高速靜壓內置式電主軸系統穩定性分析及優化

第一作者郭維祺男，碩士生，1988年生

通信作者劉桂萍女，碩士生導師，1980年生

高速靜壓內置式電主軸系統穩定性分析及優化

郭維祺，劉桂萍，毛文貴

(湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙410082)

摘要：針對高效精密機床電主軸系統的高速化，討論液體靜壓主軸系統失穩機理，并對高速靜壓內置式電主軸系統進行穩定性分析；提出基于遺傳算法的電主軸系統穩定性優化方法。以系統穩定性評價指標為優化目標、電主軸系統軸向尺寸參數為設計變量，采用高效微型遺傳算法實現電主軸系統穩定性優化。該方法既能高效解決增強軸系穩定性優化問題，又可避免復雜結構參數修改；通過某高速磨床靜壓內置式電主軸系統穩定性分析及優化對該方法進行驗證。結果表明，穩定性分析及優化后系統穩定性得到明顯提高。

關鍵詞：靜壓內置式電主軸系統；穩定性分析；優化；微型遺傳算法

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-03-19

中圖分類號:TH133.2文獻標志碼：A

Stability analysis and optimization for a high-speed built-in motorized hydrostatic spindle system

GUOWei-qi,LIUGui-ping,MAOWen-gui(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082,China)

Abstract:Aiming at the high speed trend of high precision machine tool spindle systems, to study their stability in design process becomes very important. Firstly, the instability mechanism of a hydrostatic spindle system was discussed and the stability of a high-speed built-in motorized hydrostatic spindle system was analyzed. Then, an optimization method named the mirco genetic algorithm for stability of a motorized spindle system was proposed based on the genetic algorithm. The objective was to maximize the stability evaluation index of the system and the axial size parameters of the spindle system were taken as the design variables. The effective micro genetic algorithm was adopted for the stability optimization of the spindle system. Eventually, higher stability was achieved, the modification of the parameters of complex structure was avoided. As an example, the stability of a high-speed grinder motorized hydrostatic spindle system was analyzed and then optimized using this optimization method. The results indicated that the stability of the motorized spindle system can be improved obviously with the proposed method.

Key words:built-in motorized hydrostatic spindle system; stability analysis; optimization; micro genetic algorithm

電主軸具有調速范圍寬、轉動慣量小、響應快、易于實現精密控制等優點，而將液體靜壓軸承與內置式電主軸系統結合的新型主軸結構具有承載能力大、振動小、壽命長等優點成為機床主軸領域新的研究熱點。由于高速化，超臨界運轉主軸系統的穩定性尤其重要。其中液體靜壓軸承作為系統的重要組成部分，既是阻尼源也是失穩源[1]，對主軸系統穩定性影響較大。因此須對靜壓電主軸系統高速的穩定性進行分析及優化。

對油潤滑靜壓軸承主軸系統，其油膜渦動、振蕩為主軸在動態油膜力作用下發生的自激振動[2]，亦是常見的軸系失穩現象。影響動態油膜力的主要因素是靜壓軸承的動力特性及主軸轉速，對靜壓主軸系統穩定性分析、優化多由主軸的工作轉速及靜壓軸承動力特性入手，如Mane等[3]研究轉速與主軸穩定性關系； Bediaga等[4]提出主軸轉速自動調節策略以保證系統最佳穩定性；朱均等[5]用廣義阻尼建立系統穩定裕度準則，并研究單個軸承對系統穩定性裕度影響；周軍波等[6]以提高軸系穩定性裕度為目標，以滑動軸承寬徑比及相對間隙為優化變量，對滑動軸承進行優化設計。對靜壓電主軸系統，往往通過選擇合適的電機轉速、采取某種轉速控制策略保證系統穩定運行，而通過靜壓軸承結構優化設計改進軸承動力特性、提高穩定性理論上可行，但由于液體靜壓軸承本身結構復雜、可調整范圍窄、精度要求高，故對實際的主軸系統操作難度大、成本較高。顧衛東等[7]研究多跨轉子系統軸承標高對滑動軸承穩定性影響表明，可通過調整軸荷分配提高軸系穩定性。即通過修改軸系軸向尺寸調整軸系質量分布從而改變前后軸承載荷分配，而靜壓軸承動力特性系數亦隨載荷改變。既可提高軸系穩定性，又避免軸承結構改動，易于操作，成本低廉。

