基于譜方法分析有阻尼負載圓柱殼頻散特性

第一作者王獻忠男，博士，講師，1986年1月生

通信作者吳衛國男，博士，教授，1960年2月生

基于譜方法分析有阻尼負載圓柱殼頻散特性

王獻忠1,2, 吳衛國1,2, 龐福振3,孔祥韶1,2

(1. 武漢理工大學 高性能艦船技術教育部重點實驗室，武漢 430063；2.武漢理工大學 交通學院，船舶、海洋與結構工程系 武漢 430063； 3.哈爾濱工程大學 船舶工程學院，哈爾濱 150001)

摘要：以Chebyshev多項式系為基函數，采用譜方法離散彈性理論的波動方程，建立對應的廣義特征值問題。依據殼體結構波運動、內部流體及外部阻尼材料在界面處的位移、應力連續條件，構造此復雜圓柱殼系統廣義特征值方程。通過數值求解特征值獲得對應頻率下波數，進而獲得圓柱殼結構的頻散曲線。分別討論充水與否、有阻尼負載圓柱殼的頻散曲線，獲得有價值結論。

關鍵詞：譜方法；圓柱殼；頻散特性；阻尼層

收稿日期：2013-09-23修改稿收到日期：2014-02-14

中圖分類號:U674.76文獻標志碼：A

基金項目：國家電網公司科技項目；國家自然科學

基金項目：國家重點基礎研究發展(973)計劃項目(2011CB013606)；廣西科技攻關計劃(14124004-4-5)；廣西防災減災與工程安全重點實驗室開放課題(2013ZDK08)

Spectral method for dispersion characteristics of a cylindrical shell boarded with a damping layer

WANGXian-zhong1,2,WUWei-guo1,2,PANGFu-zhen3,KONGXiang-shao1,2(1. Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China；2. Departments of Naval Architecture, Ocean and Structural Engineering, School of Transportation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China；3. College of Ship Building Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract:The wave equation of the elastic theory was discretized with the spectral method. Then, the equation was converted to a corresponding generalized eigenvalue problem by taking Chebyshev polynomials as base functions. Considering the boundary conditions at fluid-structure interface and damping layer-structure interface of a cylindrical shell structure, a generalized eigenvalue equation of this complex cylindrical shell system was built. The wave numbers for a given frequency were calculated with MATLAB eigenvalue solver. Then the dispersion curve of the cylindrical shell was gained. The dispersion curves of the cylindrical shell with a damping layer and water filled or not were discussed. Some valuable conclusions were obtained according to the dispersion curves.

Key words:spectral method; cylindrical shell; dispersion characteristics; damping layer

圓柱殼體廣泛用于工業結構、航空航天及水下潛艇結構中。研究其聲傳播特性對理論及實踐均具有重要意義。實際工程應用時控制圓柱殼結構振動、聲輻射的常用措施為在其表面敷設阻尼材料，因此研究敷設阻尼材料的圓柱殼聲傳播問題尤為必要。對真空中薄壁圓柱殼及硬壁管內流體彈性波傳播研究已較成熟。文獻[1-3]專門討論具有軸對稱性質波，但忽略了Poisson系數引起的殼體位移耦合，且只討論低頻情況。Brevart等[4]利用簡化的Donnell-Mushtari殼方程研究單層圓柱殼一流耦合系統的聲振特性。Fuller等[5]通過建立的充液圓柱殼自由振動方程，討論低階周向模態(n=0,1)下實、虛及復波數波的傳播特性。Gazis等[6-7]用數值方法求解推導的頻散方程，獲得頻率-波長曲線，并與薄殼近似理論結果對比。Breitenbach等[8]推導出浸入水中的無限長內充空氣鋁柱殼在垂直入射平面波下簡正波解。Maze等[9]研究彈性柱殼中周向波頻散曲線的分叉(repulsion)現象。Barshinger等[10]研究有粘彈材料覆蓋層的空心圓柱殼中導波傳播問題，用傳遞矩陣法推導頻散方程，并數值求解頻散曲線。

由于超聲導波技術具有無損檢測的獨特優勢，廣泛用于各種結構尤其管道結構的健康、缺陷檢測。而研究導波在各種構件中的傳播規律是應用導波技術的關鍵。Alleyne等[11]在較低頻厚積下研究內徑-壁厚比變化對導波模式頻散特性影響。Kumar 等[12-13]研究空心圓柱內充滿液體時對導波在管道中傳播影響，認為泄漏圓柱系統較自由表面單層管道模態更多、更復雜，此復雜模態需用復雜的Bessel方程方能計算。Lafleur等[14]詳細研究了低頻模態在充液管道中的傳播。Sinha等[15-16]研究軸對稱導波在內充液管道或外受液體荷載管道中的傳播規律，計算復雜缺陷形狀的真實波數及復雜頻率，并進行對比實驗。

