基于微分求積法的軸向流作用下二維板復雜響應研究

第一作者董宇男，博士生，1988年生

通信作者楊翊仁男，教授，博士生導師，1959年生

郵箱：yangyiren05@126.com

基于微分求積法的軸向流作用下二維板復雜響應研究

董宇，楊翊仁，魯麗

(西南交通大學力學與工程學院， 成都610031)

摘要：研究軸向流作用下兩端簡支二維板線性穩定性及非線性復雜響應。用微分求積法對流場方程及二維板連續型運動方程統一離散，通過流固耦合邊界條件將流場勢函數用板的橫向振動位移變量表示，獲得二維板橫向振動位移變量控制方程。通過特征值分析獲得復頻率及臨界流速隨流道高度變化。通過對壁板非線性動力響應數值模擬，采用分岔、相平面及龐加萊截面圖等揭示壁板將發生的周期運動、擬周期、混沌等多種運動形式表明，壁板由周期倍化分岔或擬周期運動通向混沌。

關鍵詞：二維壁板；軸向流；周期倍化分岔；混沌；微分求積法

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-04-10

中圖分類號:U270.11文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學

Complicated responses of a two-dimensional plate under action of an axial liquid flow with differential quadrature method

DONGYu,YANGYi-ren,LULi(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:The complicated responses of a two-dimension simply supported plate under action of an axial liquid flow were studied. The nonlinear governing motion equations of an elastic plate under action of an axial liquid flow were derived based on the potential theory. The differential quadrature method was introduced to formulate the discretized forms of the equations of motion for the system. The flow potential function was expressed as a function of structural transverse vibration displacements, the governing equations of the plate’s transverse vibration displacements were then solved with numerical methods. The complex frequencies versus flow velocity and critical velocities were obtained for various dimensionless channel heights. Calculations of bifurcation diagrams, phase-plane portraits and Poincaré maps for the plate’s responses confirmed definitively the existence of chaos and other complicated responses in terms of fluid velocity and excited amplitude. The vibration responses of the plate led to chaos from period-doubling bifurcations or quasi-periodic motion.

Key words:two-dimensional plate; axial flow; doubling-period bifurcations; chaos; differential quadrature method

板狀疊層結構在反應堆結構一體化設計中應用廣泛。該結構特點為相鄰兩平行板間存在流道，供冷卻液流動，屬典型的軸向流作用下流固耦合系統。流體流動會導致疊層板狀燃料組件產生靜態或動態失穩。實驗中當流速足夠大時，會觀察到會導致板狀結構破壞的屈曲失穩或顫振失穩[1-2]。源于此，軸向流作用下板狀結構的流致振動問題頗受關注。Miller[3]首次對疊層板狀燃料組件的流致振動穩定性進行研究，采用寬梁理論及Bernoulli定理，獲得簡單的疊層板結構屈曲失穩臨界流速計算式。Guo等[4-5]研究矩形組件在剛性水槽中的穩定性，采用Galerkin法將連續結構離散化，基于勢流理論獲得作用于結構的流體力。

對板狀層疊結構，板與板之間常為非線性支承，而非線性支承影響往往會使結構產生較多復雜現象，對結構振動及穩定性影響不可忽視。因此，板狀層疊結構非線性模型響應研究對探索板狀結構流致振動的失穩機理有重要作用。魯麗等[6]研究在流動壓力作用下，考慮具有立方非線性支承板狀梁的Hopf分岔現象。Li等[10]基于微分求積法，考慮流體的可壓縮性，對所建亞音速流下壁板的流固耦合控制方程進行離散，再通過對整體離散方程進行特征值分析方法判斷流固耦合系統的穩定性。

本文基于勢流理論建立軸向流作用下二維板流固耦合系統控制方程，用微分求積法對流場及板的控制方程統一離散。通過耦合邊界條件，將流場勢函數用板的橫向振動位移變量表示，獲得僅關于板的橫向振動位移變量控制方程。考慮二維板具有非線性彈簧與阻尼運動約束及簡諧激振力，對線性流固耦合系統進行穩定性分析，驗證本方法的準確性，再通過四階龍格庫塔法對非線性系統控制方程進行積分，數值分析非線性系統出現的周期振動及混沌運動在內的各種復雜響應。主要考查激振力幅值與來流速度對系統響應影響。

1運動微分方程與邊界條件

考慮圖1的單側二維軸向流中兩邊簡支板結構模型，板與流道固定邊間距為d，板長l，板厚hp，單位長度質量ρp，D=Eh3p/[12(1-v2)]為板的抗彎剛度，E，v分別為壁板彈性模量、泊松比，w(x,t)為板的橫向位移。在流道軸向流中，流體側向流動可忽略，因此，設流道中流體為二元不可壓縮流理想流體，即流道可采用二維小擾勢流模型，U0為來流流速，ρ為流體密度，φ為流道中流體小擾動速度勢。

圖1　軸向流中壁板模型 Fig.1 Schematic of the plate in axial flow with the rigid wall

模型中壁板中點的非線性彈簧約束考慮為立方非線性，彈簧約束力與壁板位移關系表達式為

(1)

式中：δ(·)為Dirac函數；k1,k3分別為彈簧的線性、非線性剛度系數。

對二維板結構，由于板的側向寬度較小，可用歐拉梁模型模擬，考慮非線性彈簧支承，簡諧激振力及引入阻尼作用，運動方程為

p(x)cos(ωt)-Δp

(2)

