縱彎轉換球面超聲振動聚焦系統諧振特性研究

第一作者李華男，博士，教授，1961年生

縱彎轉換球面超聲振動聚焦系統諧振特性研究

李華1，任坤2，殷振1，趙江江2，謝鷗1，呂自強2

(1.蘇州科技學院機械工程學院，江蘇蘇州215001； 2.河南工業大學機電工程學院,鄭州450007)

摘要：對由縱向振動換能器與薄球殼組成的縱彎轉換超聲振動球面聚焦系統進行理論、實驗研究，揭示系統的振動特性。研究表明，系統具有完全與不完全兩種諧振模式。 在不完全諧振模式下系統具有整體諧振及局部共振兩種狀態，在兩種狀態下系統均可實現諧振。 基于研究結果，提出系統在不同諧振狀態下的設計方法。對新型聚焦系統設計、應用具有重要實際意義。

關鍵詞：超聲；振動；聚焦；縱彎轉換；球殼

收稿日期：2014-02-19修改稿收到日期：2014-04-10

中圖分類號:TB532文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51206063,51476070)

Resonance features of a new ultrasonic vibration focusing system based on longitudinal-flexural vibration conversion

LIHua1,RENKun2,YINZhen1,ZHAOJiang-jiang2,XIEOu1,LüZi-qiang2(1. College of Mechanical Engineering， Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215001, China；2. College of Mechanical and Electrical Engineering, Henan University of Technology, Zhengzhou 450007, China)

Abstract:Here, a new ultrasonic vibration focusing system composed of a longitudinal vibration transducer and a thin spherical shell was proposed based on the principle of longitudinal-flexural vibration conversion. The resonance property of the new system was analyzed by means of the plate-shell theory, FEM method and tests. It was shown that the new system has two resonance patterns named complete resonance and incomplete resonance; under the incomplete resonance pattern, the system has two states of whole resonance and local resonance. The system design method was proposed for different resonance states based on the study results, it was of importance for the design and application of the new focusing system.

Key words:ultrasonic; vibration; focusing; longitudinal-flexural vibration conversion; spherical shell

超聲聚焦作為超聲振動技術應用領域在工程、醫學等均有應用[1-4]。實現超聲聚焦的方法主要有透鏡聚焦、反射聚焦及球面自聚焦三類。其中球面自聚焦方法因能實現大功率聚焦，應用更廣。所用球面自振動聚焦系統為用壓電材料制成特定的球殼形狀，并沿厚度方向極化。在超聲電源驅動下沿厚度產生縱向振動，球面輻射振動能量經介質后在焦區實現聚焦[5]。由于球殼材料限制，輻射面振動幅值不能過大，由單一球殼難以實現大功率聚焦。另外，由于球殼縱振動與空氣聲阻抗差距較大，縱振動在空氣介質中存在輻射效率低的問題。

圖1　縱彎轉換球面彎曲 振動聚焦系統結構示意 Fig.1 The schematic of the longitudinal-flexural vibration conversion spherical focusing system

李華等[6]提出采用縱向振動換能器與球殼組成縱彎轉換系統，見圖1。其中1為壓電陶瓷換能器，2為縱振動變幅桿，3為彎曲振動球殼。將縱向振動換能器的超聲振動轉換成球殼的彎曲振動，球殼將彎曲振動輻射出去并實現聚焦。在此系統中換能器與球殼可用聲學特性好的金屬材料制造，實現大功率超聲振動，增大球面輻射聲功率能力。由于彎曲振動波與氣體介質聲阻抗匹配較好，系統可有更高的輻射效率。從應用需要出發，縱振動變幅桿及球殼中心有孔，形成中心帶孔的縱彎轉換球殼聚焦系統。本文主要研究該系統諧振特性與設計方法。

1理論分析

由圖1看出，該系統可分解為縱向振動換能器與彎曲振動球殼兩部分，換能器前端與球殼連接。據超聲振動系統等效四端網絡理論[1]，系統等效阻抗網絡見圖2。

圖2　縱彎振動轉換組合系統的等效電路 Fig.2 The equivalent circuit of the longitudinal-flexural vibration conversion composite system

Xn=j(ωnMn-Kn/ωn)

(1)

當系統處于諧振狀態時，其總等效阻抗Z為

(2)

式中：

1.1完全諧振狀態下系統諧振與設計

振動系統中球殼厚度遠小于口徑及曲率半徑，為方便分析可簡化為無矩球殼。據無矩球殼彎曲振動理論[7]，球殼彎曲振動振型方程為

w(φ)=C[APn(φ)+BQn(φ)]

