基于一、二階嵌入靈敏度分析的車輛傳動系統振動響應預測

第一作者黃毅男，博士生，1982年1月生

通信作者劉輝女，教授，博士生導師，1975年生

基于一、二階嵌入靈敏度分析的車輛傳動系統振動響應預測

黃毅1，劉輝1,2，項昌樂1,2

(1. 北京理工大學機械與車輛學院，北京100081； 2. 特種車輛研究所，北京100081)

摘要：由于汽車等行業新產品設計及零部件裝配時，其原型樣機在質量、阻尼、剛度等組件發生變化時常出現振動、噪聲問題，需對修改后系統的振動進行預測。嵌入靈敏度函數在減小線性振動實現最優設計方面的作用已得到證實,在非線性系統中借助基于統計方法對響應特性進行評價并用于靈敏度中。采用一階和二階多步迭代兩種靈敏度技術對車輛傳動系統非線性模型振動響應的統計特性進行預測。結果表明，兩種方法的預測精度在單自由度模型及車輛傳動系統模型中獲得驗證。該方法為在系統設計參數局部攝動獲得最優響應提供理論基礎。

關鍵詞：嵌入靈敏度；振動響應預測；非線性系統；車輛傳動

收稿日期：2014-01-12修改稿收到日期：2014-11-26

中圖分類號:U461.1文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金 (51275261)；國家科技重大專項 (ZX069)

Vibration response prediction for a vehicle transmission system using first-order and second-order iterative embedded sensitivity analysis

HUANGYi1,LIUHui1,2,XIANGChang-le1,2(1. School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081,China；2. Vehicle Research Center, Beijing 100081,China)

Abstract:In product manufacturing and test environments, engineers must predict how mechanical components vibrate after their mass, damping, and stiffness are modified. It makes predicting the changes in vibration response of the modified system relative to that of the original system be very important. Embedded sensitivity functions have been proved to have a good performance to realize optimal design modifications for reducing linear vibrations in certain frequency ranges. And it’s also a good way to evaluate the vibration characteristics of a nonlinear system based on the statistical method. Here, two techniques to predict the forced response of mechanical components for local changes in properties were presented based on a first-order multi-step iterative prediction and a second-order iterative embedded sensitivity analysis. The two methods were applied in a single DOF model to determine the accuracy of the predictions. They were also applied in a vehicle transmission system model. The study results provided a guidance for NVH engineers acquiring local optimal vibration response characteristics according to the proposed technique.

Key words:embedded sensitivity analysis; predicting response changes; nonlinear systems; vehicle transmission

將產品的開發設計周期最短化在企業推出新產品過程中極其重要。對汽車產業設計原型樣機及零部件裝配后出現的振動、噪聲問題，只能通過設計迭代解決，但因時間及設計修改權限有限，在產品尺寸、質量、費用等能做的改動并不大。因此若有能預測產品在某些設計參數變化后動力學行為變化技術尤其重要，對找出局部范圍內最優參數設計有明顯幫助，此為結構動力學修改[1]。其含兩方面：一為逆問題，即在已知修改前動力學行為并預定修改后動力學行為條件下用約束最優化設計方法等確定結構修改型式，稱為結構動力學修改重設計問題。其獲得唯一解的可能性極小且求解復雜、困難；二為正問題[2-3]，即在給定結構修改型式及修改前的結構動力學特性條件下用高效重分析方法確定修改后結構動力學特性，稱為結構動力學重分析問題。

預測系統動力學響應研究主要有有限元/邊界元法、試驗模態分析法、靈敏度分析方法及簡單系統解析方法等四種。其中解析法僅適用于極簡單系統，對實際系統不太適用。

對試驗模態法，如Elliot等[4-5]研究模態截斷在結構及模態修改中的影響。Sestieri[6]進一步從理論上分析因模態截斷造成修改后系統動力學特性預測的不準確性，認為因不能獲得完備模態造成模態截斷對修改后系統模態模型不能完全解耦所致影響不可忽略，通過頻率響應函數(FRF)數據取代模態數據能較好避開該問題，并提出減少矩陣求逆次數算法。Park等[7-8]推導的適用大修改模態參數變化，使修改后結構FRF矩陣在連接點通過力平衡與幾何相容性條件耦合獲得更精確的模態參數。?zgüven[9-10]的基于FRF方法在局部修改計算中可避免矩陣求逆或將矩陣階次降到最低。Yang等[11]分別比較研究修改后FRF用一、二階迭代嵌入靈敏度函數進行泰勒展開時的精度與計算量，并用于懸臂梁、汽車子系統等。對車輛傳動系統分析，劉輝等[12]基于固有特性靈敏度分析，研究慣量、剛度修改后動力學特性預測的精度問題。