式中：Δp≡p(x,y,t)為流道中流體對板產生的流體動壓。

流體速度可寫為

(3)

小擾動速度勢在壁板上產生的流體動壓由Bernoulli方程可得

(4)

軸向流中流體速度勢φ須滿足Laplace方程

(5)

引入無量綱參數

(6)

將式(6)中無量綱參數代入式(2)、(5)得無量綱控制方程為

(7)

板的簡支無量綱邊界條件為

(8)

流場的擾動速度勢無量綱邊界條件為

(9)

在彈性板上表面，流場及彈性板的相容條件為

(10)

2微分求積法離散

文獻[11]給出微分求積法的基本原理及應用。本文所用網格點劃分方式[11]見圖2，邊界采用δ(δ=10-5)鄰接處理，節點分布形式為

圖2　微分求積法離散網格劃分 Fig.2 The mesh point distribution

(11)

式(7)用微分求積法格式離散后為

(12)

邊界條件式(8)、(9)用微分求積法離散后得

(13)

聯立式(10)、(11)，通過矩陣運算可得關于板的橫向振動位移變量的非線性控制方程為

(14)

矩陣及矢量的具體表達式可由式(12)、(13)獲得，非線性項僅存在于剛度項中；[KL]，[KNL]分別為剛度項中線性、非線性部分，在給定參數條件下，求解式(14)即能確定系統的動力特性。

3線性穩定性分析

(1)

Re(Ω)>0,(Im(Ω)≠0)

(15a)

系統發生顫振失穩；

(2)

Re(Ω)>0,(Im(Ω)=0)

(15b)

系統發生屈曲失穩。

圖3　兩端簡支模型第1階無量綱復頻率隨流速變化 Fig.3 The first frequencies of hinged model versus dimensionless flow velocity

表1　無量綱臨界流速隨流道高度及網格點數變化

4非線性響應數值模擬

采用4階精度Runge-Kutta方法對控制方程進行數值積分以研究系統呈現的復雜響應。為獲得準確的系統動態行為，計算時間足夠長，使瞬態響應完全消除，本文給出以某參數為變量的分岔圖，借助相圖、龐加萊截面圖判定系統響應性質。由于系統中含外激勵項，將選擇外激勵周期為龐加萊截面選取條件。

4.1以來流流速為分岔參數的分岔分析

圖5、圖6分別為不同λ對應的相圖及龐加萊截面圖。由圖6(a)可知，λ=4.2時龐加萊截面有三個點，可判定此時系統處于周期3運動，其相圖見圖5(b)。由圖6(b)可知，λ=4.32時龐加萊截面呈現三個封閉曲線，可判定此時系統處于擬周期運動，其相圖見圖5(c)。由圖6(c)可知，λ=6.25時龐加萊截面呈現成片的密集點結構，可判定此時系統處于混沌運動，其相圖見圖5(d)。圖5(e)為λ=7.6時系統周期2運動相圖，圖5(a)、(f)為λ=3.87及λ=7.8時系統處于單周期運動相圖，雖均為單周期運動，但運動特性卻完全不同。

(a)　3.97<λ<8.94 (b)　4.02<λ<4.49 (c)　7.21<λ<8.49 圖4　分岔圖( -λ) Fig.4 Bifurcation diagrams

(a)　周期1解 (b)　周期3解 (c)　擬周期

(d)　混沌　　 (e)　周期2解 (f)　周期1解 圖5　不同λ時的相圖 Fig.5 Phase portraits for differentλ

(a)　周期3解 (b)　擬周期 (c)　混沌 圖6　不同λ時龐加萊截面圖 Fig.6 Poincaré maps for differentλ

4.2以外激勵幅值為分岔參數分析

(a) 15

(a) 周期1解(b) 周期2解(c) 混沌

(d) 周期3解(e) 擬周期(f) 混沌圖8 不同f時相圖Fig.8Phaseportraitsfordifferentf

(a) 周期2解(b) 擬周期(c) 混沌圖9 不同f時龐加萊截面圖Fig.9Poincarémapsfordifferenf

圖8、圖9分別為不同f對應的相圖及龐加萊截面圖。由圖9(a)知，f=21時龐加萊截面有2個點，此時可判定系統處于周期2運動，其相圖見圖8(b)。由圖9(b)可知，f=38.5時龐加萊截面呈現3個封閉曲線，此時可判定系統處于擬周期運動，其相圖見圖8(e)。由圖9(c)可知，f=41時龐加萊截面呈現成片的密集點結構，此時可判定系統處于混沌運動，其相圖見圖8(f)。圖8(a)為f=19.1時處于單周期運動的相圖，圖8(c)為f=28時系統處于混沌運動的相圖，圖8(d)為f=37時混沌運動中周期3窗口時的相圖。

5結論

本文通過用微分求積法統一離散二維板振動方程及勢函數流場方程，分析軸向流作用下二維板線性系統穩定性及非線性系統復雜響應，結論如下：

(1)本文方法計算所得臨界流速與文獻結果吻合較好，表明了本文方法的有效性及準確性。

(2)隨來流速度、激振力幅值變化，系統具有極復雜的動態響應，包括多種形式的周期、擬周期及混沌運動等。

(3)在來流速度與激振力幅值兩參數區域內，系統以周期倍化分岔或擬周期過程通向混沌。

(4)若考慮更多更全面的非線性因素影響，其動力響應行為可能更復雜，尚待深入研究。

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