一道函數問題的多視角探究

一道函數問題的多視角探究

●毛良忠(平湖中學浙江嘉興314200)

數學學習離不開解題，研究經典問題，通過分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑之一.在高三復習中我們碰到過許多熟悉的“難題”，但經過適當地“問題包裝”后,“身經百戰”的學生仍會迷失解題的方向.如何讓數學學習更有效，讓更多的學生享受數學研究的樂趣？在問題教學中我們應努力踐行羅增儒先生倡導的：數學教學中不僅關注如何獲得解，而且寄希望于對“解”的進一步分析而增強數學能力、優化認知結構、提高思維素質、學會“數學地思維”.下面提供的一道高三經典模擬題的探究正是基于這樣的學習理念下的解題思維呈現.

題目設a>0,b>0，函數f(x)=ax2-bx-{a+}b．

1)①求不等式f(x)

2)當x∈[0,m]時，對任意的正實數a,b，不等式f(x)≤(x+1)|2b-a|恒成立，求實數m的最大值．

這是2015年浙江省杭州市第2次高考科目教學質量檢測卷的壓軸題.在解決第①小題時，有些學生在計算f(1)=0后，不會充分利用f(1)=0這個信息將代數式ax2-bx-a+b進行因式分解，依然利用方程求根公式計算后討論得到解集.同樣在處理第②小題時，若能發現最大值b-a就是{f(0)}，考慮到函數f(x)=ax2-bx-a+b的圖像開口向上，則由已知條件f(x)在[0,1]上的最大值為f(0)可直接利用單調性求解，但在實際求解中很多學生按對稱軸位置進行討論求解.這里暴露出學生思維的缺失，沒有真正理解函數零點的意義及最值條件所隱含的關系，缺少逆向思維的方式.

分析1)由

f(x)=ax2-bx-a+b=(x-1)(ax+a-b),

結合f(1)=0,知不等式f(x)

(x-1)(ax+a-b)<0.

在第2)小題中，由于不等式中涉及的變量較多，大多數學生沒有真正挖掘題目信息而盲目做題,最后不了了之.事實上，此題的解題入口還是很寬廣的，對問題不同形式的表征以及解題切入點和視角的不同，該問題的求解途徑是多樣的.下面幾種思維視角應該是自然的，也是我們平時教學中倡導的“通性通法”.

思維角度1求解集法

解題切入點在解不等式恒成立問題時，直接求出不等式的解集，再利用不等式恒成立的特征探求相應字母的范圍是此類問題的“通法”.

分析由f(x)≤(x+1)|2b-a|,得

ax2-(b+|2b-a|)x-a+b-|2b-a|≤0，

即

x2-(t+|2t-1|)x+t-1-|2t-1|≤0，

當Δ=(t+|2t-1|)2-4(t-1-|2t-1|)>0時,不等式的解為

由于

綜上所述，m的最大值為1.

思維角度2變元法

解題切入點我們可以通過討論先去絕對值，如何解含有3個字母的不等式恒成立問題呢？轉換視角，如果將a或b看成變量，x視為待求字母，那么呈現在我們面前的只是解決一個一次不等式的問題，相對來說問題變得簡潔了.

分析1)當a<2b時,由不等式

f(x)≤(x+1)|2b-a|,

得

ax2-bx-a+b≤(x+1)(2b-a),

整理得

(x2+x)a≤(3x+1)b.

因為

0

所以當x≥0時,

(x2+x)a≤(x2+x)·2b.

由于不等式對任意的正實數a,b，f(x)≤(x+{1)|2b-}a|恒成立,故等價于(x2+x)·2b≤(3x+1)b恒成立.于是

2x2-x-1≤0,

且x>0,解得0≤x≤1.

2)當a>2b時,由不等式

f(x)≤(x+1)|2b-a|,

得

ax2-bx-a+b≤(x+1)(a-2b),

整理得

(3+x)b≤(-x2+x+2)a.

2x2-x-1≤1,

且x>0,解得0≤x≤1.

綜合上述，對任意的正實數a,b，不等式

f(x)≤(x+1)|2b-a|

恒成立，則0≤x≤1,因此0≤m≤1.

