例談數(shù)形結合的方法

朱月祥++++王海成

數(shù)學上總是用數(shù)的抽象性和精確性來說明形象的事實，同時又用圖形的直觀性來說明抽象的事實?；蛞詳?shù)輔形，用嚴密的邏輯推理來精確刻畫直觀的形象；或以形助數(shù)，用形象的幾何圖形啟迪抽象的代數(shù)思維。這種數(shù)形結合就是把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機結合起來，實現(xiàn)形象思維與抽象思維的優(yōu)勢互補，體現(xiàn)了數(shù)與形之間的溝通與變換。既利于探求解題途徑，又可深刻認識問題的本質。

一、 以數(shù)輔形

例1：P為等邊△ABC的外接圓BC弧內任意一點，連接

PA、PB、PC，如圖求證：

（1）PB+PC=PA；

（2）PB·PC=PA2-AB2；

（3）PA≤■AB；

（4）PA2+PB2+PC2為定值。

分析：由本題第（1）、（2）的結構，應該聯(lián)想到韋達定理；由問題中出現(xiàn)的二次方，應該聯(lián)想到余弦定理。這兩步實現(xiàn)了數(shù)與形的完美結合，用一個代數(shù)理論就可以統(tǒng)一解決這四個問題。

解： 記正△ABC的邊長為a，當PB=PC時，以上結論顯然成立。

當PB≠PC時，分別在△PBC、△PAC中用余弦定理，有：

AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=PA2+PB2-PA·PB，

即PB2-PA·PB+（PA2-a2）=0，

同理得PC2-PA·PC+（PA2-a2）=0，

這表明PB、PC是二次方程x2-PA·x+（PA2-a2）=0的兩個實數(shù)根，

由韋達定理有：

PB+PC=PA；

PB·PC=PA2-AB2。又由方程有實數(shù)根知判別式非負，即：

△=PA2-4（PA2-a2）≥0，

即PA≤■AB。

PA2=PB2+PC2+2PB·PC=PB2+PC2+2（PA2-a2），

即PA2+PB2+PC2=2AB2=2a2，為定值。

二、 以形助數(shù)

例2：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）

分析：函數(shù)的值域及不等式的解與函數(shù)的圖象存在密切的聯(lián)系，本題是一個逆向問題，雖然參數(shù)多，但如果利用函數(shù)圖象的“形”體現(xiàn)參數(shù)字母的“數(shù)”，以形助數(shù)，則可使問題得到解決。

解：由函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），可得b=■，且可畫出f（x）的圖象，如圖3，再畫出直線y=c，可知兩圖象的交點即為A（m， c），B（m+6，c）有對稱性可知-■=■，即m=■，把A（■，c）代入f（x）=（x+■）2，

得c=9。

三、 數(shù)形互助

例3：設a， b， c， x， y， z是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則■=（ ）。

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：從提供的已知條件看，是三個方程可解三個未知數(shù)，但運算顯然很麻煩。從式子的結構特征聯(lián)想到空間向量的模與數(shù)量積，可有效地把“數(shù)”往“形”轉化，再聯(lián)想到向量的夾角、共線等幾何意義，各個條件層層擊破，問題可以得到解決。

解：設A（a，b，c），B（x，y，z），如圖，則

■=■=■，

■=■=■，

■·■=ax+by+cz=20，

cos<■， ■>■=1，

所以∠AOB=0°，■與■為同向共線向量，

所以■=？姿■，？姿=■

從而有■=■=■=■，

所以■=■。選C。

數(shù)形結合，不僅是一種有效的解題方法，更是一種重要的數(shù)學思想和思維方式，它兼取了數(shù)的嚴謹性與形的直觀性兩方面的長處，是優(yōu)化解題過程的重要途徑，也能集中反映學生對知識的掌握情況，值得我們在教學中加以重視。◆（作者單位：江蘇省濱?？h獐溝中學）

□責任編輯：萬永勇