自適應時間步長法及三維堤壩地震液化數值模擬①

自適應時間步長法及三維堤壩地震液化數值模擬①

通信作者：唐小微(1968-)，男，博士生導師，主要從事土動力學、海洋土動力學等方面研究。E-mail：tangxw@dlut.edu.cn。

張西文1， 唐小微2， 白旭2， 唐曉成3， 韓小凱2

(1.濟南大學土木建筑學院，山東 濟南 250022； 2.大連理工大學海岸與近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；

3.東北電力大學建筑工程學院，吉林 吉林 132000)

摘要：三維大模型數值計算因巨大的單元和結點數目而非常耗時，在地震響應分析中受計算時間步長的限值則更加耗時。在飽和砂土動力液化計算平臺上開發時域離散誤差評估方法和時間步長自適應調整的計算程序，并成功應用于三維堤壩地震液化響應分析。時域離散誤差包括土骨架的位移誤差和單元孔壓誤差，通過定義孔壓誤差影響系數計算出混合誤差，根據混合誤差和設定的誤差允許值進行計算步長的自適應調整。在三維堤壩地震液化數值模擬中，采用自適應時間步長法有效避免小步長精確但耗時、大步長省時而不精確的缺點。在大模型和超大模型計算中，最優調整每一步的計算時間步長，完美實現既節省時間又不失精度的時域離散策略。

關鍵詞：自適應時間步長法； 混合誤差； 堤壩； 地震液化； 計算時間

收稿日期：①2014-08-20

基金項目：國家自然科學

作者簡介：：張西文(1987-)，男，講師，主要從事地震液化數值模擬、自適應等方法研究。E-mail：zhangxw_11@163.com。

中圖分類號:TU43 文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1000-0844.2015.03.0672

Three-Dimensional Numerical Simulation of Embankment Seismic

Liquefaction Using Adaptive Time-Stepping Method

ZHANG Xi-wen1, TANG Xiao-wei2, BAI Xu2, TANG Xiao-cheng3, HAN Xiao-kai2

(1.SchoolofCivilEngineeingandArchitecture,TheUniversityofJinan,Jinan250022,Shangdong,China;

2.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,Liaoning，China;

3.SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,NortheastDianliUniversity,Jilin132000,Jilin,China)

Abstract：Three-dimensional (3D) numerical simulation of a large model is a time-consuming process due to the huge number of elements and nodes. This is particularly true for seismic behavior analysis in which the accuracy is limited by the size of the time increment. In this study, the temporal discretization error estimator and time increment adaptive adjustment method is proposed on the basis of the numerical platform for seismic liquefaction analysis of saturated soil. The proposed method is successfully applied in 3D embankment seismic response analysis. The temporal discretization error estimation includes errors in soil skeleton displacement and pore water pressure. These two types of errors are combined to form a mixed error as an effect of pore water pressure error. The time increment is adaptively adjusted by the relationship of mixed error and the given error tolerance. Through a numerical example of 3D embankment, it is determined that the adaptive time-stepping method can be used to improve the accuracy of small time increments. The results of this method are comparable to those obtained using highly efficient but time-consuming large time increments.

Key words： adaptive-time stepping method; mixing error; embankment; seismic liquefaction; computation time

0引言

飽和砂土地基的液化是常見地震災害之一，在中國的汶川地震(2008)、日本阪神地震(1995)和3·11大地震(2011)中均發現了液化現象和破壞的實例[1-2]。對于堤壩尤其是處于可液化地基上的堤壩來講，由地震液化造成的豎向沉陷和橫向側移是最重要的破壞模式。在過去的幾十年里眾多學者對堤壩進行了研究[3-7]，其研究方法可以歸結為經驗理論法、振動臺試驗法和數值模擬法。隨著計算機科學技術的發展，數值計算方法逐漸受到眾多科研工作者的青睞。為了達到數值計算的精確度，開始采用更細密的單元劃分，更小的計算時間步長，但同時計算效率和計算精度的矛盾也顯得更為突出。自適應有限元的出現開創了自動調整網格尺寸和自動調整計算時間步長的策略，自動進行最佳的離散方式，有效實現了效率和精度的統一。網格自適應方面，Babuska[8]最早提出了殘差法為依據的網格調整方法，由于形式復雜沒有得到廣泛應用。隨后被廣泛應用的則是由Zienkiewicz等[9]提出的后驗誤差評估方法(也稱為z-z誤差評估)。在時間離散方面，起步和發展都較網格自適應晚，Bergan[10]在1985年提出了一種時間步調整的方法，Zienkiewicz[11]將Newmark解與Taylor級數解的差值作為截斷誤差。Zeng[12]對Zienkiewicz的方法進行了改進，提出了后驗的誤差計算方法，誤差評估的對象是單元的結點位移，在不考慮孔隙水的情況下是適用的。此后，Zhang Zihua、王懷忠和馮領香等都采用了Zeng的誤差評估方法[13-15]。