思維角度3減元法

圖1

解題切入點在解決含有多個字母的問題時，適當地變形設元，從整體角度考慮可以達到減元的目的.觀察已知式不難發現，不等式左、右2邊是關于a,b的齊次式，這樣的結構可直接變形設元求解，運用數形結合的方法能更快速求解.

分析ax2-bx-a+b≤(x+1)|2b-a|,

不等式2邊同除以b整理得

(x2-1)t-(x-1)≤(x+1)|t-2|

恒成立問題.在同一坐標系中作出關于t的圖像

y1=(x2-1)t-(x-1),

和

y2=(x+1)|t-2|，

由題知當t>0時,y1≤y2恒成立,故

解得0≤x≤1.

由此,對任意的正實數a,b，不等式f(x)≤{(x+}{1)|2b-}a|恒成立，則

0≤x≤1,

因此

0≤m≤1.

思維角度4特值驗證法

解題切入點仔細審題發現，對于不等式

ax2-bx-a+b≤(x+1)|2b-a|，

圖2

由于正實數a,b的任意性，當x≥0時，(x+1)|2b-a|的最小值為0，不妨先求得不等式成立的必要條件，再驗證是否成立.根據題目特征適當地縮小所要求字母的范圍，再討論驗證的解題策略，對于較為復雜的問題往往能回避一些不必要的討論,直接指向問題本源.

分析考慮到正實數a,b的任意性，要使

f(x)≤(x+1)|2b-a|

恒成立，令a=2b,則

f(x)=2bx2-bx-b≤0,

即

2x2-x-1≤0,

解得

下面驗證當0≤m≤1時,

am2-bm-a+b≤(m+1)|2b-a|

恒成立即可.不妨設a=bt，則

btm2-bm-bt+b≤(m+1)|2b-bt|,

消去正數b得

tm2-m-t+1≤(m+1)|2-t|

| t-2|.

顯然成立.故m的最大值為1.

思維角度5函數整體思想

解題切入點能不能直接作出函數圖像，借助圖像尋找到m的值呢？考慮到不等式2邊的式子都是熟悉的二次式和一次式，可以分別構造新函數，尋找函數的特征點或者特殊關系是問題解決的關鍵.

圖3

分析構造函數{g(x)=}|2b-a|(x+1)，易知函數{g(x)=}|2b-a|(x+1)的圖像是一條斜率k=|2b-a|≥0且恒過定點(-1,0)的直線，它在y軸上的截距為{|2b-}{a|}.由二次函數f(x)={ax2-}bx-a+b易知圖像恒過點(1,0)，且在y軸上的截距為b-a.由于a>0,b>0,則

|2b-a|=|(b-a)+b|>b-a，

其意義即為直線與y軸的交點恒位于拋物線與y軸交點的上方.

如圖3,當k=|2b-a|→0時，直線與拋物線的右側交點xm→1，即對于確定的數值x0>1必存在一條直線:當k=|2b-a|→0時有f(x0)>{g(x0)}，因此若對任意的正實數a,b，不等式f(x)≤(x+1)|2b-a|恒成立，則0≤x≤1.故m的最大值為1.

高中的學習，特別是在高三復習中學生做了大量的數學題，但教師會有這樣的感覺：題還是那個題，錯誤還是那些錯誤.講了n遍的題，解題時學生還是犯老毛病，原因何在？在數學學習上教師是否太急功近利，總是怕學生吃不飽，剛解決完一個問題，趕緊拋出第2個問題.在錯題評析中教師是否真正了解學生的錯誤糾結之處，真正聆聽過學生解題的想法，真正對癥下藥呢?學生思維的培養是一切數學教學方法的根，是數學教學的立足之本.教學中教師應多關注概念的形成過程，重視問題的發現過程及規律的揭示過程，暴露“好念頭、巧方法”是怎樣形成的，真正教會一種好的思維品質，學會思考，學會學習.愿解題活動真正成為學生參與的思維碰撞的活動，在對問題的交流碰撞中學會學習，學會思維，并發現問題的本質所在.