讓數學思想更貼近兒童的認知原點

卞慶龍

《數學課程標準》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。”因此，模型思想是小學數學教學必須滲透的最基本的數學思想之一。“探索規律：間隔排列”是蘇教版三年級《數學》上冊的內容，揚州市小學數學名師工作室推出“間隔排列”這節課，以引導學生探索“間隔排列的規律”為載體，滲透數學模型的思想，讓聽課教師獲益匪淺。

【片段一】創設生活情境，感受間隔排列數學模型

師：生活中也有這樣的現象。（課件出示：人行道、圍墻、減速帶、手鏈圖片。）

生1：人行道上紅白瓷磚一一間隔排列。

生2：圍墻上磚柱和柵欄一一間隔排列。

生3：減速帶上黑黃兩色一一間隔排列。

生4：手鏈上黑紅珠子一一間隔排列。

師：你能舉出生活中這樣的一些例子嗎？

生5：教室里，桌子、椅子一一間隔排列。

生6：馬路邊，樹、空檔一一間隔排列。

師：你們能用喜歡的圖形或者符號創造一組一一間隔排列的物體嗎？請試著在作業紙上畫一畫。

教師出示學生若干作業后重點展示其中兩幅圖：

（1）○△○△○△○△○△○△

（2）？！？！？！？！？！？

師：比較一下，這幾組間隔排列有什么不一樣的地方？

生7：圖形、符號不一樣。

生8：有的圖形首尾相同，有些圖形首尾不同。

師：我們不僅要關注圖形，還要關注其中的數學知識。

【賞析】教師讓學生從課件呈現的他們熟悉的生活情境中去尋找符合間隔排列規律的現象，如不同顏色的瓷磚、院墻的柵欄和磚柱、減速帶的不同顏色。再讓學生列舉生活中符合間隔排列規律的例子。目的是讓學生對一一間隔排列的認識進一步深入，讓學生用數學的眼光審視他們熟視無睹的事物，去發現生活中隱藏的數學現象、問題，讓學生感覺到數學就在他們身邊，有利于培養學生的數學意識。當學習情境和學習素材都貼近兒童生活時，學習就“像呼吸一樣自然”。

要把高度抽象、概括的模型思想滲透給學生，我們就必須讓數學模型的建立順應兒童的數學思維。教學中，教師讓學生用圖形或者符號來表示間隔排列的規律，畫圖可以幫助學生直觀地理解數學，把抽象、復雜的數學問題變得簡明、形象。當學生用圖形、符號把一一間隔排列的規律表示出來的時候，說明學生對數學建模的思想已經有了初步的感受，學生對觀察到的現象都經歷了分析、比較、概括、歸納、抽象、符號化的建模過程。

