Duffing振子激勵下平板聲振特性研究

第一作者周奇鄭男，博士生，1985年2月生

通信作者王德石男，教授，博士生導師，1963年2月生

Duffing振子激勵下平板聲振特性研究

周奇鄭，王德石

(海軍工程大學兵器工程系,武漢430033)

摘要：針對非線性振動激勵下結構聲輻射問題，由變分原理導出Duffing振子激勵下平板聲振耦合動力學方程，由模態展開法及增量諧波平衡法導出輕流體中耦合動力學方程的近似解析解，給出多頻激勵下平板表面平均振速及輻射聲功率表達式，研究激勵力頻率、非線性項對系統振動及聲輻射特性影響。結果表明，Duffing振子激勵下平板的聲振耦合問題為含離散與連續系統的復雜動力學問題；耦合運動下Duffing振子出現二次跳躍現象與新的共振特性；平板聲振特性主要由三次諧波決定。研究結果可為隔振結構的聲振設計提供理論依據。

關鍵詞：Duffing振子；平板；非線性激勵；增量諧波平衡法；聲振特性

收稿日期：2013-06-09修改稿收到日期：2013-09-10

中圖分類號:THO322文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金(61071198)；浙江省自然科學基金(LY13F010015)；寧波市自然科學基金(2012A610019)

Vibro-acoustic characteristics of a plate under Duffing oscillator’s excitation

ZHOUQi-zheng,WANGDe-shi(Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

Abstract:Aiming at the acoustic radiation problem of a structure under nonlinear vibration excitations, the vibro-acoustic coupled dynamic equations of a plate under Duffing oscillator’s excitation were derived based on the variational principle. The approximately analytical solution to the coupled equations in light liquid was obtained with the modal expansion and incremental harmonic balance method (IHBM). The expressions of the average vibration velocity of the plate surface and the acoustic radiation power under multi-frequency also were derived. Then, the influences of excitation frequency and nonlinear stiffness on the nonlinear vibration and acoustic radiation of the plate were investigated. The results showed that the vibro-acoustic coupled problem of the plate under Duffing oscillator’s excitation is a complex dynamic problem containing discrete and continuous systems; there are second jump phenomena and new resonant characters in Duffing oscillator’s motion; the vibro-acoustic characteristics of the plate depends upon the third harmonic component. The results provided a theoretical base for the vibro-acoustic design of vibration isolation structures.

Key words:duffing oscillator; plate; nonlinear excitations; IHBM; vibro-acoustic characteristics

由于非線性振子運動狀態不唯一，導致激勵力頻率特性不確定，使非線性振動激勵下結構振動及聲輻射問題成為研究難點。Duffing振子系統為一類典型的非線性動力學系統，研究其激勵下平板的聲振耦合問題更具普遍意義。

文獻[1]對含弱非線性項Duffing方程的近似解析解各種求法進行系統總結。文獻[2]用FFT及諧波平衡法對非線性隔振系統動力學特性進行研究。文獻[3]通過總結增量諧波平衡法(IHBM)在分析干摩擦問題、概周期振動分析、分段線性非線性振動問題等方面應用，認為IHBM可與有限元法結合成為對復雜結構非線性振動進行頻域分析的通用方法。Maidanik等[4-7]通過計算無限大剛性障板中簡支板單模態輻射阻抗，分別采用傅里葉變換、Rayleigh-Ritz及泰勒級數替代等方法對簡諧激勵下板的聲輻射問題進行研究。Li等[8-9]采用坐標變換與級數替代研究矩形板的互輻射阻抗發現，耦合模態對模態輻射效率及聲功率影響較小，并導出所有頻段內板聲輻射阻抗的級數表達式，為本文研究非線性激勵下平板聲輻射特性奠定了基礎。目前，板非線性振動方面研究主要集中在非線性應力或應變引起的非線性振動問題[10-11]，關于非線性激勵的研究較少。

本文針對非線性振動激勵的結構聲輻射問題，建立Duffing振子激勵下平板結構聲振耦合動力學模型，由變分原理推導系統的動力學方程。采用IHBM及模態展開法獲得耦合動力學方程近似解析解，研究激勵力頻率、非線性項對平板振動及聲輻射特性影響。

1Duffing振子激勵下板聲振動力學分析

Duffing振子激勵下板的聲振耦合動力學模型見圖1。在支撐薄板上建立坐標系，板長為a，寬為b。設在質量為m的設備上作用激勵力f(t)=Fcos(ωt)，彈簧的線性與三次非線性剛度系數分別為k1及k3，隔振器作用于薄板位置為(x0,y0,0)，不考慮板振動時，設備的振動方程即為典型的Duffing方程。

圖1　Duffing振子激勵板聲振模型 Fig.1 Vibro-acoustic model ofplate under Duffing oscillator’s excitation

設板厚h，材料密度ρ，楊氏模量E，泊松比μ，中面各點只作沿z軸方向微幅振動，振動位移為w。據變分原理推導Duffing振子激勵下平板的聲振耦合動力學方程。據薄板理論，板的勢能可表示為

(1)

板的動能為

(2)

設備的動能為

(3)

彈簧的彈性勢能為

(4)

外力做功包括施加于設備的激勵力與作用于平板的聲壓。設該聲壓為p(x,y,0,t)，則聲壓做功為

(5)

施加于設備的外力做功為

Wf=f(t)η(t)

(6)

據變分原理，獲得隔振器-平板聲振耦合動力學方程為

(7)

即有

k3[η(t)-w(x0,y0,t)]3=Fcos(ωt)

k1[η(t)-w(x0,y0,t)]-k3[η(t)-

(8)