隨振動問題研究逐漸深入，進行傳統線性模型下模態及頻響函數預測已不能滿足產品設計需要，故需建立接近實際的非線性模型，進行振動響應預測并反哺產品參數設計。本文由單自由度線性振動模型入手，分析基于一、二階泰勒級數展開的振動響應預測精度，并在已知參數附近給出振動最小的對應參數取值；將該方法用于車輛傳動非線性動力學模型對精度問題進行研究；針對非線性系統時域響應曲線的不規則性特點，提出將振動響應均方根(RMS)值作為振動強度的評價標準，找出給定設計參數攝動時最小振動響應均方根對應的設計參數。并對產品設計提出減振建議。

1嵌入靈敏度理論及預測振動位移在單自由度系統中的應用

嵌入靈敏度方程闡明系統振動響應關于集中質量、剛度及阻尼等參數攝動的變化情況。

1.1基于一階泰勒展開的振動響應預測

泰勒級數展開可在無需重新建模、計算情況下預測系統在某些參數發生變化后的振動響應。系統參數包括質量、剛度及阻尼等，一階近似計算式為

(1)

式中：X為系統響應矢量；a為變化參數；Δa為參數變化量。

式(1)表明系統參數a修改前后振動響應的線性變化關系。若參數變化量Δa較大，往往采用多步法進行預測，將Δa變化分成N步完成。系統參數變化較大時，也能獲得精度較高的預測結果。一階泰勒技術展開式為

(2)

式中： ?Xj/?a為在j點導數，表示每一步靈敏度需實時更新。

在滿足精度條件下常用原系統導數?X0/?a計算，式(2)變為

(3)

1.2基于二階泰勒展開的振動響應預測

當預測的系統結構較復雜時精度往往達不到要求，采用多步法需較大提高計算步數N才能滿足。提高預測精度途徑除采用更多步數即更小步長外，亦可通過提高泰勒展開階數完成。而每步靈敏度信息不更新會對提高預測精度更有效，可極大減少計算步數。對二階泰勒展開進行預測的單步表達式為

(4)

(5)

式(5)為采用多步法的計算式。由式(4)、(5)看出，一階泰勒展開需用二階導數信息，會增加工作量，但對提高精度及找出系統參數變化時局部最優振動響應中作用完全值得。

1.3單自由度系統基于一二階泰勒展開振動響應預測

據式(3)、式(5)對單自由度系統剛度變化后振動響應進行預測，步數N=10，見圖1。該系統動力學方程及對K的一二階靈敏度方程為

(5)

式中：M= 1 kg；K= 5 000 N/m；C=10 Ns/m；激勵f(t)=Acos(ωt)。

求解上式將所得位移/速度響應及其對K的一二階導數代入式(3)、(5)可求出修改后系統的振動響應。其動力學方程及一、二階靈敏度方程可通過Matlab采用定步長的四階Runge-Kutta編程求解。

圖1　單自由度線性系統 Fig.1 Single DOF linear system

由于系統工作環境常為確定的，不改變外部激勵f(t)任何參數，僅改變系統本身固有的M、K、C等，如將剛度修改為K1= 7 000 N/m。系統修改前后質量塊位移x(t)的變化見圖2。由圖2(a)看出，增加剛度K后質量塊振幅減小。由局部放大圖2(b)看出，在振動幅值上采用二階靈敏度近似結果較一階更接近修改后重算的響應結果。因此可認為取相同步數情況下二階靈敏度預測結果更好。而在簡諧波形相位上，無論一階或二階結果較重新計算結果均存在相位差，不能對修改后系統在相位上進行準確預測。對系統進行振動響應預測時更關注振動幅值及能量等信息，故需確定評價系統位移及速度響應物理量。本文采用系統位移、速度響應的RMS值作為評價標準，計算式為

(7)

(8)

式(7)為有解析表達式響應結果的計算公式，式(8)為離散或用數值方法計算的響應結果計算公式。據圖2(a)波形截取的穩態響應部分，用式(8)計算剛度K分別為4 000 N/m、5 500 N/m及6 000 N/m時，系統重新計算及一二階預測響應結果的RMS值見表1，可見誤差不超過5%。因此可認為剛度在4 000~6 000 N/m之間變化時預測結果準確。

表1　不同剛度下各階響應預測RMS值

圖2 單自由度系統響應比較Fig.2ThecomparisonofresponsecurveofsingleDOFlinearsystem圖3 剛度K從4000~6000N/m時預測響應RMS值Fig.3TheRMSvalueofpredictingresponsewhenstiffnessKchangingfrom4000to6000N/m

