一類乘積形式積分因子的存在條件及應用

一類乘積形式積分因子的存在條件及應用*

李耀紅, 彭穎

(宿州學院 數學與統計學院,安徽 宿州 234000)

摘要：討論了一階常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子問題,給出了方程具有一類形如f(axα+bxsyt+cyβ)g(dxmyn)乘積形式積分因子的充要條件，并結合實例說明其應用，該結果推廣了相關文獻的結論.

關鍵詞：一階常微分方程；乘積形式積分因子；充要條件；應用

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.011

收稿日期：2015-05-16；修回日期：2015-06-20.

基金項目：*安徽省省級綜合改革數學與應用數學專業項目(2012ZY46)；宿州學院綜合理科實踐教育基地項目(SZXYSJJD201205).

作者簡介：李耀紅(1978-)，男，湖北武漢市人，副教授，碩士，從事泛函分析研究.

中圖分類號：O175.1文獻標志碼：A

全微分方程是一階常微分方程中一類重要的方程，其求解方便快捷.通常只要判定某個一階微分方程為全微分方程，其通解就能直接給出.因此尋找一階常微分方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

(1)

的積分因子μ(x,y)，使得一階常微分方程μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0成為全微分方程，是一種求解方程(1)簡單有效的方法.

對一些具有特殊形式的簡單積分因子存在性條件，文獻[1-3]進行了討論；文獻[4-7]則對一些復合型積分因子的存在性定理和計算公式進行了探討；文獻[8-10]討論了幾類具有乘積形式的積分因子的問題求解.結合上述文獻的研究結果，此處討論方程(1)具有一類形如

f(axα+bxsyt+cyβ)g(dxmyn)

(2)

乘積形式積分因子存在的充要條件,并結合實例說明上述形式積分因子的求解.

1主要定理

引理1[1]連續可微函數μ(x,y)≠0為方程(1)的積分因子的充要條件是 (μM)y=(μN)x.

定理1方程(1)具有形如式(2)的混合型積分因子的充要條件是

(3)

其中a,b,c,d,α,β,s,t,m,n是任意常數，且z1=axα+bxsyt+cyβ,z2=dxmyn.

證明由引理1知，式(2)是方程(1)乘積形式積分因子的充要條件是(fgM)y=(fgN)x，即有fygM+fgyM+fgMy=fxgN+fgxN+fgNx,故有

整理后立即得式(3)，于是定理1得證.

注1在定理1中,若令b=0，d=1,即得文獻[8]的定理1；若令g(z2)=1，即得文獻[10]的定理1，且進一步令a=c=1,b=0,可得文獻[2]的定理1.故此處定理1推廣了相關文獻結果.

推論1若存在函數F(z1)使得等式

下面給出方程(1)具有形如式(2)的乘積形式積分因子的求解方法.

定理2若方程

g(z2)M(x,y)dx+g(z2)N(x,y)dy=0

(4)

滿足

(5)

證明由推論1 直接可得結果,證明過程從略.

注2將式(5)重新整理可得

(6)

觀察可知,通過選取恰當的函數F(z1)使得式(6)右端僅為與z2相關的函數,從而可確定出函數f(z1),進而求出原方程對應的積分因子.

從注2中可以得到求乘積形式積分因子(2)的具體求法,即簡化為如下兩個步驟完成：

1) 從滿足式(5)的充要條件表達式中推導出函數g(z2)應滿足的關系式,選取恰當的F(z1),確定出g(z2)；

2) 求方程(4)中具有形如f(z1)的積分因子，進而確定方程(1)的積分因子f(z1)g(z2).

2應用舉例

參考文獻：

[1] 王高雄,周之銘,朱思銘，等.常微分方程[M]. 北京: 高等教育出版社,2006

[2] 張瑋瑋.關于一類特殊一階常微分方程積分因子的探討[J].安慶師范學院學報:自然科學版,2014,20(2):10-11

[3] 王景艷.幾類特殊積分因子存在的充要條件及其應用[J].保山學院學報,2014,33(2):53-55

[4] 李耀紅,張海燕.幾類微分方程的積分因子存在定理[J].巢湖學院學報,2006,8(3):8-9

[5] 李耀紅,陳浩.對微分方程復合型積分因子問題的推廣[J].黃山學院學報,2006,8(3):11-12

[6] 張海燕,戴揚,陳潔. 新復合型積分因子的存在定理及應用[J].皖西學院學報,2007,23(2):7-9

[7] 陳星海,李璜,韓祥臨.三類復合型積分因子的充分必要條件及其應用[J].湖州師范學院學報,2010,32(2)：44-49

[8] 彭艷芳,黃春妙.一階常微分方程具有乘積形式形如f(xαyβ)g(axs+byt)積分因子的求解[J].孝感學院學報，2008,28(6):33-34

[9] 徐彬.一階常微分方程具有一種乘積形式積分因子的求解[J].黃岡師范學院學報，2009,29(3):13-15

[10] 韓祥臨，陳星海.一類積分因子的存在條件及應用[J].高等數學研究,2012,15(3):11-12

Existence Condition of Integral Factor of the Product Form and Its Application

LI Yao-hong,PENG Ying

(School of Mathematics and Statistics,Suzhou University,Anhui Suzhou 234000,China)

Abstract：This paper discusses the problem of integral factor for first order differential equation M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,and gives a sufficient and necessary condition of integral factor of the product form of f(axα+bxsyt+cyβ)g(dxmyn). The application of this method is illustrated by example. Moreover,the result obtained amplifies the conclusions in the relevant reference.

Key words： first order differential equations; integral factor of the product form; sufficient and necessary condition; application