基于BP神經網絡的連接界面非線性力學模型參數辨識

王　東　徐　超　萬　強

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所　四川綿陽　621999；2.西北工業大學航天學院　陜西西安　710072)

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基于BP神經網絡的連接界面非線性力學模型參數辨識

王東1徐超2萬強1

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所四川綿陽621999；2.西北工業大學航天學院陜西西安710072)

摘要：連接界面上存在的多尺度、多物理場和非線性的物理機理是引起結構能量耗散和剛度非線性的主要原因。采用Iwan模型模擬連接結構進行連接梁的動力學仿真，利用EMD(Empirical Mode Decomposition, EMD)提取時域信號的非線性特征訓練BP神經網絡，再設計連接梁實驗辨識連接界面的非線性力學模型參數，將辨識建立模型運用在連接結構中進行數值仿真并與實驗結果對比。結果表明：利用EMD非線性特征進行BP神經網絡訓練能夠建立有效的連接界面非線性力學模型，仿真結果與實驗結果具有較好的一致性。

關鍵詞：連接界面EMD非線性神經網絡參數辨識

連接界面的非線性力學建模對復雜裝配結構的動力學分析、設計、優化和健康監測等問題至關重要。同時，由于連接界面力學行為的復雜性以及對連接界面進行直接實驗觀測的困難，連接界面的力學建模也是非常具有挑戰性的科學問題[1-2]。

傳統的連接結構動力學問題研究中，一般略去界面剛度和阻尼非線性的本質，采用線性化模型反映連接結構的動力學特性，利用實驗結果和參數擬合方法獲得模型待定參數[3]。Iwan模型更為系統和完善地描述了連接界面的微觀“黏滑”過程，且模型參數具有一定的物理意義[4-5]。SONG對Iwan模型進行了剛度修正，并進一步提出“修正Iwan梁單元”，這種單元可以應用于有限元分析中[6]。

傳統的功率譜分析、特征值、MIMO等系統辨識的線性方法，往往不能解釋一些重要的非線性問題[7]。發展非線性系統辨識方法的困難在于對復雜結構非線性特征的認識[8]。EMD(Empirical Mode Decomposition,EMD)是一種新的時域信號分析方法，能夠對非線性、非平穩的信號進行分析。EMD已經廣泛運用在機械故障檢測、金融、結構健康監測方面[9-11]。隨著人工神經網絡技術的發展，神經網絡越來越多地被應用于模式識別、人工智能、信息處理等領域，神經網絡也成為解決參數辨識問題的一種重要手段。多層BP前饋神經網絡能夠以任意精度逼近非線性映射，特有的學習能力使其能適應系統或環境的變化，并行計算的特點使其有能力實現大量復雜的運算，多輸入多輸出可方便進行多變量系統的辨識，但是非線性神經網絡擬合的結果具有不可重復性，選擇不同的網絡模型和參數將得到不同的結果[12-13]。

本文利用Iwan模型模擬連接結構，采用瞬態激勵作用提取時域信號，再基于EMD方法辨識非線性特征，并且將非線性特征作為BP神經網絡訓練輸入，設計連接梁實驗進行驗證。

1EMD信號分解方法

獲得連接結構的加速度響應數據序列x(t)。找出數據序列的所有局部極大值，然后用三次樣條函數進行擬合，得到原數據的上包絡線xmax(t)，同樣可以得到下包絡線xmin(t)，對上下包絡線上每個時刻取平均值：

m1(t)=(xmax(t)+xmin(t))/2

(1)

用原來的數據序列減去瞬時平均值，得到：

h1(t)=x(t)-m1(t)

(2)

把h1作為原序列重復上述步驟，直到h1k滿足IMF條件，就得到了分解出第一階本征模態函數IMF1。

h11=h1-m11

?

(3)

IMF1=h1k-1-m1k

EMD算法的目的是將性能不好的信號分解為一組較好的固有模態，這里IMF需要滿足如下兩個性質：(1)信號的極值點(最大值和最小值)數目和過零點數目相等或最多相差一個；(2)由局部極大值構成的上包絡線和由局部最小值構成的下包絡線的平均值為0。

從原始信號中分離出分量IMF1得到新的原序列：

r1(t)=x(t)-IMF1

(4)

按照以上的步驟，依次提取第2，3…階模態，直至n階本征模態模式函數IMFn。

整個過程的IMF分量疊加滿足

(5)

直接通過IMF的定義來判斷何時停止篩選是不夠方便的，HUANG定義了標準差(Standard Deviation, SD)來判斷何時完成篩選[14]，SD由連續兩個篩選結果計算得到：

(6)

瞬時頻率是Hilbert分析中一個重要概念。采用Hilbert轉換可以為其定義唯一的虛部值，使得該結果成為一個可解析的函數，即

(7)

