注重試題改編 提升思維品質

注重試題改編提升思維品質

●沈國(三合中心學校浙江德清313200)

試題改編是對原有試題進行改造，使之從形式上、考查功能上發生改變而成為新題.常用的方法有：題型的轉換、條件與結論的轉換、試題背景的轉換、靜態與動態的轉換等.數學思維在思維科學中具有極其特殊的重要地位.數學的教學幾乎無時無刻不在引導學生進行思維活動，而試題改編教學對思維品質的培養尤為重要.因此，“研究試題改編，從而提升數學思維的品質”對于形成完善的數學思維結構和發展數學思維能力具有重要的意義.

1試題改編與數學思維廣闊性的培養

例1關于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下3個結論：①當m=0時，方程只有1個實數解；②當m≠0時，方程有2個不等的實數解；③無論m取何值，方程都有1個負數解.其中正確的是______(填序號)(答案：①③)．

(2015年浙江省臺州市數學中考試題)

改編2關于x的函數y=mx2+x-m+1(其中x取任意實數)，有以下3個結論：①無論m取何值，函數圖像與x軸至少有1個交點；②無論m取何值，函數圖像都經過1個固定點；③無論m取何值，當x>0時，函數y隨x的增大而增大.其中正確的是______(填序號)(答案：①②)．

改編意圖分式方程與整式方程緊密聯系在一起，且分式方程中增根的問題能培養學生的思維能力.拋物線與x軸交點的問題實際上就是解一元二次方程.因此，為了能讓學生對前后所學的知識產生聯系，完善龐大的數學知識結構，同時培養學生數形結合的思想，一元二次方程的問題都可以進行類似改編，以此來拓寬學生的思維，培養數學思維的廣闊性.

()

(2015年浙江省金華市數學中考試題)

(答案：C)

圖1 圖2

改編如圖2，正方形ABCD和正△AEF都內接于⊙O，EF與BC,CD分別相交于點G,H，聯結BE,CE，則下列結論錯誤的是

()

A．CG=BGB．∠ECB=15°

(答案：D)

改編意圖原題只解決了一個問題，為了盡可能地發揮試題的功效，全面而深入地考查學生，該題目還可以進一步挖掘.這樣不僅用到等邊三角形、正方形以及圓的一些特殊性質，還可以用相似、三角函數等知識去解決，全面考查學生的數學知識，以及各種不同思路的掌握程度，培養學生思維的廣闊性.

2試題改編與數學思維深刻性的培養

例3方成同學看到一則材料：甲開汽車、乙騎自行車從M地出發沿一條公路勻速前往N地．設乙行駛的時間為t(h)，甲、乙2人之間的距離為{y(km)}，y與t的函數關系如圖3所示．

方成思考后發現了如圖3的部分正確信息：乙先出發1 h；甲出發0.5 h與乙相遇；……

請你幫助方成同學解決以下問題：

1)分別求出線段BC，CD所在直線的函數表達式；

2)當20

3)分別求出甲、乙行駛的路程S甲，S乙與時間t的函數表達式，并在圖4所給的直角坐標系中分別畫出它們的圖像；

圖3 圖4

(2015年浙江省杭州市數學中考試題)

改編方成同學看到一則材料：甲開汽車、乙騎自行車從M地出發沿一條公路勻速前往N地．設乙行駛的時間為t(h)，甲、乙2人離M地的距離分別為S甲，S乙(km)，且S甲，S乙關于t的函數圖像如圖5所示．

圖5 圖6

請你幫助方成同學解決以下問題：

1)分別求出S甲，S乙關于t的函數表達式；

2)設甲、乙2人之間的距離為y,當20

3)在圖6所給的直角坐標系中畫出y關于t的圖像；

(2015年浙江省寧波市數學中考試題)

圖7 圖8

上述這2類試題的改編方法很常見:一個是將條件與結論互換，另一個是對條件進行類似的改變，目的就是培養學生善于總結出相同類型問題的能力.通過形異質同、多題歸一試題改編的教學，挖掘習題深層次的知識點，讓學生不僅會解一道題而且會解一類題,從而幫助學生迅速找到解題的策略和方法，培養學生數學思維的深刻性.