(3)

在滿足工程應用需要基礎上，得近似表達式[8]為

(4)

(5)

式中：J0，Y0分別為零階第一、第二類貝塞爾函數。

考慮球殼外圓周自由及內孔與換能器端面連接的邊界條件，設換能器前端振幅為W，可推得球殼彎曲振動速度方程為

(6)

由邊界條件

φ=φ0,(外圓周處)

得帶孔球殼的彎曲振動頻率方程為

n(n+1)[J2(knφi)Y1(knφ0)-Y2(knφi)J1(knφ0)]+

C(1+ν)[Y1(knφ0)J0(knφi)-J1(knφ0)Y0(knφi)]-

J1(knφ0)Y1(knφi)]=0

(7)

由式(7)可求出給定頻率下球殼的結構參數。

球殼處于諧振狀態時，式(1)中Xn=0。由式(2)知A1=0，即

(8)

式(8)即為縱振動換能器的諧振頻率方程。在給定諧振頻率情況下，由式(8)即可確定縱振換能器結構參數。該設計方法建立在系統中各部分均具有相同頻率前提下，系統諧振頻率與各組成部分諧振頻率相等。由于組合系統結構復雜，本文提出的新型系統用數值方法設計，據應用要求確定球殼的口徑、厚度、諧振頻率等參數，用式(7)完成球殼曲率半徑設計；再據諧振頻率及球殼連接結構參數，用式(8)完成換能器設計。

1.2不完全諧振狀態下系統諧振與設計

實際應用中很多情況下系統中球殼及換能器的諧振頻率不相等，系統諧振頻率與各組成部分的固有諧振頻率亦不相等，雖換能器與球殼不處于諧振狀態，但系統仍可處于諧振狀態。此種狀態即為不完全諧振狀態。據諧振時系統各部分振動狀態不同，不完全諧振狀態可分為整體諧振與局部共振兩種模式。

1.2.1整體諧振模式

由式(2)得

A1+jA2Xn=0

(9)

(10)

整個球殼的動能為

(11)

(12)

同理，以中心為參考點時圓盤的勢能可表示為

(13)

據薄板彎曲勢能密度定義，可推得圓盤彎曲振動時的總勢能為

(14)

(15)

由式(1)、(2)、(12)、(15)即可求出不完全諧振狀態下系統的整體諧振頻率方程。據諧振頻率方程，用數值解法可對整體諧振狀態進行頻率設計。在整體諧振模式下，組合系統呈現為具有復雜形狀的振動系統特性，連接面位置對諧振頻率不造成影響。系統的諧振頻率與換能器及球殼的諧振頻率不同。

1.2.2局部共振模式

由圖1知，帶孔的階梯型換能器小直徑段截面積及球殼厚度與換能器大直徑段截面積差異較大。換能器前端與球殼內孔的連接面積及換能器兩段直徑連接處面積均較小。連接面兩邊結構呈弱耦合狀態，此時力學連續性條件不完全成立，不能視為連續的整體系統。在耦合點兩邊，當小截面部分(稱B系統)與大截面部分(稱A系統)截面積相差較大時呈現不同特性。A系統呈現有負載系統的振動特性，耦合點耦合阻抗即為負載阻抗；B系統呈現一端固定振動系統在基礎振動激勵下的振動特性。在A、B系統固有頻率不同情況下，當電源激勵頻率接近或等于系統B的諧振頻率時A系統只產生微小振動，但該微小振動通過耦合連接處激勵B系統，可使之處于諧振狀態，產生大的振動輸出。由于耦合連接處振幅較小，系統B近似于一端固定振動系統的諧振狀態，即為 “局部共振”[9]表現。此時系統的諧振頻率近似為 B系統在固定端邊界條件下的諧振頻率。本文所提聚焦系統在一組結構參數下的有限元分析結果見圖3。

圖3　聚焦系統兩種振動狀態 Fig.3 Two kinds of vibration state

由分析看出，不完全諧振是組合振動系統在各組成部分的諧振頻率不相同時所特有的振動特性。系統工作在不完全諧振狀態時各組成部分(如換能器、球殼)不一定工作在諧振狀態，但系統整體工作在諧振狀態。在系統輸出端可得到理想的振動功率輸出。據系統中各組成部分間結構耦合主參數大小不同及耦合連接處狀態不同，不完全諧振可表現為系統的整體諧振模式或局部共振模式。縱振動及扭轉振動系統結構的主參數為橫截面面積或直徑；彎曲振動系統主參數為極慣性矩方向的截面高度或厚度。當相鄰兩部分間結構耦合主參數相差不大時(比值大于1/3)系統呈現整體諧振模式；當結構耦合主參數相差較大時(比值小于1/3)系統呈現局部共振模式[9]。兩種模式下系統諧振設計均可據式(1)、(2)、(12)、(15)采用數值方法完成。對局部共振模式，由于系統諧振頻率與B系統近似，故可通過單獨求解B系統頻率方程得到系統的諧振頻率。本文所提縱彎轉換球面聚焦系統，僅據球殼頻率方程即可求得系統的諧振頻率。