時間自適應算法在結構和流體工程中應用較廣，如Hulbert[16]在結構分析中采用了自適應時間步長法，Tang[17]、Hirthe[18]在流體的計算中都采用了變步長法和自動步長法。在巖土工程領域，Sloan[19-20]、阮光雄[21]在巖土固結分析中采用自適應時間步長法，極大節省了計算時間。在巖土動力分析中，自適應時間步長法的應用和可查閱的文獻非常少，在水土耦合分析和砂土動力液化中研究更少。然而動力計算常采用顯式有限元的方法，計算的精度和時間步長的選取存在必然的聯系；同時，由于計算時間長，計算步數多，模型巨大而耗費大量的時間。因此對于多單元大模型的動力計算問題，開發一套誤差評估方法和時間步長自適應調整程序是非常有必要的。

在本文的研究中，首先采用有限元-有限差分(FEM-FDM)的方法進行水土耦合分析。除了結點的位移誤差需要考慮之外，單元孔隙水壓力的誤差也是不可忽略的。因此，借鑒自適應時間步長法的研究進展，對結點位移誤差和單元孔壓誤差同時進行評估，并將二者的混合誤差作為時間步長調整的依據，開發適合于飽和砂土液化分析的自適應步長法程序。

1水土二相耦合計算理論

飽和砂土可看做是由土和水組成的二相混合物。假定土顆粒本身和水本身的密度為ρs和ρw，混合體的孔隙率為n，則混合體的密度可以表示為：

采用有效應力原理建立有效應力和總應力之間的關系為：

在動力荷載作用下，將加速度對混合體的影響作為慣性力，并忽略孔隙流體的加速度，可得水-土二相混合體的平衡方程。

式中:usi為土骨架的位移向量；ρ為混合體的密度；bi為體力向量。

根據達西定律和質量守恒條件，可建立孔隙水連續性方程：

式中:n為土體的孔隙率；pw為土體孔隙水壓力；k為土體的滲透系數；γw為孔隙水的重度；εsii為土體骨架的應變張量。

通過有限單元方法進行空間離散，對和孔壓有關的相用有限差分法離散，獲得u-p格式的控制方程：

式中:[C]為阻尼陣，采用Rayleigh阻尼，表示為：

采用循環彈塑性本構建立應力增量和應變增量的關系：

式中:Depijkl為彈塑性矩陣。關于此本構的具體方程和本構參數設置可參考Oka等[22]的文獻。

對結點位移采用Newnark-β法進行時間域離散。

對單元孔壓，采用向后差分的方法進行離散，

將式(8)和式(9)表示的t+Δt時刻的速度和位移、式(10)表示的t+Δt時刻的孔壓代入式(5)中，經過整理后得到最終的控制方程式為

2時域離散誤差評估及自適應調整

2.1位移誤差評估

圖1　Newmark-β法位移時間離散誤差 Fig.1　Temporal discretization error for node displacement 　　　 using Newmark-β method

由式(9)可知當采用Newmark-β法時，在[t,t+Δt]內的加速度近似值為：

按照Zeng的線性化假設，存在一個變量τ∈[t,t+Δt]，更精確的加速度描述可表示為：

在τ時刻的速度誤差可表示為加速度誤差在[t,τ]區間上的積分，即：

在t+Δt時刻位移誤差可表示為速度誤差在[t,t+Δt]區間上的積分：

位移相對誤差表示為：

2.2孔壓誤差評估

在差分法中，向前和向后差分為1階精度，中心差分則為2階精度。在孔壓誤差的評估中，將中心差分的解和向后差分的解之間的差值作為孔壓的截斷誤差。向后差分的解見式(18)，中心差分的解見式(19)。

孔壓的誤差表示為：

孔壓的相對誤差表示為：

2.3時間步長自適應方法

為了綜合考慮位移誤差和孔壓誤差，采用混合誤差作為時間步長調整的依據。混合誤差的定義為：

經過自適應調整后的時間步長為：

3三維堤壩數值算例

3.1三維堤壩模型

圖2　堤壩數值算例(單位：m) Fig.2　Numerical model of the embankment (Unit:m)

