隨機參數(shù)高速電梯轎廂系統(tǒng)共振可靠性靈敏度研究

第一作者張瑞軍男，教授，1965年3月生

隨機參數(shù)高速電梯轎廂系統(tǒng)共振可靠性靈敏度研究

張瑞軍1,2，司鑫鑫1，楊圍圍1，董明曉1,2

(1.山東建筑大學，濟南250101； 2. 山東建筑大學山東省高校機械工程創(chuàng)新技術(shù)重點實驗室，濟南250101)

摘要：針對高速電梯轎廂系統(tǒng)制造安裝過程中誤差使系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)具有隨機性問題，以實現(xiàn)轎廂系統(tǒng)共振可靠性靈敏度分析為目標，基于攝動技術(shù)導出轎廂系統(tǒng)固有頻率與隨機參數(shù)間關(guān)系式，分析參數(shù)隨機性對固有頻率影響；據(jù)振動穩(wěn)定性準則構(gòu)建基于激振頻率變化的高速電梯轎廂系統(tǒng)共振失效功能函數(shù)，采用靈敏度技術(shù)導出轎廂系統(tǒng)共振可靠性靈敏度表達式，并進行靈敏度分析。結(jié)果表明，考慮參數(shù)隨機性時轎廂系統(tǒng)固有頻率存在分散性；取相同變異系數(shù)時導靴系統(tǒng)剛度及導輪安裝位置對轎廂系統(tǒng)共振可靠性影響較大。該結(jié)果可為高速電梯轎廂系統(tǒng)防共振設(shè)計、安全評估提供參考。

關(guān)鍵詞：高度電梯；轎廂系統(tǒng)；隨機參數(shù)；共振；可靠性；靈敏度

收稿日期：2014-01-08修改稿收到日期：2014-03-27

中圖分類號:TH113文獻標志碼：A

基金項目：教育部“新世紀優(yōu)秀人才支持計劃”資助；國防科技重點實驗室

Resonance reliability sensitivity for a high-speeding elevator cabin system with random parameters

ZHANGRui-jun1,2,SIXin-xin1,YANGWei-wei1,DONGMing-xiao1,2(1.Shandong Jianzhu University, Jinan 250101,China；2. Key of Mechanical Engineering & Innovation Technology in Universities of Shandong,Shandong Jianzhu University, Jinan 250101, China)

Abstract:The errors in the process of manufacture and installation for a high-speed elevator cabin system made design parameters of the system posses randomness. To realize the analysis of resonance reliability sensitivity for the high-speed elevator cabin system, the relationship expressions between the natural frequencies of the system and the random parameters were derived with the perturbation technique to analyze the influence of the parametric randomness on the natural frequencies. According to the stability criterion of vibration for mechanical systems, the performance function of the resonance failure based on the variation of the exciting frequency for the system was built. Utilizing the sensitivity technique, the expressions of the resonance reliability sensitivity of the system were deduced to analyze the sensitivity. The results showed that the natural frequencies of the system have dispersibility considering the parametric randomness; the guide shoe stiffness and guide wheel mounting position have greater effects on the resonance reliability of the system with the same exciting frequency variation coefficient. The results provided a reference for anti-resonance design and safety assessment of high-speed elevator cabin systems.

Key words:high-speed elevator; cabin system; random parameters; resonance; reliability; sensitivity

隨著現(xiàn)代城市中高層、超高層建筑物興起，電梯亦向高速度方向發(fā)展。電梯轎廂系統(tǒng)高速運行時會產(chǎn)生劇烈振動影響其安全性，如何保證該系統(tǒng)振動時具有足夠的可靠性頗受關(guān)注。近年來已有眾多圍繞電梯轎廂系統(tǒng)的深入研究[1-3]。梅德慶等[4]考慮滾動導靴的不圓度偏差及導軌廓形偏差，擬合出導靴-導軌不平順激勵的數(shù)學模型，并建立高速曳引電梯系統(tǒng)動力學方程。尹紀財?shù)萚5]考慮影響電梯水平振動的導軌不平順度、彎曲及導靴自身缺陷等因素建立高速電梯轎廂多自由度水平振動模型。夏冰虎等[6]通過研究導輪、導軌間實時界面剛度變化建立轎廂水平振動模型。杜小強等[7]基于精細積分法對高速電梯工作行程內(nèi)非線性水平振動響應(yīng)進行仿真分析。然而，諸多文獻均將電梯轎廂系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)及作用激勵載荷視為確定性參數(shù)，無法反映系統(tǒng)中隨機因素對動力響應(yīng)影響。實際上，電梯轎廂系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)及作用載荷的隨機性客觀存在，且會引起轎廂系統(tǒng)振動特性的隨機性。由于設(shè)計參數(shù)的隨機性，使轎廂系統(tǒng)在規(guī)定條件及時間內(nèi)不發(fā)生共振成為一種隨機事件。因此，研究參數(shù)隨機性對轎廂系統(tǒng)動力學行為影響及系統(tǒng)的共振可靠性靈敏度，對電梯轎廂系統(tǒng)減振及安全評估有重要意義。

