數學定理證明的“三部曲”

黃有達

【關鍵詞】數學定理 證明方法 步驟

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）11A-0067-01

在初中數學教材中有很多關于定理的證明，在教學時有的教師為了節省時間，往往只是重視了定理的結論，而忽視了證明的過程，讓學生錯失了真正掌握其中蘊含的思想與方法的機會。教師要在定理證明中，充分發揮學生的主觀能動性，并適時點撥，讓學生全面理解和掌握證明所涉及的思想與方法，并實現動態生成，防止學生養成重結論輕過程的不良學習習慣，培養學生良好的數學素養和嚴謹的科學態度。

一、動手操作，感知結論，提供方法

對于定理的內容，學生可以通過猜想、觀察、實驗、操作等方式先行獲得，學生在動手操作過程中能夠初步得出結論，并將所運用的方法進行總結。動手操作得出的結論不一定正確，需要通過推理、驗證來進行理論上的證實，這樣也就體現出了數學的嚴謹性，不能想當然地認可動手操作的結果，因為這只是初步得到了表象的結論。但這一步又是不可或缺的，因為在操作中已經用到了證明需要的知識，從而為下一步證明提供了思路與方法。

如人教版八年級數學上冊《三角形的內角和定理》在小學時學生就已經簡單了解了，并且在初中階段它上承平行線的性質與判定，下啟多邊形的內角和，對于學生知識的銜接、能力的遷移有著重要的作用。在教學伊始，教師可以讓學生把三角形紙片利用剪、拼的方法將三個內角拼成一個平角，從而得出三角形的內角和為180°，在此基礎上學生就可以得到初步的體驗，那就是要證明三角形的內角和定理，可以考慮將其三個角剪拼成一個平角。這樣的活動，為下一步的理論證明提供了實物模型，點明了思路與方法。在此背景下，教師可以提出，剪拼只是我們得到結論的一種方法，還不是數學知識獲得最科學的方法，那么我們能否用推理論證的方法來驗證這一結論呢？問題一提出，自然將學習引入了嘗試證明的階段。

二、嘗試證明，理清思路，把握關鍵

學生在已有操作經驗的基礎上可以自主嘗試證明定理，在證明時教師要引導學生規范證明的步驟，理清證明的思路，做到每一步都有理有據。同時，教師還需要注意觀察學生所用到的方法，鼓勵學生大膽嘗試，開拓思維空間，并注意總結在證明中每一步所用到的理論依據，這樣學生才能在不斷地質疑補充中完善證明的方法。

學生嘗試證明的前提就是前面動手操作時將三個內角拼成了一個平角，這樣學生就會想到過一個頂點作對邊平行線的思路。如對于ΔABC，可以過頂點A作對邊BC的平行線，也可以延長BC，過頂點C作AB的平行線，這樣再利用平行線的性質，就可以將三個內角轉化到一起，從而證明得出結論。在充分肯定了學生證明思路后，又有學生提出了不同的看法，指出“由平行線是180°，我還想到了同旁內角”。這種說法一出，又為本來就要結束的證明掀起了一個小高潮。教師表揚了該生善于觀察和認真思考的品質，并讓大家思考該如何證明。學生在剛才作輔助線的基礎上可以看出，第一種方法只需過點A作一條平行于BC的射線即可，第二種方法只需過點C作平行于AB的射線即可。這樣的生成使學生的思維更活躍，并進行歸納總結：它們都是過一個頂點作對邊的平行線，構建成平角或同旁內角來得出結論。這樣也就為下一步的拓展延伸奠定了基礎。

三、拓展延伸，適時點撥，滲透思想

教師適當的點撥能讓學生的探究熱情更高。學生對證明的方法進行全方位、多角度的探索能為下一步的學習積累更加豐富的經驗，使學生在掌握知識的同時感悟其中的數學思想與方法，更好地將知識不斷拓展與延伸。

在學生進行了嘗試證明并總結出結論后，學生可以看到上述幾種方法的共同點都是過頂點作平行線，于是有的學生就會思考：過其他點可以嗎？由此就會出現“點在三角形內”和“點在三角形外”兩種情況，這時教師完全可以放手給學生，讓學生用已有的思路與方法進行證明，但由于畫圖比較復雜，在學生進行獨立證明時教師還有必要進行適當的點撥。這樣學生在證明時就可以積累更多的活動經驗，既開拓了思路，又發散了思維，熟練掌握了解決問題的思想與方法，使課堂教學真正起到了活用教材、教活學生的目的。

總之，幾何定理的證明是學生探究知識結論及其形成與發展過程的必要途徑，讓學生經歷由生活中的模型到抽象的數學模型的過程，可以培養學生的空間觀念，建立學生的模型思想；再經歷將圖形變式，從多角度來進行分析證明的過程，可以使學生的思維更活躍，并感悟到學習過程中所涉及的思想與方法，為后續學習奠定良好的基礎。

（責編 林 劍）