堤壩土體分為干土和飽和砂土兩部分，土體的參數見表1。

3.2輸入地震波荷載

輸入的地震波見圖 3，為水平方向振動。地震波加速度峰值為0.3g。地震波時間步長為0.01s，共2 200步，持續振動22s。

3.3位移分析

(1) 壩頂豎向位移時程

圖 4給出了壩頂N1點的豎向位移時程曲線。可以發現，位移曲線與時間步長的大小密切相關，時間步長越小則計算出的豎向位移越大。采用自適應時間步長法時，可以獲得與固定步長法一致的變化規律，且當誤差允許值越小時越接近小步長的結果，即越精確。

表 1　土體參數

圖3　輸入地震波 Fig.3　Input seismic wave

圖4　壩頂豎向位移時程曲線 Fig.4　Time history of vertical displacement on the 　　　 embankment crest

(2) 壩趾水平位移時程

圖 5 給出了壩趾N2點的水平位移時程曲線。采用自適應時間步長法，通過設定誤差允許值可以獲得與小步長同樣的精度。同時，也可以發現在地震荷載作用下堤壩會發生豎向和橫向的較大位移。

圖5　壩趾水平位移時程曲線 Fig.5　Time history of horizontal displacement 　　　 at the embankment toe

(3) 位移云圖

圖 6 給出了地震結束后的豎向位移分布圖。可以發現整個堤壩發生了較大的沉陷變形。

圖6　位移云圖(t=22 s) Fig.6　Distribution of the vertical displacement (t=22 s)

3.4超孔隙水壓力比分布

圖 7(a)和(b)給出了地震發生過程中t=2 s和地震結束時t=22 s的超孔隙水壓力比(epwpr)的云圖。可以發現液化范圍在地震過程中不斷擴大，也可以推斷由于發生了地基液化而造成了堤壩的較大變形。

圖7　超孔隙水壓力比云圖 Fig.7　Distribution of the excess pore water pressure

3.5計算時間步長

圖 8表示采用自適應步長法時的計算時間步長時程曲線。通過自適應步長的算法實現了計算時間步長實時自動的調整，可以合理地分配計算資源。當采用較小的混合誤差允許值時，從圖 4和圖 5可見計算更加精確，同時從圖 8中可以發現時間步長的取值會相應變小。

圖8　計算時間步長的時程曲線 Fig.8　Time history of computation time step

3.6計算時間對比

為了對計算效率作對比，本文所有算例統一在DELL Precision T5610 Intel?Xeon?3.4 GHz 的工作站上計算。計算時間列于表2中。可見在相同計算精度條件下，自適應時間步長法更節省計算時間。

表 2　計算時間對比

4結論

采用自適應時間步長動力有限元法對三維堤壩進行地震液化災害模擬。通過對結果的分析，可以得到以下結論:

(1) 計算時間步長的取值大小決定計算的精度，但獲得高精度的代價則是花費巨大的計算資源。自適應步長法可以實時地調整計算時間步長大小，合理地分配計算資源，與固定步長法相比，在獲得相同精度的條件下可最大地節省計算時間。

(2) 通過數值模擬，研究三維堤壩在地震液化情況下的破壞模式，包括豎向的沉陷變形和水平的流動擴展變形，為揭示堤壩地震液化災害機理提供依據和參考。

參考文獻(References)

[1]黃雨,于淼,Bhattacharya S.2011年日本東北地區太平洋近海地震地基液化災害綜述[J].巖土工程學報:2013，35(5)：834-840.

HUANG Yu,YU Miao,Bhattacharya S.Review on Liquefaction Induced Damages of Soils and Foundations During the 2011 off the Pacific Coast of Tohoku Earthquake (Japan)[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2013，35(5)：834-840.(in Chinese)

[2]Chen L W,Yuan X M,Cao Z Z,et al.Liquefaction Macrophenomena in the Great Wenchuan Earthquake[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2009,8 (2):219-229.

[3]Ishihara K,Yasuda S,Yoshida Y.Liquefaction Induced Flow Failure of Embankment and Residual Strength of Silty Sand[J].Soils and Foundations, 1990, 30 (3): 69-80.

[4]Manzari M T.Finite Deformation Analysis of Liquefaction Induced Flow Failure in Soil Embankments[J].Geotechnical and Geological Engineering, 1996, 14: 83-110.

