對一道典型運(yùn)動學(xué)例題錯解剖析

對一道典型運(yùn)動學(xué)例題錯解剖析

陳向群 孟凡玲

(馬鞍山市第二中學(xué)安徽 馬鞍山243000) (阜陽市第二中學(xué)安徽 阜陽236033)

摘 要：通過對一道典型運(yùn)動學(xué)例題錯解剖析，進(jìn)一步分析了在解答問題過程中思維偏差產(chǎn)生的根源以及應(yīng)對的教學(xué)策略.對幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)清桿在圓柱體或球上的運(yùn)動過程和物理圖景，突破思維的難點(diǎn)，掃清學(xué)習(xí)中的障礙以及對幫助學(xué)生從本質(zhì)上把握物理規(guī)律和解決物理問題，將起到積極的促進(jìn)作用.

關(guān)鍵詞：運(yùn)動學(xué)合成與分解 錯解分析物理圖景

收稿日期：(2014-07-29)

筆者在各種自主招生和競賽的教輔資料中常看到這樣一道典型運(yùn)動學(xué)例題，但無一例外，解答都是錯誤的.

圖1

【例題】如圖1所示，AB桿的A端以勻速v在水平地面上運(yùn)動，運(yùn)動時桿始終與一半圓柱體相切.半圓柱體的半徑為R.當(dāng)桿與水平線的交角為θ時，求桿的角速度ω及桿上與半圓柱體相切點(diǎn)C的速度及桿與半圓柱接觸點(diǎn)C′的速度大小.

錯解:由于半圓柱體靜止，桿上C點(diǎn)的速度的法向分量為零，故桿上C點(diǎn)速度必沿桿，以C點(diǎn)為基點(diǎn)，將桿上A點(diǎn)速度v分解為沿桿方向的分量v1和

垂直于桿方向的分量v2，如圖2所示.

圖2

則v1是A點(diǎn)與桿上C點(diǎn)相同的沿桿方向平動的速度，v2是A點(diǎn)對C點(diǎn)轉(zhuǎn)動速度，故桿上C點(diǎn)速度為

vC=v1=vcosθ

(1)

又

v2=vsinθ=ω·AC

而

AC=Rcotθ

故

如圖3所示，由于桿與圓柱的接觸點(diǎn)C′沿圓周運(yùn)動，桿轉(zhuǎn)過的角度與半徑轉(zhuǎn)過的角度相同，所以桿轉(zhuǎn)動的角速度與C′點(diǎn)沿圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度相同,所以C′點(diǎn)的速度為

vC′=ωR=vtanθsinθ

(2)

圖3

粗看起來，我們很難發(fā)現(xiàn)錯在哪里，有一定的隱蔽性，到底哪里出了問題？

正解:結(jié)合圖3，以圓柱體橫截面的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn),沿地面上桿A點(diǎn)的速度方向建立x軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為x.則

對x求導(dǎo)

(3)

由于

(4)

聯(lián)立式(3)，(4)，則有C′點(diǎn)沿圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度為

(5)

所以C′點(diǎn)的速度為

vC′=ωR=vtanθsinθ

(6)

式(2)與式(6)相同，此解與上面的解法不同，但結(jié)論相同，沒有發(fā)現(xiàn)錯誤.

由于桿上C點(diǎn)的速度是接觸點(diǎn)C點(diǎn)相對于桿的端點(diǎn)A點(diǎn)的速度，故以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿桿AB的方向建立x軸，如圖4所示.

圖4

C點(diǎn)的坐標(biāo)為x.則

(7)

將式(5)代入式(7)，得到

(8)

式(8)與式(1)明顯不同，造成原因是我們只考慮桿在圓柱體上的平動導(dǎo)致的桿上C點(diǎn)的移動，沒有把桿在圓柱體上的轉(zhuǎn)動所導(dǎo)致的桿上C點(diǎn)的移動考慮進(jìn)來！

如圖5所示，桿在圓柱體上發(fā)生無滑動的純轉(zhuǎn)動，桿由①位置轉(zhuǎn)動到②位置的過程中，桿上C點(diǎn)同時也發(fā)生了移動.由于桿在圓柱體上沒有滑動， 故桿上C點(diǎn)移動的速度與圓柱體上C′點(diǎn)移動速度始終大小相等.

圖5

所以桿上的C點(diǎn)實(shí)際的速度是由兩個速度疊加而成的，則有

以上對錯因的剖析，使我們認(rèn)識到物理圖景是把物體的運(yùn)動和相互作用生動形象地描繪出來，是抽象思維得以順利進(jìn)行的基礎(chǔ)；綜合表達(dá)了物理現(xiàn)象、本質(zhì)規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系，是具有物理意義的空間幾何圖形和數(shù)量關(guān)系的集合；是使我們更快、更準(zhǔn)確地把握個物理量中的各種關(guān)系，找到恰當(dāng)?shù)耐黄瓶诤徒鉀Q問題的最佳方案；是分析、解決物理問題的必經(jīng)之路. 構(gòu)建物理圖景不僅是物理思維的一種能力問題，更重要的是蘊(yùn)含著一種思想、方法或者科學(xué)精神.實(shí)踐證明，構(gòu)建物理圖景的過程就是培養(yǎng)物理素養(yǎng)的過程，也就是培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力、創(chuàng)造思維能力及模型構(gòu)建能力的過程.教師在教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生活化物理過程和圖景，能增強(qiáng)學(xué)生空間想象的自覺性，使空間想像力有充分鍛煉的機(jī)會.為提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力、創(chuàng)造能力和空間想象能力，提供了一種有效的教學(xué)策略.

參 考 文 獻(xiàn)

1趙凱華,等.新概念物理教程：力學(xué).北京：高等教育出版社，2004

2哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室編.理論力學(xué).北京：高等教育出版社，2002

3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).北京：高等教育出版社，2007

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