一道數學中考題的變式與探究

一道數學中考題的變式與探究

●黃新民(溫州市教育教學研究院浙江溫州325000)

●劉臻(甌北街道第一中學浙江永嘉325100)

作為數學教師，每天都要與數學題接觸，一些精彩的好題，往往蘊含著豐富的數學思想.在欣賞的同時，有必要對其進行深入地探究.

1原題再現與解析

()

(2015年浙江省溫州市數學中考試題)

分析該題以勾股圖為背景，引進3個新元素：半圓、MP及NQ，并利用它們之間的內在聯系，設置問題.整個設計構思巧妙、新穎，圖形美觀，題設簡潔對稱，結構嚴密，求解過程所用知識均為初中數學核心知識，所用方法也是初中數學重要方法之一——整體思想.這是一個不可多得的好題！

圖1 圖2

2試題變式與探究

若將原題中“MP+NQ=14，AC+BC=18”這2個條件去掉,則MP-NQ，AC-BC存在以下關系：

證明如圖2，設AC=b，BC=a,圓的半徑記為r,則

從而

故

分析數學試題的探究過程遵循從簡單到復雜、從特殊到一般的規律.變式分別從具體的數量關系，過渡到了一般的數量關系，并揭示了2種幾何對象：數量關系(線段)與位置關系(角度)之間的內在依存和轉化關系.這就要求教師平時在教學過程中，要有意識地引導學生去探究幾何圖形在一般位置關系下的特殊數量關系，也就是幾何不變量.

圖3 圖4

引入一些記號，如圖4，設AC=2b,BC=2a，設AC,BC的弦心距分別為n，m，設弓形APC，BQC的高分別是h1，h2，并設圓的半徑為r.

引理1結論中的k<1.

證明如圖4，不妨設AC>BC，即b>a，于是h1>h2.又h1=2b-MP,h2=2a-NQ，得

2b-MP>2a-NQ，

從而

即

k<1.

引理2結論中的k滿足關系：

引理3結論中的∠ACB滿足關系：

圖5

因為OM⊥AB，MH⊥AC,∠ALH=∠BLM,所以

∠BAC=∠M,

從而

BC=EF,

故

OG=OK,KQ=PG.

因為MF為直徑，所以∠FEM=90°.又{∠MHC=}∠OTH=90°,從而四邊形EHTG為矩形，因此EH=GT=OG-OT=OK-OT=m-n,即

AH=AT-HT=AT-EG=AT-BK=b-a,

因此

結論的證明由引理2和引理3可得

即結論成立.

3結論應用與創新

應用該結論，還可以編出許多新題：

分析新題1與新題2分別從正反2個互逆的角度運用了結論.一方面體現了該結論的實用價值，另一方面也揭示了命題的一個常用方法——賦值法.

一個好的數學試題，可以在檢測學生的數學思維過程中起到事半功倍的效果.而對試題進行變式和探究，更是教師在課堂之外應該潛心專研的內容，這將有助于我們更加深刻地理解問題，發現問題本質，從而為促進更高效的數學課堂打下堅實的基礎.