式中P為Cauchy值。

通過定義x(t)和y(t)可組成一個共軛復數對，于是可以得到一個解析信號：

z(t)=x(t)+iy(t)=a(t)eiθ(t)

(8)

式中

a(t)=[x2(t)+y2(t)]1/2

θ(t)=arctan[y(t)/x(t)]

將Hilbert變換定義為x(t)和1/t的卷積，因此它強調x(t)的局部特性，根據瞬時頻率可定義為

(9)

利用固有模態函數和瞬時頻率構造原信號：

(10)

2修正Iwan模型

如圖1(a)所示的搭接連接系統模型，模型中下連接件固定，上連接件考慮為一維運動的剛體。x,q分別為結合面的相對位移、對應的非線性遲滯恢復力，連接界面的柔性采用Iwan模型描述。

如圖1(b)所示，Iwan模型采用n→∞個Jenkins單元并聯組成的子系統描述結合面多尺度黏滑摩擦行為。考慮發生宏觀滑移后，連接結構仍具有一定的剛度，所以并聯一個剛度kα=αk的線性彈簧單元描述發生宏觀滑動后的剩余剛度。子系統中每個線性彈簧的剛度都為ki=k/n，但每個滑塊的臨界滑移力qi并不相同。當系統切向受載時，臨界滑移力小的滑塊先發生滑動，隨著相對位移增大，越來越多的滑塊發生滑移，直至全部滑塊都發生滑移，即結合界面出現了宏觀滑動。因此，該模型可以較好地復現出連接界面上復雜的跨尺度黏滑摩擦過程。

圖1　搭接結構和修正Iwan模型

假設Iwan遲滯模型上滑塊臨界滑移力的分布密度函數形式為

(11)

式中fq為系統剛好發生宏觀滑動時對應的臨界宏觀滑移力。對處于初始平衡位置的Iwan模型受到單調載荷的情況，其恢復力的一般表達式為

(12)

將式(11)代入式(12)可得

(13)

上式分段函數包括兩部分，分別表示Iwan遲滯模型發生微觀滑移和宏觀滑移時的相對位移-恢復力關系。

振動載荷下，系統將會出現反復的卸載-加載運動。根據遲滯回線的對稱性[15]，如圖2所示，可以得到加載和卸載過程中的恢復力函數為

(14)

式中Fl(x)和Fu(x)分別表示加載和卸載過程中的恢復力，x0和F0表示系統一個振動周期內的最大相對位移和恢復力。

圖2　遲滯曲線Masing映射準則

Iwan遲滯模型描述的恢復力-相對位移關系主要受模型參數k,α和fq的影響。連接結構確定后，可按黏著條件給定未發生滑動時的等效連接剛度k，而α和fq需要通過參數辨識的方法獲得。當fq=0時，Iwan連接結構將退化為線性結構，恢復力可以表示為：

F(x)=αkx

(15)

3BP神經網絡

如圖3所示，神經網絡由排列成層的神經元組成，接受輸入信號的神經元層稱為輸入層，輸出信號的神經元稱輸出層，不直接與輸入/輸出發生聯系的神經元層稱為隱含層。在信息傳遞過程中，神經元接受前一層每個神經元信息的加權之和，經過傳遞函數處理輸出給下一層的每個神經元。

圖3中:xj為輸入層第j節點的輸入；M為輸入層的維數；Wij為輸入層第j節點到隱含層第i節點的權值；q為隱含層數目；θi為隱含層第i節點的閾值；φ為隱含層的激勵函數；Wki為隱含層第i節點到輸出層第k節點的權值；ak為輸出層第k個節點的閾值；ψ為輸出層的激勵函數；Ok為輸出層第k節點的輸出；L為輸出層數目。

圖3　BP神經網絡輸入輸出示意圖

隱含層第i個節點的輸入neti：

(16)

隱含層第i個節點的輸出yi：

(17)

輸出層第k個節點的輸入netk：

(18)

輸出層第k個節點的輸出Ok：

(19)

多層前饋神經網絡是目前工程應用最廣泛的一種神經網絡。應用神經網絡解決辨識問題時主要包括3個過程：①確定網絡的基本結構；②選擇訓練樣本集；③訓練。

貝葉斯方法著眼于權值(閾值)在整個權空間中的概率分布。采用最小偏差無偏估計量計算方法的過程計算貝葉斯估計進行神經網絡參數辨識。

4連接梁動力學分析

連接梁示意圖如圖4所示。將梁的連接部分簡化為二維平面梁單元，能夠承受軸向力和彎矩的作用，單元的特性是軸向拉伸和彎曲特性的組合。在小變形的情況下，這兩種變形的耦合可以忽略。