本文討論液體靜壓主軸系統油膜失穩機理，針對高速靜壓內置式電主軸系統構建有限元模型，進行穩定性分析，并在考慮通過優化軸荷分配提高穩定性基礎上，提出基于遺傳算法的穩定性優化方法，即以系統穩定性裕度為優化目標，選取與軸荷分配有關系統參數為優化變量，采用性能優良的微型遺傳算法，并用典型的工程實例對該方法進行驗證。

1高速靜壓內置式電主軸系統穩定性分析

1.1高速靜壓內置式電主軸系統結構

高速內置式電主軸系統采用變頻電動機與主軸合二為一的結構形式，即將帶冷卻套的電動機定子裝配在主軸單元殼體內，主軸單元殼體即為電動機座，電動機空心轉子與機床主軸旋轉部件直接過盈熱裝成一體，作為內置式集成電動機主軸。主軸與高速電機轉子在電磁轉矩驅動下同軸旋轉，實現電動機與主軸間 “零傳動”的機電能量轉換[8]。高速靜壓內置式電主軸采用液體靜壓軸承作為高速電主軸支撐，通過一套獨立的供油系統形成全流體膜承載，結構示意圖見圖1。

圖1　高速靜壓內置式電主軸結構示意圖 Fig.1Structure schematic of high-speed built-in motorized hydrostatic spindle

1.2靜壓電主軸系統穩定性分析

靜壓軸承中潤滑油周向流動產生作用于軸頸的動態油膜力為主軸系統失穩主要因素。靜壓軸承油膜力用8個軸承動特性系數[9]表示，即4個剛度系數kxx、kxy、kyx、kyy，4個阻尼系數cxx、cxy、cyx、cyy。軸承油膜4個剛度力及4個阻尼力對系統做功，有的做正功，有的做負功，當正功大于負功時軸心軌跡發散，系統失穩，反之軌跡收斂，系統穩定。一般固定瓦靜壓軸承中交叉剛度力做正功，促使渦動產生；而阻尼系數為正時阻尼力做負功，反之阻尼力做正功。軸承以外阻尼作用不計時，系統穩定性取決于油膜力總的做功情況。由于靜壓軸承本身存在交叉剛度系數及負阻尼系數總會激發系統不穩定，故靜壓軸承剛度阻尼系數是影響軸系穩定性的重要參數。

然而單用靜壓軸承8個系數并不能判斷系統穩定與否。據系統絕對穩定性特征值判據，系統所有特征值實部均小于零時認為系統穩定；至少有一個特征值實部大于零時認為系統不穩定。由于超臨界轉速運行與機電耦合影響，電主軸系統在啟動、升速及載荷突變過程中往往表現出非平穩性。因此對高速電主軸系統僅保證工作轉速在穩定區域是不夠的，為提高系統的可靠性，須保證軸系具有足夠的穩定性裕度以抵抗各種外界干擾。系統穩定性裕度的度量指標包括系統對數衰減率、系統阻尼等。

計算系統穩定性裕度應先求解系統的復特征值。即求解系統自由振動運動方程特征值

(1)

式中：[M]為系統質量矩陣，由主軸及與其固連的旋轉部件質量構成；[C]為系統阻尼矩陣，本文僅考慮軸承提供的集中阻尼；[K]為系統質量矩陣，由轉軸剛度系數構成的矩陣與液體靜壓軸承剛度系數構成的矩陣組成；{q}為位移矢量。

由于考慮陀螺效應、液體靜壓軸承阻尼力及彈性力耦合性質，對式(1)的特征值求解，不能作為小阻尼系統處理，且[K]并非對稱矩陣，因此在結構動力學中求解特征值問題的某些方法并不適用。對此類轉子動力學特征值問題，一般化為標準特征值問題后采用QR算法求解[10]。

