2道函數零點高考題的比較與思考

2道函數零點高考題的比較與思考

●張立建(建湖高級中學江蘇建湖224700)

1試題再現

例1設函數f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax,其中a為實數.

1)若f(x)在(1,+∞)上是單調減函數，且{g(x)}在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范圍；

2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調增函數，試求f(x)的零點個數，并證明你的結論.

(2013年江蘇省數學高考試題第20題)

例2已知函數f(x)=x3+ax2+b(其中b∈R).

1)試討論f(x)的單調性；

(2015年江蘇省數學高考試題第9題)

2分析比較

例2第1)小題考查含參數的函數單調區間的討論，第2)小題因為零點個數已知，從而極值個數和圖像形態已知，故只需確定哪個是極大值，哪個是極小值以及需要極大值大于0，極小值小于0即可.

2道題的相同點：都需要討論含參數的函數的單調區間.不同點：2道題可以看作是逆向問題.例1是在參數a的不同條件下，作函數圖像確定零點個數；例2是已知零點的個數，根據函數圖像(得到參數滿足的不等式)求參數的范圍(但這樣的設計作為第19題選拔性的試題過于簡單，故在此基礎上，給出一個參數的范圍.增加另外的參數，將問題延伸到不等式恒成立的問題).

3試題解答

例1的第2)小題分析g′(x)=ex-a≥0在{(-1,}+∞)上恒成立，則a≤(ex)min，故

且f(e-1)=-1-ae-1<0,據零點存在性定理知{f(x)}在(e-1,a-1)上有1個零點；又當x∈(a-1,{+∞)}時,需證

f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)<0,

②若a=0，則f(x)=lnx，易得f(x)有1個零點.

f(x)=x3+ax2+1-a=

(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],

由題意知方程x2+(a-1)x+1-a=0有2個異于{-1}的不等實根，即

Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,

且

(-1)2-(a-1)+1-a≠0，

4求真

例1用通法解題思路清晰明了，學生一般都能想到，但對分類討論能力要求高，易出錯.在使用零點存在定理找函數值時，需要一定的知識、方法儲備,還要有靈活廣闊的思維力.難點是零點存在性定理，難度太大，大部分學生不能完成.

5思考

看過高考試題，感覺高三一年復習下來，費力不討巧.2015年江蘇省數學高考試題重點強調了基礎知識和創新應用.知識與能力并重，簡單題更加偏重基礎知識的理解，中檔題更加重視相關知識的運用，難題不再是單純利用繁瑣的計算和復雜的推導過程來增加難度，而是逐漸轉變為對方法的思考和靈活運用.

幾點啟發：1)數學正在回歸本源.更加重視知識是什么、為什么、怎么用.數學教學要放低起點，重視概念教學、回歸理解、應用.對于雙基教學，基礎知識要回歸課本，而不是加大難度和深度.基本技能要更加重視其形成，多進行橫向延伸.2)少一些題目堆積，多一些知識點綜合、遷移、轉化.重視知識間的聯系，加強其綜合應用.不一定是多個知識點的整合，2個知識點也可以，重要的是聯系、遷移，是學生的認識與感悟，鍛煉學生學習及思考的能力、綜合解決問題的能力和思維.難題實際上是綜合性強的題目，“會者不難”，考查學生對于方法的認識和理解，是對學生思維的考查.3)注重數學的應用.特別是與實際問題的聯系，數學來源于生活，又服務于生活.這是數學的初衷和“來龍去脈”.