已知三角形兩邊及其中一邊的對角時解三角形的個數判定方法及其應用

馬耀勇

一、已知三角形兩邊及其中一邊的對角時解三角形的個數的探討

在△ABC中，已知兩邊a、b和其中邊a的對角A，解三角形時，解的個數有哪些情況？

問題相當于：在△ABC中，已知兩邊a、b和其中邊a的對角A畫三角形時，能畫多少個三角形？

畫法：（1）畫∠MAN等于已知角A；

（2）在射線AM上截取AC=b；

（3）以C為圓心、a為半徑畫弧，交射線AN于點B（交點B的個數決定畫出的三角形的個數），則△ABC就是要畫的三角形。

1.當A為銳角時：

（1）當a

（2）當a=bsinA時，畫出唯一的三角形，如圖（2），只有一個解；

（3）當bsinA

（4）當a≥b時，畫出唯一的三角形，如圖（4），只有一個解.

2.當A為直角或鈍角時：

（1）當a≤b時，無解，如圖（5）、圖（6）；

（2）當a>b時，一個解，如圖（7）、圖（8）。

記憶方法：解的個數判定方法一

（1）當A為銳角時；

（2）當A為直角或鈍角時.

當已知角的對邊是大邊，有一解，否則，無解。

在△ABC中，已知兩邊a、b和其中邊a的對角A解三角形，解的個數的判定方法還可以用下面方法：

方法二：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得到以第三邊c為未知數的一元二次方程，此方程正數解的個數即為三角形解的個數。

已知a，b，A，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得

c²-（2bcosA）c+b²=a²=0，

（l）若方程無解或無正數解，則三角形無解；

（2）若方程有唯一正數解，則三角形有一解；

（3）若方程有兩個不同的正數解，則三角形有兩解。

二、已知三角形兩邊及其中一邊的對角時三角形解的個數判定方法應用舉例

1.已知三角形兩邊及其中一邊的對角時判定解的個數。

例1：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，根據下列條件，不解三角形判斷有幾組解？