2球殼結構參數對系統諧振影響規律

2.1完全諧振情況下諧振頻率

由理論分析知，完全諧振理論上為系統的最佳工作狀態。在完全諧振時球殼及換能器的諧振頻率相同，只需據式(7)、(8)計算換能器、球殼結構即可。完全諧振狀態下球殼曲率半徑對頻率影響的分析結果見圖4。分析條件為：球殼材料為鋁，口徑98 mm，內孔直徑20 mm。圖4中F1F，F2F為一、二階諧振頻率的有限元分析結果；F1t，F2t為由式(7)理論計算的一、二階諧振頻率。在不同階次下，隨曲率半徑增大系統的諧振頻率變化規律亦不同，即曲率半徑增大，一階諧振頻率減小，二階諧振頻率增大，但各階諧振頻率變化均逐步趨向于各自定值。此定值即為相同口徑、厚度的平面圓盤各階彎曲振動諧振頻率。式(7)為建立在無矩球殼理論基礎上，球殼厚度增加時計算結果將產生誤差。厚度t=2 mm，t=5 mm兩種情況下諧振頻率隨曲率半徑變化有限元分析結果見圖5。由圖5看出，厚度變化對高階諧振頻率影響更大，對低階諧振頻率影響較小。

圖4　球殼曲率半徑對諧振頻率影響 Fig.4 The influence of spherical shell radius to resonance frequency

圖5　球殼厚度對諧振頻率的影響 Fig.5 The influence of spherical shell thickness to resonance frequency

與縱彎轉換圓盤彎曲振動系統相比，本文的縱彎轉換球面振動系統更具有一般意義。圓盤系統是球面系統的特殊情況。在其它結構參數相同情況下，球面曲率半徑即為影響系統諧振頻率的主要因素。因此在完全諧振狀態下設計系統時，除按前述辦法求數值解亦可利用圓盤彎曲振動方法設計，再據諧振頻率修正，近似得到球面曲率半徑。

2.2不完全諧振狀態下諧振頻率

設球殼材料為鋁，厚度2 mm，口徑98 mm。給定換能器結構參數，在60~160 mm范圍內改變球殼曲率半徑情況下，換能器與球殼的諧振頻率不相等，系統大多處于不完全諧振狀態。用FEM分析可得在不同球殼曲率半徑下系統的諧振頻率，見圖6。其中圖6(a)為不同曲率半徑下前三階諧振頻率，圖6(b)為在各階諧振頻率下有限元分析所得球殼與換能器大端相對振幅。圖中FS，FK分別為系統及球殼的諧振頻率；FH為換能器縱振動諧振頻率；A為相對振幅；腳標1、2、3為諧振頻率階數。

由圖6分析結果知，在不完全諧振狀態下系統的諧振頻率接近球殼的諧振頻率。前2階諧振頻率遠離換能器諧振頻率，換能器大端僅有極微小振動，但球殼處于諧振狀態，此時系統的諧振頻率主要由球殼諧振頻率決定，即系統的局部共振諧振狀態；在第3階諧振頻率下系統諧振頻率與換能器諧振頻率相近，故此時系統諧振阻抗較前兩階小，系統輸出功率大。由于換能器大端振幅增大，球殼相對振幅減小。“局部共振”狀態時，由于換能器大端振幅小，故球殼的相對振幅明顯大于整體諧振狀態。球殼曲率半徑較小時，兩者差距更明顯。隨球殼曲率半徑增大各階頻率下相對振幅趨近相同。

圖6　不完全諧振狀態下曲率半徑對諧振特性的影響 Fig.6 The frequency characteristic of incomplete resonance

3實驗研究

本文按新結構設計制做的縱彎轉換球面彎曲振動聚焦系統見圖7。其中球殼厚度2 mm, 曲率半徑90 mm，口徑75 mm、76 mm、77 mm三種。換能器大端直徑50 mm,小端直徑20 mm，長度為Lh，LX三種，見表1。

圖7　縱彎轉換球面聚焦系統實驗結構 Fig.7 The experiment structure of the longitudinal-flexural vibration conversion spherical focusing system