翟紅波等[8-9]分別采用點估計法及響應(yīng)面法計算隨機連續(xù)輸流管道振動系統(tǒng)共振可靠度。張義民等[10-11]基于攝動理論分析隨機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)及連續(xù)梁振動系統(tǒng)共振問題可靠性。安利強等[12]基于蒙特卡洛法分析隨機裂紋葉片頻率的概率敏感性及抗共振可靠度。此類研究均以固有頻率落入激振頻率一定范圍發(fā)生共振失效為依據(jù)建立結(jié)構(gòu)共振失效功能函數(shù)，未涉及激振頻率變化。高速電梯轎廂系統(tǒng)外界導軌的激振頻率是變化的，因此，考慮轎廂系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)的隨機性，基于攝動技術(shù)推導轎廂系統(tǒng)隨機參數(shù)與系統(tǒng)頻率響應(yīng)間關(guān)系式，并據(jù)振動穩(wěn)定性準則建立基于激振頻率變化的系統(tǒng)共振失效功能函數(shù)，結(jié)合靈敏度理論研究轎廂系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)對共振失效的靈敏度。

1隨機參數(shù)轎廂系統(tǒng)振動方程構(gòu)建

在水平方向滾動導靴起固定轎廂作用。將導靴系統(tǒng)簡化為彈簧-阻尼系統(tǒng)，只考慮轎廂的水平振動與擺動。設(shè)m為轎廂質(zhì)量，J為轎廂擺動的轉(zhuǎn)動慣量，c為導靴系統(tǒng)阻尼，k為導靴系統(tǒng)剛度，y為轎廂水平位移，y1、y2、y3、y4分別為導靴1、2、3、4水平位移，θ為轎廂擺動角位移，l1、l2分別為導輪1與導輪3及導輪2與導輪4到質(zhì)心的垂直距離。振動模型[13-14]見圖1。

圖1　二自由度轎廂系統(tǒng)振動模型 Fig.1 Model of vibrations for two DOF elevator cabin systems

據(jù)圖1，轎廂系統(tǒng)動力學方程可表示為

(1)

式中：M，C，K為轎廂系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；F為外界載荷向量。

轎廂系統(tǒng)存在設(shè)計參數(shù)與激振載荷的隨機性，使M，C，K，F(xiàn)也具隨機性。據(jù)攝動理論[15]，將M，C，K，F(xiàn)進行變換得

(2)

式中：ε為小參數(shù)；含下標d的部分為確定部分；含下標p的部分為隨機部分。

將式(2)代入式(1)，有

[Kd+εKp]Y=[Fd+εFp]

(3)

因此具有隨機參數(shù)的轎廂系統(tǒng)振動方程為

(4)

2轎廂系統(tǒng)固有頻率與隨機參數(shù)關(guān)系

大多固有頻率分析僅限于確定參數(shù)的轎廂系統(tǒng)，忽略設(shè)計參數(shù)的隨機性。由式(4)知，轎廂系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)的隨機性會導致系統(tǒng)固有頻率ω具有隨機性。對隨機性描述由隨機變量的數(shù)字特征體現(xiàn)。

設(shè)X=[x1x2…xn]T為系統(tǒng)隨機參數(shù)，其與固有頻率可表示為

X=Xd+εXp

(5)

ω=ωd+εωp

(6)

式中：隨機部分具有零均值，取ε=1[16]。

據(jù)式(4)，具有隨機參數(shù)的轎廂系統(tǒng)特征方程為

(7)

式中：ω為系統(tǒng)固有頻率；T(ω,X)為關(guān)于隨機參數(shù)及固有頻率的多項式。

將系統(tǒng)隨機參數(shù)代入式(4)可得T(ωd,Xd)=0。將函數(shù)T(ω,X)=0在(ωd+εωp,Xd+εXp)處進行多元泰勒展開，并去掉高次項，得

(8)

由于隨機部分有零均值，對式(8)取期望得

(9)

3隨機參數(shù)轎廂系統(tǒng)共振可靠性靈敏度分析

靈敏度作為設(shè)計的重要指標，所給設(shè)計參數(shù)對系統(tǒng)輸出有重要影響。轎廂系統(tǒng)在運動過程中不可避免受導軌激勵作用，固有頻率與激振頻率接近時會引起系統(tǒng)共振。因此找出對系統(tǒng)共振失效有較大影響的參數(shù)且嚴格控制，可避免轎廂系統(tǒng)發(fā)生共振。

3.1基于激振頻率變化的共振失效功能函數(shù)建立

傳統(tǒng)共振可靠性問題一般將固有頻率與激振頻率差值關(guān)系式定義為功能函數(shù)，即g(f,ω)=ω-f。其中f為激振頻率。從此式不難看出，傳統(tǒng)共振可靠性分析將激振頻率視為定值，只要保證固有頻率與確定的激振頻率差值在一定范圍即為可靠。而對轎廂系統(tǒng)，導軌對系統(tǒng)的激振頻率不斷變化，即外界激振頻率存在上限值f1、下限值f2，故轎廂系統(tǒng)共振可靠性分析的功能函數(shù)并非固有頻率及激振頻率簡單差值關(guān)系。

