改革中凸顯平穩 過渡中張揚新意——對2015年廣東理科壓軸題的評析

改革中凸顯平穩過渡中張揚新意——對2015年廣東理科壓軸題的評析

●藍云波(興寧市第一中學廣東興寧514500)●呂孫忠(北京師范大學研究生院北京100875)

備受矚目的2015年高考終于落下了帷幕，迷霧已撥開.由于2015年是廣東省高考自主命題的最后一年，試題的質量與難度受到各界的廣泛關注.筆者試做全卷試題，欣喜地發現命題者在平穩過渡的基礎上還實現了創新.特別是作為重頭戲的壓軸題，打破了近幾年以函數與導數為主的單一局面，體現出命題者銳意創新的魄力與勇氣，給僵化的命題風格帶來了一縷清風.本文針對2015年廣東省數學高考理科卷的壓軸題，談談該題的評價、解法、題源與背景揭示以及由此引發的教學反思與建議.

1)求a3的值；

2)求數列{an}的前n項和Tn；

1試題評價

本題具有3個特點：

1)這是一道涉及數列、函數與導數、不等式的綜合解答題，這些都是高中數學課程中的主干與核心知識，很好地體現了“高考重點知識重點考查”的原則，及“在知識交匯處命題”的思路.同時考查了數學的重要思想方法，如等價與轉化思想、函數思想、分類討論思想.該題是一道融知識與思想方法于一體的好題.

2)本題面目溫和、表述簡潔、設問層層遞進，易于入手而深入較難，是一道能較好甄別出各個思維層次學生的知識與能力水平的試題，體現出高考試題應具有的選拔功能.

3)本題較好地與教材接了地氣，證明過程中要構造的函數正是源于教材的一道練習，體現出“高考源于課本而高于課本”的原則.另外，本題具有深刻的高等數學背景，如阿貝爾變換、積分不等式等，體現出命題者高屋建瓴的高超命題技藝，使試題具有一定的深度與新意.

2解法探究

2.1第1)小題的解答

分析第1)小題的起步比較低，因此解題者起步的心情也是比較愉悅的.最簡單的方法就是通過構造2個式子相減得a3.

2.2第2)小題的解答

分析第1)小題為第2)小題的解答作了一個從特殊到一般的鋪墊，如果解題者通過構造2個式子相減得到a3，那么過渡會相當自然.另外,這一小題看似是用數學歸納法可以解決，實際卻不然.

(1)

所以當n≥2時，

式(1)-式(2)，得

從而

2.3第3)小題的解答

2.3.1第1類方法

Sn=b1+b2+…+bn=

Sn=b1+b2+…+bn=

證法3(裂項相消)當n≥2時，

因此當n≥2時，

Sn=b1+b2+…+bn=1+(c2T2-c1T1)+(c3T3-c2T2)+…+(cnTn-cn-1Tn-1)=1+cnTn-c1T1=

圖1

從而

連加可得

2.3.2第2類方法

分析當n≥3時，

進而

2個式子相減,得

因此f(x)在[3,+∞)上單調遞減，即

綜上可知，對任意正整數n，恒有Sn<2+2lnn.

證明第3)小題的第1類方法分為2步，每一步分別用了4種和2種方法，如果組合一下，就可以得到8種不同的方法.從解題步驟中可以領會到：第3)小題的條件與結論之間的關系較為隱秘，表面上的復雜會讓問題變得模糊不清，而通過因式分解和近似替換，可以讓問題柳暗花明，化繁為簡.第2類方法純粹是不等式的放縮，放縮完之后再構造一個函數證明不等關系，但這種解法更具一般性，并且這種“放縮-構造”法是“秒殺”眾多高考壓軸題的利器.

3題源與背景揭示

一題一世界，一解一源泉.解題的根本在于尋根探源，這樣才可以深化對解題過程的理解.

4教學反思與建議

本題是一道綜合了數列、函數與不等式的難題.要想成功解答，需具備扎實的基本功及解題能力.因此，教師在教學的過程中，應做到以下3點：

1)重視教材，重視學生的基本功訓練.本題雖然是一道壓軸題，但其中體現出的數學思想與方法卻并非高不可攀.教材中有大量值得教師與學生一起探究與學習的材料，教師應充分利用這些資源，激發學生學習的興趣，使學生在探究中提高基本技能.如本題第3)小題需要構造的函數正是源于課本的一道經典習題.教師要在平時的教學中重視教材、引領學生進行探究，做到觸類旁通、心中有數.

2)重視學生數學思想的培養.在教學中要重視學生的數學思想方法的發生、生成、內化、升華過程.這是數學基本功中的“內力”，并非一朝一夕能改變，教師要意識到這是細水長流的過程，不能急功近利，而是要讓學生在長期的接觸與體會中得到升華.

3)教師應善于學習，努力提高自己的業務能力，要能站在較高的角度看待和審視問題.這樣才能識別出隱藏在試題背后的核心數學思想，并挖掘其中有價值的東西傳授給學生，做到“會當凌絕頂，一覽眾山小”.