【片段二】呈現童話情境，感知數量關系模型

師（投影出示教材中的主題圖）：你們能說說圖中一一間隔排列的物體嗎？

生1：兔子、蘑菇一一間隔排列。

生2：手帕、夾子一一間隔排列。

生3：木樁、籬笆一一間隔排列。

師：比一比，每排兩種不同物體的個數分別是多少？哪種物體多？

生4：兔子比蘑菇多一個，木樁比籬笆多一個，夾子比手帕多一個。

師：有沒有人沒有數就發現兔子比蘑菇多一個、夾子比手帕多一個？

生5：我沒有數。我是這樣想的，從左到右，一只兔子對著一個蘑菇，一個蘑菇對著一只兔子，最后一只兔子沒有對著蘑菇，所以兔子比蘑菇多一個。其他的也一樣。

師：一只兔子對著一個蘑菇，一個蘑菇對著一只兔子，最后一只兔子沒有蘑菇對著，所以兔子比蘑菇多一個。夾子和手帕、木樁和籬笆數量關系的道理也是一樣的。

（學生在主題圖上分組并圈一圈。）

師：我們可以用符號表示這些物體，比如用△、○表示夾子和手帕，也可以用它們表示木樁和籬笆或者兔子和蘑菇。大家再用符號畫一畫，分一分組。

（學生畫，并用箭頭分組表示。）

師：如果兩端物體相同，哪種圖形多？多幾個？為什么？

生6：○比三角形多1個。

生7：○的個數=△的個數+1。我們把○和△兩個一組、兩個一組地分成若干組，最后一組的○沒有△對應著，所以○比△多1個。

師：現在還有數的嗎？

生8：用數的方法不好，用分組畫圈的方法比較方便。

【賞析】主題圖呈現的是一個森林舞會的童話情境，富于童趣，將知識、思想、情感融于一體，有助于激發學生的學習興趣。

學生經歷了對大量間隔排列素材的體驗，對間隔排列的模型有了豐富的感受。當學生將間隔排列以符號化的方式呈現出來時，學生不僅進一步感知兩種物體間隔排列的規律，而且歸納出每排中首尾物體相同時的數量關系模型：兩端物體相同時，兩端物體的數量=中間物體數量+1。

當學生把△和○分組，讓它們一個對著一個的時候，雖然學生沒有說出“一一對應”這個術語，但實際上學生已經感悟到一一對應的思想，分組實際上是“一一對應”思想的一種兒童化的個性表達。在解決實際問題的過程中建立了數學模型，還必須從數學角度對數學模型進行解釋。這里，學生正是運用“一一對應”的思想對數量關系模型做出了解釋。

【片段三】提供運用情境，感悟模型思想

1.課件出示：下面每題兩種圖形中哪種圖形多？為什么？

交流討論。

生1：第1小題△和○一一間隔排列，兩端都是△，所以△比○多一個。

生2：第2小題，笑臉和半圓同樣多。因為笑臉和半圓一一間隔排列，兩個一組、兩個一組地分，最后也正好是一組，沒有剩余，所以○的個數等于月亮的個數。

生3：第3小題雖然不知道△和○一共有多少個，如果把△和○兩個一組地分組，正好分成若干組，沒有剩余，所以△和○一樣多。也就是說：兩種物體一一間隔排列，兩端物體不同時，兩種物體數量相等。

2.課件出示：如果把○和□一一間隔排成一列，□有10個，○可能有幾個？

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

生4：如果在10個□之間插入○，一共需要9個○。

生5：如果在○之間插入10個□，就需要11個○。

生6：如果在每個□前面或者后面各插入一個○，這樣就需要10個○。

師：你們用什么方法得到答案的？

生7：我用畫圖的方法得到的。

生8：我是根據規律計算的。

生9：畫圖的結果證明我們發現的規律是對的。

3，課件出示：男生女生排隊游戲。

選3男3女，如果要求一男一女間隔排成一列，可以怎樣排？如果把排成的一列改為圍成一圈，怎么排？如果不符合要求，應該怎樣調整？（過程略）

【賞析】建立數學模型后，還需運用模型去解決現實問題，接受實踐的檢驗。在對模型進行運用、驗證的過程中，學生進一步加深對模型的感悟。

教師在引導學生解決第1題第（2）小題時，發現“兩端物體數=中間物體數+1”的模型不再適用，于是對原有模型做修正，建立新的模型，即兩端物體不同時，兩種物體數量相等。第2題是一道開放題，無論排列方式如何變化，始終運用的都是兩種數量關系模型，在對模型運用中加深學生對兩種數學模型的感悟。結尾處的游戲，不僅是運用數學模型解決問題，而且寓教于樂，能夠再次調動學生學習的積極性。這3道題既可以借助已經建立的數學模型來解答，也可以借助操作直接得知結果。教師借助操作求解的結果來幫助學生驗證、確認運用模型解答的正確性和模型的準確性，也就是對模型做出評價，使得學生認識到：運用數量關系式計算的結果與實際情況一致，說明模型是正確的，我們就可以運用數學模型來解決實際問題；如果運用關系式計算的結果與實際操作結果不同，那就要重新建立模型或者修正模型。

在教學中，教師在引導學生對現實問題表征的過程中，用數學的語言、形式刻畫現實問題，形成了數學模型，而后再運用模型解決現實問題。必須注意的是，在滲透數學思想的教學過程中，我們要依據兒童的學習狀態和思維起點，創造兒童熟悉或者感興趣的情境，采用適合兒童認知特點的方式進行數學建模，滲透模型思想。我們只有了解兒童認知原點，才能促進兒童思維的發展。學生感悟到了數學思想，積累了數學的活動經驗，才能提升數學學科核心素養。

責任編輯 周瑜芽