采用上述方法對剛度4 000~6 000 N/m的變化進行預測，每組值間隔100 N/m共計21組。計算結果見圖3。由圖3看出，剛度K在該區間的變化中位移響應RMS值單調遞減，符合線性振動特性。因此，若初設剛度K=5 000 N/m且修改量正負不超1 000 N/m，選6 000 N/m時的位移響應RMS值最小。即在線性系統等幅值振動下K為6 000 N/m時振動位移幅值最小。

2數值算例

2.1響應預測模型及流程

將上述方法用于圖4的實際車輛傳動系統，以期設計出車輛傳動系統原始樣機后通過局部結構參數修改使振動盡可能小達到減振目的，為車輛傳動系統設計提供參考。對該樣機線性模型、非線性模型的動力學方程及靈敏度方程闡述見文獻[13-14]，此處不再贅述。

圖4　某車輛傳動系統樣機 平移扭轉耦合振動模型 Fig.4 Dynamic model of lateral-torsional coupling system

對某車輛傳動樣機(圖4)在質量點1處加入4 200 r/min轉矩發動機激勵，并在質量點32、42處加入匹配傳動比負載，見圖5。該樣機包括1個輸入慣量盤、2個輸出慣量盤、11個軸承、7個離合器、4對定軸齒輪副及2個簡單行星排共42個質量點，每個質量點包括x、y、θ三向自由度計126自由度。工況為離合器BL與C4結合，其它離合器分離。行星部分傳動簡圖見圖6，離合器BL結合，BR分離時一排空轉二排齒圈制動太陽輪輸入行星架輸出。

圖5　發動機輸入轉矩 Fig.5 The input torque of engine

圖6　行星部分傳動簡圖 Fig.6 Kinematic sketch of planetary gear

求解樣機在上述工況下的非線性動力學方程，確定振動最大軸段。取常用工作轉速求解，利用動力學方程建立一階靈敏度方程，由于動力學方程的響應結果作為一階靈敏度方程的激勵存在，因此用動力學方程響應結果，要求用數值法求解動力學方程及靈敏度方程時用定步長方法以便兩種方程的解為同一時刻。據一階靈敏度結果可確定某轉速下對振動最大軸段影響最大參數，該參數可為扭轉剛度、慣量等。據一階靈敏度方程亦可推出二階靈敏度方程，據二階靈敏度方程及一階靈敏度結果可計算二階靈敏度結果，計算高階靈敏度方法類推。利用計算的振動最大軸段、最敏感參數、響應及一、二階靈敏度結果可由式(3)或式(5)預測最敏感參數小范圍攝動時動力學響應。由于非線性系統響應曲線不規則性，利用式(8)計算響應RMS值作為預測正確與否及精度標準。據滿足精度范圍的計算結果確定系統在某參數局部攝動時最小振動結果及對應參數值。整個流程見圖7。

圖7　參數攝動下振動最大軸段最優響應預測流程 Fig.7 The predicting procedure flow chart of optimal response in the largest additional torque shaft segment in parametersperturbation

2.2研究對象及最敏感參數確定

圖8　輸入4 200 r/min時系統各軸段附加扭矩波動RMS值 Fig.8 The RMS value of additional torque of segments in system in 4 200 rpm input speed

上述工況下各軸段附加扭矩RMS值見圖8。據圖4、圖5各齒輪與離合器連接關系及表2各齒輪齒數知，在質量點1輸入動力并通過兩行星排后降速升矩，據齒輪副G0102及G7G8齒數可知轉矩有所減小。因此，扭矩RMS值最大應出現于一軸上二排之后，且二軸傳動路線上扭矩較大。扭矩較大軸段的附加扭矩亦大。計算結果(圖8)已得以印證，附加扭矩最大出現在軸段20-21之間。因此選該軸段為研究對象。

表2　各齒輪齒數

圖9　軸段20-21附加扭矩對各扭轉剛度相對靈敏度 Fig.9 The relative sensitivity of additional torque of the 20-21 shaft segment with respect to shaft torsional stiffnesses

圖10　軸段20-21附加扭矩對各慣量相對靈敏度 Fig.10 The relative sensitivity of additional torque of the 20-21 shaft segment with respect to inertia of mass points

攝動參數通過一階靈敏度計算結果選取。軸段20-21在輸入轉速4 200 r/min時對各軸段扭轉剛度及各點慣量靈敏度結果見圖9、圖10。據圖9計算結果選軸段25-26間扭轉剛度kt25-26攝動進行動力學行為預測；據圖10計算結果選圖4質量點29的慣量J29攝動進行動力學行為預測。

2.3對扭轉剛度攝動的振動響應預測

軸段20-21間附加扭矩計算式、修改后軸段附加扭矩計算式及對扭轉剛度kt25-26的一、二階靈敏度計算式分別為

(9)

(10)

(11)

(12)