3試題改編與數學思維批判性的培養

(2015年浙江省義烏市數學中考試題)

圖9 圖10

圖11

例6如圖11，某農場擬建2間矩形飼養室，一面靠現有墻(墻足夠長)，中間用一道墻隔開，并在如圖11所示的3處地方各留1 m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27 m，則能建成的飼養室面積最大為______m2(答案：75)．

(2015年浙江省溫州市數學中考試題)

改編某農場擬建2間矩形飼養室，一面靠現有墻，墻長為12 m，中間用一道墻隔開，并在如圖11所示的3處地方各留1 m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27 m，則能建成的飼養室面積最大為______m2(答案：72)．

改編意圖原題改編之后唯一的區別就在于“墻的長度”這一條件，很多學生在做改編題時得到的答案會跟原題一樣，而且不知道自己錯在哪里.在二次函數求最值問題中，學生比較容易忽視最值能否取到，也就是說學生容易忽視自變量的取值范圍.原題設飼養室的寬為x，面積為y,則y={-3(x-5)2}+75(其中1

對于上述2個改編題，目的就是讓學生出錯，然后讓學生自己來糾錯，漸漸地弄明白為什么會錯，原來是受思維定勢的影響.“錯在哪里，仔細對比，2道題一樣嗎？”只有讓學生自己去發現，以后犯錯的可能性才會降低.讓學生明白要正確的看待2道看上去類似的題目，要善于發現問題，提出疑問，辨別是非，提高數學思維的批判性.

4試題改編與數學思維靈活性的培養

(2015年浙江省衢州市數學中考試題)

圖12 圖13

圖14 圖15

改編意圖拋物線與等腰三角形或直角三角形相結合的問題很常見，這2類問題經常用到分類討論和一題多解的數學思想.尤其是一題多解的思想，在同一問題不同的情況下，為了更方便地解決問題，用到的方法可以不一樣，需要學生靈活地處理.例如改編題中的直角三角形問題，首先根據直角三角形的特征和條件，分為2種情況：①如圖14，當∠PBQ=90°時，表示出點P，Q的坐標后可以根據勾股定理求出a的值.也可以構造“直M”型相似，即△PCB∽△BDQ，再根據“相似三角形的對應邊成比例”求出a的值；還可以根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”去求(當然筆者最喜歡的還是利用直線PB⊥AB，依據2條直線垂直，2條直線的斜率值乘積等于-1，求出直線PB的解析式，再將直線PB的解析式和拋物線的解析式聯立方程組，解方程組即可求出P1和P2這2種情況).②如圖15，當∠BPQ=90°時，前面的方法都可以求，但是此時點P的縱坐標與點B的縱坐標相等，直接將y=3代入二次函數解析式即可求出P3,P4這2種情況.因此本題改編的目的就是培養學生選擇方法的靈活性和思維的靈活性.

例8已知拋物線y=(x-m)2-(x-m)，其中m是常數．

1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有2個公共點.

①求該拋物線的函數解析式；

②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有1個公共點？

(2015年浙江省寧波市數學中考試題)

改編已知拋物線y=(x-m)2-(x-m)，其中m是常數．

1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有2個公共點；

2)當m≠0且m≠-1時，把該拋物線進行左右或上下的平移，使得平移之后的拋物線與坐標軸有2個交點，試討論m的取值，并求出最短的平移距離．

教師要引導學生在解題遇到困難時及時調整思維的方向，修定原訂方案，不受思維定勢和固定模式的束縛，能冷靜地面對問題，同時又能靈活地處理.或者在已有的思想方法上再另辟蹊徑，善于發現新的條件和新的因素，找到眾多解法，再從這些解法中提煉出最優方法.這樣學生才會越學越輕松，思維也會越來越靈活.

總之，靈活、合理地改編原有的數學試題能提高學生的解題能力，提升數學思維的品質，在解題教學過程中，起著不可估量的作用.數學思維的廣闊性、深刻性、批判性和靈活性并不是孤立的，它們相輔相成，相互促進.它們常能使問題由大化小、由小化了，巧妙而簡捷地得到解決，讓人頓覺思路自然，條理清晰，顯示出數學特有的不容辯駁的邏輯力量和數學美感.