[5]Elgamal A,Parra E,Yang Z,et al.Numerical Analysis of Embankment Foundation Liquefaction Countermeasures[J].Journal of Earthquake Engineering, 2002, 6(4): 447-471.

[6]汪明武,Iai S,Tobita T.液化場地堤壩地震響應動態土工離心試驗及模擬[J].水利學報,2008,39: 1346-1352.

WANG Ming-wu,Iai S,Tobita T.Centrifuge Test and Numerical Analysis of Seismic Responses of Dyke on Liquefiable Soils Foundation[J].Journal of Hydraulic Engineering,2008,39:1346-1352. (in Chinese)

[7]HuangY,Yashima A,Sawada K,et al.A Case Study of Seismic Response of Earth Embankment Foundation on Liquefiable Soils[J].Journal of Central South University of Technology,2009,16(6):994-1000.

[8]Babuska I,Rheinboloat W C.Error Estimates for Adaptive FiniteElement Computations[J].Siam Journal on Numerical Analysis,1978,15(4):736-754.

[9]Zienkiewicz O C,Zhu J Z.A Simple Error Estimator and Adaptive Procedure for Practical Engineering Analysis[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1987,24:337-357.

[10]Bergan P G, Mollestad E.An Automatic Time Stepping Algorithm for Dynamic Problems[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1985, 49(3):299-318.

[11]Zienkiewicz O C,Xie Y M.A Simple Error Estimator and Adaptive Time Stepping Procedure for Dynamic Analysis[J].Earthquake Engineering and Structure Dynamics, 1991,20:871-887.

[12]Zeng L F,Wiberg N E,Li X D.A Posteriori Local Error Estimation and Adaptive Time-Stepping for Newmark Integration in Dynamic Analysis[J].Earthquake Engineering and Structure Dynamics,1992,21:555-571.

[13]Zhang Z H,Yang Z J,Liu G H.An Adaptive Time-Stepping Procedure Based on the Scaled Boundary Finite Element Method for Elastodynamics[J].International Journal of Computational Methods,2012,9(1):13.

[14]王懷忠,孫鈞.能量的局部誤差估計和直接積分法的時步自適應算法[J].巖土工程學報,1995,17(5):32-41.

WANG Huai-zhong,SUN Jun.Local Error Estimator of Energy and Adaptive Time Stepping Procedure for Direct Integration Method[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1995,17(5):32-41.(in Chinese)

[15]馮領香,魏建國,王森林,等.一種可自調步長的改進newmark算法[J].河北農業大學學報,2004,27(3):111-114.

FENG Ling-xiang,WEI Jian-guo,WANG Seng-lin.The Improved Newmark Algorithm With Adaptive Step Size[J].Journal of Agricultural University of Hebei,2004,27(3):111-114.(in Chinese)

[16]Hulbert G M,Jang I.Automatic Time Step Control Algorithms for Structural Dynamics[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1995,126:155-178.

[17]Tang G P,Alshawabkeh A N,Mayes M A.Automatic Time Stepping with Global Error Control for Groundwater Flow Models[J].Journal of Hydrologic Engineering,2008,13(9):803-810.

[18]Hirthe E M,Graf T.Non-Iterative Adaptive Time Stepping Scheme with Temporal Truncation Error Control for Simulating Variable-density Flow[J].Advances in Water Resources,2012,49:46-55.

[19]Sloan S W,Abbo A J.Biot Consolidation Analysis with Automatic Time Stepping and Error Control,Part 1:Theory and Implementation[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,1999,23(6):467-492.

[20]Sloan S W,Abbo A J.Biot Consolidation Analysis with Automatic Time Stepping and Error Control,Part 2: Applications[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,1999,23(6):493-529.

[21]阮光雄,傅少君,陳勝宏.固結問題有限元法時步自適應研究[J].巖土力學,2005, 26(4):591-599.

Ruan Guang-xiong,FU Shao-jun,CHEN Sheng-hong.Study on Adaptive Time Step of Consolidation Problems by Finite Element Method[J].Rock and Soil Mechanics,2005,26(4):591-599.(in Chinese)

[22]Oka F,Yashima A,Tateishi A,et al.A Cyclic Elastic-plastic Constitutive Model for Sand Considering a Plastic-strain Dependence of the Shear Modulus[J].Geotechnique,1999,49(5):661-680.(in Chinese)