以上研究思路均為建立殼體運動方程及Helmholtz方程。利用界面處運動協調條件建立流固耦合超越方程，通過實波數軸求根方法或復平面圍道積分方法求解。當需考慮彈性管壁與管內流體間相互作用及殼體表面敷設有粘彈性材料時，波傳播問題相當復雜。而此數值方法面臨求解多層(N>2)介質、有阻尼、非均勻層介質、多孔材料、各向異性等情況下結構頻散特性困擾，會嚴重降低搜根法的實用性。對任意多層圓柱結構的波傳播特性分析，采用譜方法分析結構頻散特性較簡便。Adamou等[17]采用譜方法進行數值求解二維彈性介質中波頻散方程。譜方法是加權余量法中較完善的，較傳統搜根方法，譜方法不但具有精度高、計算效率高等優點，且可求解結構為阻尼、多孔材料等情況。Karpfinger等[18-19]利用譜方法求解圓柱結構為多層均勻介質時的頻散關系及位移分布。

本文將譜方法擴展到求解有阻尼負載情況下的圓柱殼結構頻散問題。該方法理論以Chebyshev多項式系作為基函數[20]，將圓柱殼半徑的變化范圍通過坐標變換至區間[-1,1]。因此先給出[-1,1]的廣義Chebyshev多項式及性質以及展開系數滿足的部分關系式。再用譜方法對柱坐標系下的標量、向量波動方程進行空間離散，據交界面處邊界條件構造復數特征值方程，求解結構頻散曲線。

1彈性介質中波動方程

以帶阻尼材料層的無限長彈性圓柱殼為例進行分析。采用嚴格的彈性理論分析圓柱殼結構的頻散關系。設殼體彈性模量為E，泊松比為μ，密度為ρ，液體介質密度為ρ0。所用坐標系見圖1。

圖1　敷設阻尼材料的圓柱殼的示意圖 Fig.1 Schematic diagram for cylindrical shell with damping layer

由彈性理論，得均勻各向同性彈性介質滿足位移向量的波動方程為

μ2u+(λ+μ)(

(1)

式中：u=Φ+H，H=Hrer+Hθeθ+Hzez(柱坐標下)。

圓柱殼運動由于僅考慮軸對稱縱波、橫波影響，通過分離變量可將波動方程分解為

(2)

(3)

設波沿+z方向傳播，所得方程的解為

Φ=f(r)ei(kz-ωt)

(4)

Hθ=h(r)ei(kz-ωt)

(5)

將式(4)、(5)代入式(2)、(3)得

(6)

(7)

由位移勢函數得相應位移為

ur=(?rf-ikh)ei(kz-ωt)

(8)

(9)

由位移與應變關系可得

(10)

r-1?rh+(k2-r-2)h]ei(kz-ωt)

(11)

由廣義胡克定律σij=λΔj+2μεij可得

(12)

(13)

對理想流體介質而言，無需考慮其剪切項，即可忽略式(3)，得理想流體特征方程為

(14)

位移表達式為

ur=?rfei(kz-ωt)

(15)

uz=ikfei(kz-ωt)

(16)

應力表達式為

(17)

σrz=-2μk?rfei(kz-ωt)

(18)

2邊界條件

據圓柱殼邊界處連續條件，對式(6)、(7)進行求解。

(1)對流體與流體交界面，有

(19)

(20)

(2)對流體與結構交界面，有

(21)

(22)

(23)

(3)對結構與結構交界面，有

(24)

3譜方法

對波動方程一類雙曲型方程，常采用Chebyshev-gauss配置點，即

(25)

求解變量在[-1,1]的規則區域，而實際求解區域往往不在標準區間，因此需對計算區域進行坐標變換，即

(26)

區域轉換后對未知函數φ的一、二階導數為

(27)

(28)

譜方法的構造可由加權參量法得出，設

(29)

(30)

故有

fn≈Dnf

(31)

4有阻尼負載圓柱殼譜方法

本文采用Chebychev多項式去逼近方程(13)、(14)中的特征向量項f，h，進而利用微分矩陣對該多項式快速、準確微分求導。將函數f沿半徑方向離散為N個點，則據式(7)可表示為

(32)

由式(32)可得式(13)、(14)左端微分算子，即

(33)

式(13)、(14)用微分矩陣形式表示為

(34)

式中：Ll，Ls為微分矩陣，表達式為

(35)

將式(15)、(16)用微分矩陣形式表示為

(36)

將式(19)、(20)用微分矩陣形式表示為

(37)

式中：

Srh=2μD(1)；Szf=-2μ[D(3)+diag(r-1)D(2)-

阻尼層位移向量中λ*，μ*為復粘彈性Lamé常數，所得阻尼層縱波及橫波波速為復數，且不增加計算難度及效率。通過式(34)構造有阻尼負載圓柱殼矩陣方程為

(38)

將式(26)~式(30)代入式(36)、(37)，并將邊界條件行整合到式(38)中，得廣義特征方程為

(39)

(40)