用式(1)對軸段20-21間附加扭矩進行一階泰勒展開時，據式(9)~式(11)修改后的附加扭矩、用式(4)二階泰勒展開式分析及式(12)修改后附加扭矩分別表示為

(13)

(14)

式(13)、(14)對應的多步法計算式分別為

(15)

(16)

將kt25-26修改為原來的1.1倍后采用多步法公式預測結果見圖11，步數N=20。由圖11看出，一、二階預測結果與重新計算值均較接近，因此認為該結果滿足精度要求。

圖11　軸段20-21附加扭矩在 k t25-26修改前后比較圖 Fig.11 The comparison of additional torque curve of the 20-21 shaft segment before and after k t25-26 being modified

用式(8)分別計算原系統、kt25-26修改后系統及分別用一、二階靈敏度預測的軸段20-21間附加扭矩，結果見表3。

表3　不同扭轉剛度k t25-26下軸段20-21間附加扭矩RMS值

用以上方法對kt25-26分別從0.9倍修改到1.1倍每0.01倍進行一次預測，共21組預測結果見圖12。由圖12看出，軸段20-21間附加扭矩隨扭轉剛度kt25-26變化并未單調變化而在1.09倍附近取得局部最小值，且由于該結果RMS值具有統計特性，因而避免瞬時沖擊造成結果的不準確性。

圖12　剛度k t25-26變化時軸段20-21間 附加扭矩RMS值 Fig.12 RMS value of additional torque of the 20-21 shaft segment in perturbation of k t25-26

2.4對質量點慣量攝動的振動響應預測

軸段20-21間附加扭矩對質量點29的慣量J29一、二階靈敏度計算式分別為

(17)

(18)

用式(1)對軸段20-21間附加扭矩進行一階泰勒展開時修改后附加扭矩及用式(4)二階泰勒展開式分析時修改后附加扭矩計算式以及對應的多步法計算式分別為

(19)

(20)

(21)

(22)

將J29修改為原來的1.1倍后采用多步法公式預測結果見圖13，其中步數N=20。由圖13看出，一、二階靈敏度預測結果較接近，曲線位于原系統響應與重算系統響應之間。說明該預測對修改后系統的時域曲線近似較好。利用式(8)分別計算原系統、J29修改后系統及分別用一、二階靈敏度預測的軸段20-21間附加扭矩，結果見表4。由表4看出，用二階方法預測時誤差不超正負10%；而由圖13時域曲線知，預測曲線波形與重新計算結果吻合較好，因此可認為預測精度滿足要求，可用于尋找參數局部攝動時的最優響應。

圖13　軸段20-21附加扭矩在 J 29處修改前后比較 Fig.13 The comparison of additional torque curve of the 20-21 shaft segment before and after J 29being modified

對J29分別從0.9倍修改到1.1倍每0.01倍進行一次預測，共21組預測結果，見圖14。圖14(b)為重新計算后軸段20-21間附加扭矩RMS值，圖14(a)為預測軸段20-21間附加扭矩RMS值。據表4，若參數在修改值一側誤差全為負、另側全為正，且誤差與實際響應RMS值波動在同數量級時會造成類似單調結果。由于預測誤差在參數同側不會同時出現不同正負號，且鄰近幾組結果間誤差變化不太大，因此可從幾組預測結果中選擇最小值，即為小范圍內的極小值。如圖14(a)中局部小值在0.9倍、0.94倍、0.97倍、0.99倍、1.01倍、1.06倍、1.07倍對應重算結果亦為局部最小值，且最小值之間差距不大。

由于非線性存在，參數變化時實際響應結果不會成類似等差分布。所用預測方法其誤差波動范圍與實際結果波動范圍在同數量級時，若原始數值兩側預測誤差為不同正負號時，往往不能獲得準確的局部最小值。局部小范圍極小值對應真實局部極小值，但誤差滿足一定精度范圍時實際極小值相差不會太大，因此在振動方面的建議雖不完全準確，卻能獲得相對原響應更小的響應結果。

表4　不同慣量J 29下軸段20-21間附加扭矩RMS值

3結論

本文針對車輛傳動系統非線性模型及基于動力學響應的一、二階靈敏度分析，采用多步法對系統扭轉剛度、慣量等參數改變后的動力學響應進行預測。據計算結果，結論如下：

(1)該方法能將二階預測誤差控制在10%以內，能較準確的對修改后系統動力學響應進行預測。

(2)對線性系統或參數攝動兩側誤差同號的非線性系統，采用該預測能較準確找到局部最優響應。

(3)對參數攝動兩側誤差異號的非線性系統預測結果往往呈類似單調趨勢，不能準確預測局部最優響應；而相鄰預測結果間誤差不大，可獲得小范圍最優響應。

(4)該方法對非線性系統動力學預測較準確，能在一定程度上為減振提供參考。

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