式(1)中[K]，[C]即包括靜壓軸承的4個剛度、阻尼系數，通過非定常運動雷諾方程可對其求解，而對常用的滑動軸承形式，亦可通過查表插值獲得軸承8個動特性系數。求得系統復特征值即可得到各階特征值的實部與虛部，進一步求得軸系穩定性裕度。以軸系對數衰減率為例，設第j階復特征值實部為Re(υ)j，虛部為Im(υ)j，其第j階對數衰減率[11]為

δj=-2πRe(υ)j/Im(υ)j

(2)

以其中最小值作為系統的對數衰減率，即δ=min(δj)，用以表征系統的穩定性裕度。

對結構確定的主軸系統，各階對數衰減率因隨電主軸轉速變化增加或減小，影響系統穩定性。當某階對數衰減率下降為0時系統失穩，此時主軸轉速稱系統失穩轉速。對電主軸穩定性分析應計算不同轉速下主軸系統穩定性裕度變化。圖2為某電主軸系統對數衰減率隨主軸轉速變化關系。由圖2可知，系統對數衰減率隨主軸轉速上升而減小，當主軸轉速達7 500 r/min時，系統對數衰減率δ<0，系統已失穩。

圖2　某電主軸系統對數衰減率隨轉速變化關系 Fig.2 The log decrement changes with the rotation speed of a motorized spindle system

2高速靜壓內置式電主軸系統穩定性優化

2.1優化問題描述

主軸系統結構優化問題可描述為

maxf=(x1,x2,…,xn)

s.t.gi(x1,x2,…,xn)≤0,(i=1,…,p)

hj(x1,x2,…,xn)=0,(j=1,…,q)

(x1,x2,…,xn)∈X

式中：f為優化目標，即使系統穩定性裕度最大，系統穩定性裕度量化指標一般可取對數衰減率、阻尼或減穩因素界限值等；gi(i=1,…,p)，hj(j=1,…,q)分別為不等式及等式約束函數；xj(j=1,2,…,n)為優化變量，即待優化的軸系結構參數，本文中優化變量避開結構復雜部件如液體靜壓軸承的結構參數，選擇精度要求相對較低、易于修改的軸系軸向尺寸參數等。在模型基本結構確定后可初步選擇主軸轉速及影響軸荷分配的軸向尺寸參數，如軸承跨距、內置電機位置、加工端懸置量等，再通過敏感性分析選擇對目標函數影響較大參數；X為優化變量搜索區間，據機床整體結構設計及各部分間協調關系確定。

2.2微型遺傳算法

遺傳算法[12]為模擬自然界生物遺傳進化過程形成的全局優化概率搜索法。運算中以多個個體組成的種群為對象，經反復迭代過程不斷對個體施加遺傳、進化操作，最終所留即為適應度最高的個體。

對電主軸系統穩定性優化問題，穩定性裕度與軸系結構參數間映射關系無法用顯式函數表達，需通過復雜計算模型表示，致求解難度加大。遺傳算法由于具有基于種群運算的基本特征及可在不考慮問題具體特征前提下用于解搜尋的進化本質，因此非常適合該問題求解。

傳統遺傳算法種群規模大、收斂效率低。而微型遺傳算法采用小規模種群，計算效率高且收斂速度快[13]。微型遺傳算法種群因通常含5～8個個體，較易產生早熟收斂，因此為保證小規模種群基因多樣性，避免早熟收斂，運算中加入重啟動策略。一旦種群收斂，則在設計空間生成新種群，并僅保留原種群的最優個體，其余個體則在整個搜索空間內隨機生成。

2.3基于微型遺傳算法的電主軸系統穩定性優化過程

電主軸系統穩定性優化應先確定優化目標，一般取系統穩定性裕度的量化指標(含系統對數衰減率、系統阻尼或減穩因素界限值等)。優化變量選取應通過敏感性分析選對目標函數影響較大參數，約束條件及變量搜索區間則據實際情況而定。據以上步驟建立電主軸系統穩定性優化問題后進行基于有限元法建立電主軸系統穩定性分析計算模型，用微型遺傳算法進行優化，達到收斂條件后輸出優化結果。電主軸系統穩定性優化過程見圖3。