據(jù)振動穩(wěn)定性準則[17]，固有頻率及激振頻率滿足關(guān)系為

1.15ω-f<0或0.85ω-f>0

(10)

式中：f，ω分別為激振頻率、固有頻率。

轎廂系統(tǒng)欲滿足式(10)，激振頻率下限值須f2>1.15ω，或上限值須f1<0.85ω。因此，基于激振頻率變化的系統(tǒng)共振失效功能函數(shù)定義為

g(f,ω)=(f2-1.15ω)(f1-0.85ω)

(11)

式中：f1，f2分別為激振頻率最大、最小值。

據(jù)式(11)可確定隨機參數(shù)系統(tǒng)發(fā)生共振的失效狀態(tài)，即

g(f,ω)>0，(振動安全)

g(f,ω)≤0，(振動失效)

3.2共振可靠性靈敏度分析

據(jù) 式(11)，系統(tǒng)固有頻率、激振頻率獨立服從標準正態(tài)分布，按隨機變量數(shù)字特征值性質(zhì)[18]計算功能函數(shù)均值及方差，即

μg=μg1μg2

(12)

(13)

式中：

μg1=(μf1-0.85μω)；μg2=(μf2-1.15μω)

轎廂系統(tǒng)共振可靠性指標為

(14)

對轎廂系統(tǒng)防共振問題，據(jù)定義[19]獲得可靠度對設(shè)計參數(shù)均值、方差靈敏度表達式，即

式中：

將可靠性分析計算結(jié)果及算例已知條件代入靈敏度表達式，用MATLAB軟件可獲得轎廂系統(tǒng)共振可靠性靈敏度。

4轎廂系統(tǒng)實例分析

4.1隨機參數(shù)轎廂系統(tǒng)固有頻率計算

據(jù)圖1，轎廂系統(tǒng)振動模型的設(shè)計參數(shù)包括質(zhì)量參數(shù)m、J，動力學參數(shù)k，幾何參數(shù)l1、l2。基本隨機變量為

X=[x1x2x3x4x5]T=[mJkl1l2]T

據(jù)式(4)，二自由度轎廂系統(tǒng)隨機多項式為

某型號高速曳引式直梯，運行速度v=5 m/s，各參數(shù)前兩階矩統(tǒng)計值見表1。

表1　高速電梯轎廂系統(tǒng)參數(shù)取值

可認為轎廂系統(tǒng)各隨機變量相互獨立且均服從標準正態(tài)分布。分別取變異系數(shù)cv=0.05，cv=0.005。利用所建基于攝動技術(shù)的轎廂系統(tǒng)固有頻率隨機性表達式，分別采用確定性及隨機性模型計算轎廂系統(tǒng)固有頻率。在確定性模型中，將所有隨機參數(shù)的變異系數(shù)取為零；在隨機性模型中，考慮設(shè)計參數(shù)為隨機變量。結(jié)果對比見表2。由表2可知，①隨機性、確定性兩種模型的計算結(jié)果有差異。轎廂系統(tǒng)確定模型的固有頻率輸出僅為確定值；隨機模型的固有頻率有一定分散性。②考慮系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)隨機性，隨機設(shè)計參數(shù)變異系數(shù)改變對轎廂系統(tǒng)固有頻率隨機性計算結(jié)果有較大影響，即系統(tǒng)固有頻率分散性隨設(shè)計參數(shù)變異系數(shù)增大顯著增大。

表2　結(jié)果對比

據(jù)轎廂系統(tǒng)固有頻率隨機性，基于可靠性靈敏度理論，將轎廂系統(tǒng)隨機固有頻率分析問題轉(zhuǎn)化為共振可靠性靈敏度問題。

4.2轎廂系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)對共振失效靈敏度

表3　可靠度對隨機變量均值可靠性靈敏度分析結(jié)果

表4　可靠度對隨機變量方差可靠性靈敏度分析結(jié)果

5結(jié)論

(1)本文基于參數(shù)隨機性分析了轎廂系統(tǒng)固有頻率隨機性，通過與確定性轎廂系統(tǒng)模型對比，確定模型僅為隨機模型中各隨機參數(shù)變異系數(shù)為零的特例，且考慮參數(shù)隨機性更符合轎廂系統(tǒng)實際工況；

(2)據(jù)導軌激振頻率變化，基于振動穩(wěn)定性準則建立的轎廂系統(tǒng)共振失效功能函數(shù)，能更準確描述轎廂系統(tǒng)運行中抑制共振的可靠性水平及確保高速電梯轎廂系統(tǒng)固有頻率以合理的概率偏離導軌激振頻率；

(3)通過對轎廂系統(tǒng)共振可靠性靈敏度分析，有效反映轎廂系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)對共振失效的影響程度。在轎廂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計中，須嚴格控制敏感性較大的參數(shù)。從可靠性理論角度研究轎廂系統(tǒng)共振失效，可為電梯共振的預(yù)防、設(shè)計參數(shù)優(yōu)化提供參考。

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