全省范圍內土壤碳儲資源優勢非常明顯。

3）森林植被碳儲量規模分布同樣結構差異較大，森林植被碳儲量規模分布中也都出現了雙分形特征，顯示了2個子系統的存在。子系統Ⅰ的Zipf維數（q）為0.573 8，分形維數（D）為1.703 4，說明這2個系統內部結構差異性很小，碳儲量分布相對集中，分形形態表現較好。子系統Ⅱ的Zipf維數（q）為2.750 4，分形維數（D）為0.345 7，說明系統內結構差異性較大，分形形態表現較差。該指標的子系統Ⅰ和Ⅱ之間同樣呈現跳躍式突變，系統Ⅰ中各城市森林植被碳儲量均值為3 900萬t，遠高于系統Ⅱ中的560萬t，說明贛州市、吉安市、上饒市、撫州市、宜春市、九江市在江西全省范圍內森林植被碳儲資源優勢同樣明顯。

4）“十五”期間，南部和西部的贛州、吉安、宜春等地區主要以天然森林為主，碳密度較高，在江西省森林植被碳儲量中占主導地位，而中部和北部的城市如萍鄉、新余、南昌、鷹潭和景德鎮，分布著大量的人工林和次生林，并且以中、幼齡人工林為主，碳密度較低，碳儲量少[18]，這應該是造成植被碳儲量規模分布出現雙分形特征的主要原因。而森林土壤碳儲量規模分布中之所以出現雙分形特征，很可能與地形差異、維度以及南北自然區域降水量的分布差異等因素有關。

5）綜合江西全省森林土壤碳儲量和森林植被碳儲量規模分布來看，筆者認為通過對南部和西部的贛州、吉安、宜春等地區的天然林進行封山育林，穩定碳儲量的同時，大幅增加中部和北部新余、鷹潭、景德鎮等地林分中的地帶性樹種組成，調整現有森林結構和提高現有森林的經營與管理水平，有利于削減這種植被碳儲量分布上的不平衡性。并且隨著中部和北部地區人工林木的快速生長和成熟，地表凋落物分解及根系分泌物增多，土壤有機質含量也將增大[20，21]，形成巨大的貯碳潛力，同時，森林土壤規模分布結構也將得到進一步優化。

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