圖3　電主軸系統穩定性優化流程圖 Fig.3 Flow chart of the optimization process

3工程實例

以某高速磨床靜壓內置式電主軸系統為例驗證本文方法。初始設計電主軸系統額定轉速為6 000 r/min,前后徑向軸承采用圓柱形液體靜壓軸承。

3.1初始設計電主軸系統穩定性分析

該高速磨床靜壓內置式電主軸系統簡化示意圖見圖4。

圖4　高速磨床靜壓內置式電主軸系統簡化示意圖 Fig.4 Schematic of motorized hydrostatic spindle system of high-speed grinding machine

建立系統有限元仿真模型進行穩定性分析。由于所有旋轉部件均為回轉體，故采用管單元PIPE16模擬旋轉部件，并考慮系統陀螺效應；靜壓軸承采用COMBI214單元模擬，該單元8個實常數分別代表靜壓軸承4個剛度系數(單位N/m)及4個阻尼系數(單位N·s/m)。圓柱形液體靜壓軸承的8個系數由查表插值獲得，即

前軸承為

后軸承為

通過仿真分析獲得該高速磨床靜壓內置式電主軸系統對數衰減率隨轉速變化關系見圖5。由圖5可知，系統對數衰減率隨主軸轉速上升而減小。當主軸系統以額定轉速6 000 r/min運行時，系統對數衰減率δ=0.243 3，而δ<0.25被認為處于失穩邊緣。由此可判斷該電主軸系統穩定性裕度偏低，其初始設計參數不合理，應進行優化以提高系統穩定性裕度。

圖5　高速磨床靜壓內置式電主軸 對數衰減率隨轉速變化關系 Fig.5 The log decrement changes with the rotation speed of motorized hydrostatic spindle system of high-speed grinding machine

3.2電主軸系統穩定性優化問題建立

初步選擇與主軸跨距、電機位置、加工端懸置量等相關的軸向尺寸L1、L2、L3、L4及主軸轉速為設計變量，見圖6。圖中，L1為后軸承中心至軸端距離；L2為電機轉子重心至后軸承中心距離；L3為電機轉子重心至前軸承中心距離，L2+L3為主軸跨距；L4為砂輪中心至前軸承中心距離，即加工端懸置量。

圖6　優化變量示意圖 Fig.6 Schematic of the design variables

以提高系統對數衰減率為目標，分別變化L1、L2、L3、L4時系統對數衰減率變化趨勢見圖7。由圖7可知，僅L1與系統對數衰減率變化趨勢是單調的，且系統對4個結構參數均較敏感，而由穩定性分析知系統穩定性裕度對主軸轉速亦較敏感。

該主軸系統穩定性優化問題可描述為

maxf=(L1，L2，L3，L4，n)=δ

s.t.0.104 m≤L1≤0.184 m

0.230 m≤L2≤0.320 m

0.226 m≤L3≤0.316 m

0.105 m≤L4≤0.165 m

3 000 r/min≤n≤10 000 r/min

式中：δ為系統對數衰減率，以最大化為優；L1，L2，L3，L4為結構參數(單位m)；n為主軸轉速(單位r/min)；各優化變量搜索區間據結構而定。

圖7　軸系對數衰減率隨優化變量變化趨勢 Fig.7 The log decrement changes with the design variables of motorized hydrostatic spindle system

3.3優化結果及分析

微型遺傳算法所用參數為：種群大小取5，交叉概率取0.9，變異概率取0.02。進化計算825次后輸出優化結果。優化前后對比見表1。由表1看出，通過優化系統對數衰減率達到0.545 1，較優化前提高124%，達到對數衰減率δ≥0.5[8]推薦值。計算優化后的主軸系統第二階臨界轉速低于1 000 r/min，第三階臨界轉速為15 176 r/min，故主軸系統工作轉速處于第二、三階臨界轉速之間，已遠離共振區域。