換能器編號后蓋板長度Lh/mm前端長度LX/mm118172203132233

圖8　縱彎轉換球面聚焦 系統實驗測試方案 Fig.8 The test scheme of longitudinal-flexural vibration conversion spherical focusing system

對三種結構換能器與三種口徑的球殼組成的振動系統分別通過阻抗分析儀、光纖振動位移測量儀測試振動頻率及振幅，獲得各種結構的諧振頻率、諧振阻抗及球面彎曲振動振幅分布曲線，實驗系統見圖8，實驗數據及結構諧振頻率的有限元分析結果見表2。其中因連接螺紋損壞，3號換能器與口徑77 mm球殼組合系統未能完成測試。由表2看出,對不同的結構組合，系統雖處于不完全諧振狀態，但均可較好實現縱彎轉換諧振。在頻率34 kHz附近諧振點，系統的諧振頻率接近球殼諧振頻率點，處于球殼局部共振狀態；諧振頻率為26 kHz時系統處于整體諧振狀態。兩種情況下系統均可較好實現諧振，但諧振阻抗有所不同。

表2　系統兩種諧振狀態實驗數據

圖9　球殼內表面振動位移實驗結果 Fig.9 The test result of the spherical shell inner surface vibration

圖9為2號換能器與口徑75 mm球殼組成系統在兩種諧振狀態下球殼內表面沿經線方向等距點測得的彎曲振動振幅分布。其中序號1為球殼內孔邊緣，序號17為球殼外緣。兩種狀態有限元分析結果見圖10。由圖9、圖10看出，在兩種振動狀態下，系統均有較好的彎曲振動輸出。實驗中用阻抗分析儀測得2號換能器固有頻率為31.44 kHz.。球殼固有頻率約在34 kHz附近。由此知，在局部共振狀態下，系統的諧振頻率為球殼的固有頻率。當換能器固有頻率與該頻率接近時，系統有較低諧振阻抗及較大振動輸出，換能器與球殼連接處振幅較小，接近波節點，呈現局部共振特征；在系統整體諧振狀態下，系統諧振頻率與換能器及球殼固有頻率不同，換能器及球殼連接處振幅較大，處于波節、波腹間近波腹位置。由于各連接部位耦合阻尼較大，系統諧振阻抗較大。有限元分析及實驗表明，與局部共振相比，整體諧振時換能器大端振動明顯增大。因實驗所用電源與振動系統不匹配，在頻率高的諧振點未實現大功率驅動，故振幅偏小。對1號換能器，實驗測出整體諧振振型、諧振頻率，但有限元分析卻未發現整體諧振頻率。其原因可能為換能器長度減小后整體諧振頻率升高，與局部共振的諧振頻率接近造成頻率點重疊所致。

圖10　球殼內表面振動FEM分析結果 Fig.10 The FEM result of the spherical shell inner surface vibration

綜合分析知，完全、不完全諧振均為組合系統的諧振狀態，為不同結構組合系統固有諧振特性反映。從理論上看，完全諧振狀態為最理想狀態；但實際結構中由于種種原因影響，此狀態較不易實現。即使完全諧振狀態系統工作時由于負載作用導致諧振頻率偏移，系統亦處于不完全諧振狀態。因此不完全諧振為組合振動系統更普遍的諧振狀態。因兩種狀態均為系統諧振狀態，故完全、不完全諧振均有理想的振動能量轉換與輸出效果[9]。本文研究的聚焦系統采用不完全諧振結構，經實驗證明取得良好聚焦效果。組合系統的諧振阻抗主要受耦合連接結構的設計與制造質量影響，即使是完全諧振結構，耦合連接增加時系統的諧振阻抗也會明顯增大。從設計角度看，完全諧振結構設計最成熟方便；不完全諧振結構設計則需用數值計算方法。在局部共振模式下系統設計也非常方便，且具有更強的使用靈活性、適用性及應用意義。

4結論

當球殼厚度較小時，可用無矩球殼理論分析球殼與縱向振動換能器組成的縱彎轉換聚焦系統諧振。該聚焦系統存在完全、不完全諧振兩種諧振模式。在不完全諧振模式下，本文提出的系統結構，存在整體諧振與局部共振兩種狀態。在整體諧振狀態下諧振頻率由換能器及球殼整體結構決定；在局部共振狀態下諧振頻率主要取決于球殼固有頻率，不受換能器結構影響；因換能器振幅較小，球殼彎曲振幅較大，相當于僅球殼部分在諧振。 此現象對系統的設計及應用非常有用。

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