由式(8)知，Duffing振子激勵下板的聲振耦合動力學方程為離散系統與連續系統的結合。由于存在非線性三次剛度，致聲振耦合方程中含強非線性項，故本文采用增量諧波平衡法及模態展開法推導耦合動力學方程的近似解析解。

2耦合方程求解

由于空氣中聲壓對耦合系統影響很小，因此忽略式(8)中聲壓影響。對四邊簡支平板，其彎曲振動位移w可采用分離變量法求解[12]，設

(9)

(10)

令

τ=ωt

(11)

則式(10)成為

(12)

增量諧波平衡法為研究強非線性系統常用方法之一。該法第一步為增量，設η0，ω0，a0mn為式(12)的解，則其附近點可表示為

η=η0+Δη，ω=ω0+Δω，amn=a0mn+Δamn

(13)

代入式(12)，略去高階小量，可得增量方程為

式中：

第二步為諧波平衡過程。由于Duffing方程的解只含余弦奇次諧波項[3]，故可設

η0(t)=a1cos(τ)+a3cos(3τ)+…

(15)

Δη(t)=Δa1cos(τ)+Δa3cos(3τ)+…

(16)

由疊加原理知

a0mn=a1mncos(τ)+a3mncos(3τ)+…

(17)

Δamn=Δa1mncos(τ)+Δa3mncos(3τ)+…

(18)

為便于推導，僅取兩個諧波項。將式(15)~式(18)代入式(14)，并令方程兩邊相同諧波項系數相等，得

KΔa=N

(19)

式中：K的具體表達式見附錄；

Δa=[Δa1，Δa3，Δa111，Δa112，…，

式中：

顯然，式(19)中所含未知量數較方程數多一個，因此求解時須指定其中之一。因Δω為給定值，其余增量可唯一確定。獲得Duffing振子激勵的平板振動響應后即可求出平板的聲輻射特性。

結構受外部激勵時會發生機械振動，進而向外壓縮空氣并輻射噪聲。利用結構振動表面聲強積分可得結構輻射聲功率，即

(20)

式中：H表示共軛轉置。

據Rayleigh積分公式，可將空間任一觀察點的聲壓表示為

(21)

(22)

將式(21)、(22)代入式(20)，將聲功率表示為矩陣形式，即

(23)

(24)

聲輻射阻抗級數表達式見文獻[9]。結構表面法向振速均方值為

(25)

(26)

3系統聲振特性分析

聲振系統參數為：設備質量m=100 kg，k=157 200 N/m，振子與板接觸位置為(a/3,b/3,0)；板的參數為：

長a=3 m，寬b=2 m，厚h=0.002 m，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，密度ρ=7.8×103kg/m3，泊松比υ=0.3；空氣密度ρ0=1.293 kg/m3，c0=344 m/s。據式(19)計算所得a1，a3隨激勵頻率變化曲線見圖2~圖4。不考慮耦合運動時Duffing振子共振頻率為ω= 39.6 rad/s，平板一階共振頻率為ω=113 rad/s。比較圖2與圖3、圖4看出，a1，a3的幅頻特性曲線在ω=33 rad/s、65 rad/s處發生跳躍現象，在ω=38 rad/s、74 rad/s、100 rad/s、116 rad/s、151rad/s處出現共振，其中ω=100 rad/s為主共振，主要因考慮振子及平板的耦合運動，使整個系統固有頻率發生變化。在ω<65 rad/s范圍內，Duffing振子三次諧波分量a3遠小于基波分量a1。故在計算低頻段振動響應時可不考慮高次諧波成分；而在ω>98 rad/s，Duffing振子三次諧波分量a3遠大于基波分量a1。增大三次非線性剛度系數k3可降低振動分量幅值。

圖2 k3=5k1時激勵力頻率對a1,a3影響Fig.2Theeffectofexcitationfrequencyona1anda3atk3=5k1圖3 激勵力頻率對a1影響Fig.3Theeffectofexcitationfrequencyona1圖4 激勵力頻率對a3影響Fig.4Theeffectofexcitationfrequencyona3

圖5 諧波分量對表面平均振速影響Fig.5Theeffectofharmoniccomponentonquadraticvelocity圖6 激勵力頻率對表面平均振速影響Fig.6Theeffectofexcitationfrequencyonquadraticvelocity圖7 激勵力頻率對輻射聲功率影響Fig.7Theeffectofexcitationfrequencyonacousticradiationpower

諧波分量及激勵力影響見圖5~圖7。比較圖5與圖6、圖7看出，在研究頻段內，平板振動三次諧波分量起主要作用，與Duffing振子情況相反；平板表面平均振速及輻射聲功率共振峰出現在ω=38 rad/s、74 rad/s、100 rad/s、116 rad/s 及151 rad/s處，與Duffing振子共振特性一致；增大三次非線性剛度系數k3可降低平板表面平均振速及輻射聲功率幅值；當激勵頻率高于4倍Duffing振子的共振頻率時，平板表面平均振速及輻射聲功率幅值較低。因此，隔振器的共振頻率低于設備工作頻率的1/5時，才能有效降低整個系統的振動與聲輻射。

4結論

本文由變分原理導出Duffing振子激勵的平板聲振耦合動力學方程，據邊界條件，由模態展開法表示平板的彎曲振動；結合增量諧波平衡法導出輕流體中耦合動力學方程近似解析解；研究激勵力頻率、非線性項對系統振動及聲輻射特性影響，結論如下：

(1)Duffing振子激勵的平板聲振耦合為包含離散與連續系統的復雜動力學問題，可用增量諧波平衡法與模態展開法推導耦合動力學方程的近似解析解；考慮振子與平板的耦合運動時，Duffing振子出現新的共振特性。

(2)平板的聲振特性主要由系統三次諧波決定，隔振器共振頻率低于設備工作頻率的1/5時，才能有效降低整個系統的振動與聲輻射。

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附錄