表1　優化前后參數對比

靜壓軸承剛度阻尼系數優化前后對比見表2。由表2看出，優化后的軸承剛度阻尼系數均有不同程度減小，而系統穩定性反而有較大幅度提高，說明軸承剛度阻尼并非越高越好。表2中該主軸系統靜壓軸承阻尼系數無負數項，其阻尼力總做負功，抑制系統失穩；而交叉剛度總做正功，促發失穩。剛度力與阻尼力對系統穩定性貢獻相反，其數值大小改變對系統穩定性影不能直觀體現。而上述方法避開了復雜軸承參數修改，對次要參數進行優化，通過微型遺傳算法提高系統穩定性，足以表明本文方法的有效性。

表2　優化前后軸承系數對比

4結論

(1)本文通過討論液體靜壓主軸系統油膜失穩機理，建立高速靜壓內置式電主軸系統模型，進行系統穩定性分析，提出基于遺傳算法的電主軸系統多參數優化方法。以提高系統穩定性裕度為優化目標，通過敏感性分析選取電主軸軸向尺寸參數為優化變量，采用高效微型遺傳算法為優化算法實現電主軸系統穩定性的優化。

(2)該方法避開復雜軸承參數修改，采取對次要參數優化方式及微型遺傳算法，高效解決電主軸系統穩定性優化問題。并通過對某高速磨床靜壓內置式電主軸系統穩定性分析、優化。結果表明，優化后該電主軸系統對數衰減率達0.5451，較優化前提高124%。表明用本文方法可使系統穩定性顯著提高。

參考文獻

[1]張衛,朱均．大型轉子-滑動軸承系統運動穩定性的研究[J]．西安交通大學學報,1995,29(8):66-71．

ZHANG Wei，ZHU Jun．The study of dynamic stability of the complex rotor bearing systems [J]．Journal of Xi’an Jiaotong University,1995,29(8):66-71.

[2]聞邦椿,顧家柳,夏松波,等．高等轉子動力學[M]．北京：機械工業出版社,1999．

[3]Mane I，Gagnol V，Bouzgarrou B C，et al．Stability-based spindle speed control during flexible workpiece high-speed milling[J]．International Journal of Machine Tools & Manufacture,2008(48):184-194．

[4]Bediaga I，Munoa J，Hernandez J，et al．An automatic spindle speed selection strategy to obtain stability in high-speed milling[J]．International Journal of Machine Tools & Manufacture,2009(49):384-394．

[5]袁小陽,朱均.大型汽輪發電機軸系穩定裕度研究[J].西安交通大學學報,1994,28(9):52-57．

YUAN Xiao-yang，ZHU Jun．Degree of stability of large turbine-generator rotors[J].Journal of Xi’an Jiaotong University,1994,28(9):52-57．

[6]周軍波,丁毓峰.基于軸系穩定性分析的滑動軸承優化設計[J].機械制造,2010,552(48):41-44．

ZHOU Jun-bo,DING Yu-feng.Optimization design of sliding bearing based on stability analysis of spindle system [J]．Journal of Machinery,2010,552(48):41-44．

[7]顧衛東,王永亮,方勃,等.標高對轉子-滑動軸承系統動力學特性影響研究[J].汽輪機技術,2011,53(2):125-128．

GU Wei-dong，WANG Yong-liang，FANG Bo，et al．Research on characteristics of rotor-bearing system with different bearing elevation[J].Journal of Turbine Technology, 2011, 53(2):125-128．

[8]單文桃,陳小安,合燁.不同控制策略對高速電主軸動態性能影響[J].振動與沖擊,2013,32(18):75-80．

SHAN Wen-tao，CHEN Xiao-an，HE Ye.Effects of different control strategies on dynamic performance of a high-speed motorized spindle[J].Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(18):75-80．

[9]許尚賢.液體靜壓和動靜壓滑動軸承設計[M] .南京：東南大學出版社,1984．

[10]鐘一諤,何衍宗,王正,等.轉子動力學[M] .北京：清華大學出版社,1987．

[11]徐龍祥.高速旋轉機械軸系動力學設計[M].北京: 國防工業出版社,1993．

[12]周明，孫樹棟.遺傳算法原理及應用[M] .北京：國防工業出版社,1999．

[13]Liu Gui-rong，Han Xu．Computational inverse techniques in nondestructive evaluation[M].Florida: CRC Press, 2003．