式中：E為對角陣，E(1,1)=0，E(N,N)=0，E(i,i)=1,i=2…N-1。

圖2　有阻尼負載圓柱殼 矩陣 Fig.2 Lmatrix of cylindrical shell with damping layer

由式(31)看出其滿足Ax=Bλx形式，即有結構的頻散方程本質上為求解廣義特征值問題。對此已有較多數值方法可求解。

5數值計算結果及驗證

5.1圓柱殼結構頻散特性

用充液圓柱殼模型[17]，計算圓柱殼縱波速度為4 879m/s，橫波速度為2 600 m/s，密度為2 160 kg/m3，圓柱殼外徑為2 m，內徑為0.1 m，內部流體介質縱波速度為1 500 m/s，密度為1 000 kg/m3。計算結果見圖3。對比圖3中1階相速度頻散曲線看出，采用傳統的搜根方法(二分法、牛頓法)計算結果與譜方法計算結果吻合良好，從而驗證本文方法的有效性及正確性。由于譜方法通過求解特征值獲得頻散曲線，較傳統搜根法在計算效率上有較大提高。

5.2充水圓柱殼頻散特性

計算中圓柱殼取各向同性的銅質材料，彈性模量E=2.078E11 N/m2，泊松比μ= 0.317 756，密度ρ=8 500kg/m3，縱波速度為3.7 km/s，橫波速度為2 km/s。離散點個數π/N≤λ/2，N=40，圓柱殼厚徑比h/R= 0.125。流體介質水密度為1 000 kg/m3，縱波速度1.5 km/s。分別計算圓柱殼充水與否的頻散特性。計算曲線見圖4。對比圖4(a)、(b)相速度頻散曲線發現，本文殼體的相速度頻散曲線與各導波模式的頻散曲線[18]吻合較好。驗證本文計算方法的正確性、有效性。圓柱殼內部有水時，圓柱殼中L(0,2)模態被內部充水的各縱向模態“折斷”，分屬不同縱向模態，相速度頻散曲線存在明顯的“階梯”規律，即模態分支現象。各模態相速度在3.3 km/s附近各“階梯”相連。由圖2發現在8 kHz以下，光圓柱殼中只存在縱向軸對稱L(0,1)及L(0,2)模態。“階梯”現象的產生可認為因單層圓柱殼前兩階模態與內部水圓柱殼體縱向模態交叉耦合所致，各模式波在不同頻率的傳播特性差異較大。頻散曲線中出現α模態。α模態不存在截止頻率，僅圓柱殼結構在充液情況下才有。α模態相速度曲線為先減少后增加，在整個頻段內α模態的頻散特性變化較小，高頻段時主要為彎曲運動，一般認為類Stoneley波[5]。

圖3 兩種方法計算圓柱殼頻散曲線Fig.3Dispersioncurvesofcylindricalshellwithtwomethods圖4 不同結構的相速度縱向模態頻散曲線Fig.4Dispersioncurvesfortwocylindricalshells

5.3有阻尼負載的充水圓柱殼頻散特性

計算模型為有阻尼負載的充水圓柱殼，密度7 850 kg/m3，縱波速度5.73 km/s，橫波速度3.21 km/s，離散點個數N=20，圓柱殼厚徑比0.03，水密度1 000 kg/m3，縱波速度 1.5 km/s；阻尼材料密度1 300 kg/m3，縱波速度2.306~0.228i km/s，橫波速度為0.322~ 0.032i km/s，阻尼厚度與圓柱殼體厚度比為0.4，離散點個數N=20。

由k=Re(k)+iIm(k)可知

(41)

α=Im(k)=ωIm(1/C)

(42)

故

(43)

衰減量為

A=20log10(e-1 000α)

(44)

求解式(39)可得頻率波數k，進而可分別獲得cph，A。

圖5　有阻尼負載充水圓柱殼縱向模態頻散曲線 Fig.5 Dispersion curves for a fluid-filled cylindrical shell with damping layer

由圖5相速度曲線看出，0~5 kHz時出現7個縱向模態，L(0,1~9)及α模態，后者與不充液圓柱殼中L(0,1)較相似。所有模態均趨近圓柱殼內部水的縱波波速1.5 km/s。各階模態的衰減程度不同，主要由縱向模態向液體中泄露能量及阻尼負載損耗引起的能量損失。其中L(0,1)在 0.5 kHz以下衰減較小，隨頻率增加L(0,1)階波頻散及衰減特性均增加。L(0,2~7)隨縱向模態階數、頻率增加，衰減程度越嚴重。

6結論

(1)提出一種新的求解圓柱殼結構頻散特性譜方法，并針對多層復合圓柱殼結構計算模型，以Chebyshev多項式系為基函數，通過坐標變換給出[-1,1]上廣義Chebyshev多項式，通過構造柱坐標下標量、向量波動方程，進行空間離散，據交界面處邊界條件構造復數特征值方程。求解獲得結構頻散曲線。

(2)基于譜方法，求解充水與否、有阻尼負載圓柱殼比較典型的頻散特性情況。研究表明，譜方法在求解有阻尼、非均勻層介質、多孔材料、各向異性等情況下復合圓柱殼具有良好的應用前景。

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