對于二節點三自由度的單元，在單元局部坐標系下，節點變量可以表示為

δe={u1v1θ1u2v2θ2}T

(20)

圖4　連接梁示意圖

4.1線性梁單元矩陣

利用有限元思想得到線性梁單元的剛度矩陣為：

(21)

質量矩陣為：

(22)

式中：E為楊氏模量；L為梁單元長度；A為梁單元的截面積；I為截面轉動慣性矩。

按照有限元剛度矩陣投遞的方法可以得到整個結構非連接部分的質量、剛度矩陣。

4.2連接內力

線性梁連接示意圖如圖5所示。除了連接的非線性部分，其余的部分都可以通過有限元質量矩陣和剛度矩陣的方法建立力和位移的關系。Iwan模型的相對位移和梁單元的局部變量滿足

Δ0=u1-u2

(23)

式中：h為連接梁單元的高度;Δ2為水平方向相對位移;Δ1為垂直方向相對位移;Δ0為獨立的水平位移。

圖5　線性梁連接示意圖

連接梁線性模型的內力f0,f1和f2為：

(24)

SONG采用修正Iwan模型簡化的連接梁單元，提出“修正Iwan梁單元”，這種單元可以方便地應用在現有的有限元程序中。分別采用法向和切向Iwan模型簡化方式，如圖6所示。

圖6　連接梁簡化方式

將連接梁單元局部作用力轉化到整體坐標系變量相對應的載荷：

(25)

4.3動力學方程

KelasticX+Fjoint(X)=Fexternal(t)

(26)

式中：X為整體坐標系變量的矩陣；Finner為連接梁單元產生的內力；Fexternal為外激勵；Mjoint為連接梁單元的質量矩陣；Melastic為線性單元質量矩陣；Cjoint為連接梁單元的阻尼矩陣；Celastic為線性單元的阻尼矩陣；Kelastic為線性單元剛度矩陣。

4.4連接梁實驗

如圖7所示，連接梁由兩塊搭接板通過螺栓緊固組成，材料為45鋼，設計無連接的整梁作為對比，整梁的尺寸和材料與連接梁一致，采用上述非線性辨識方法研究兩組實驗得到的動力響應。

圖7　實驗件構造和幾何尺寸

實驗中，分別將兩個實驗件兩端用橡皮筋懸掛，以近似兩端自由的狀態，分別在實驗件的A點和B點處安裝加速度計，用沖擊錘在A點處施加沖擊(力錘最大值725N)，在B點采集加速度信號進行非線性特征識別。

5結果與討論

5.1神經網絡辨識的收斂性

BP神經網絡由于在非線性訓練過程中最后停止時誤差(Gradient)不一樣，每次得到的訓練結果也不一樣，需要多次訓練神經網絡判別其收斂性，定義fy和α的誤差作為收斂性判斷的標準，連接結構在法向采用Iwan模型(也可選取切向為Iwan模型)。

(27)

(28)

表1所示為BP神經網絡收斂性判斷的相關數據。雖然神經網絡訓練是非線性隨機的，但是神經網絡訓練參數的誤差隨著訓練次數的增加趨近于一定值，說明用非線性特征作為神經網絡輸入、連接參數作為輸出進行訓練是收斂的。

表1　BP神經網絡訓練結果

5.2實驗結果

選取適當的連接參數建立仿真的神經網絡訓練參數：α={0.015，0.01，0.005} ，fy={10，25，40}；采用法向Iwan模型，切向線性的連接簡化方式(切向Iwan模型，法向線性的連接簡化方式無法得到與實驗結果相近的阻尼特性)。

神經網絡訓練的結果為加速度幅值{α=0.0107fy=13.4684}，IMF1幅值{α=0.0155fy=2.5377}，IMF1時頻{α=0.005fy=19.9841}，辨識的結果和實驗結果如圖8、圖9所示。仿真得到的加速度響應的包絡線和實驗結果十分吻合，經過FFT變換實驗和仿真的結果也有很好的一致性，特別是在低階模態時。

圖8　連接梁參數辨識的時域包絡線

圖9　連接梁參數辨識的頻域結果

6結論

本文基于BP神經網絡辨識方法，采用Iwan模型模擬連接結構建立等效的降階非線性動力學模型，通過連接梁的數值仿真驗證神經網絡訓練的收斂性，再結合連接梁實驗驗證該方法的有效性和精度，直接提取連接結構的時域響應信號作為時程特征量，進行神經網絡訓練。(1)采用神經網絡方法能夠有效地對連接模型進行參數辨識。(2)數值仿真結果表明，本文所采用的方法得到的模型參數能夠有效地預測連接結構的動力學響應，與實驗結果誤差較小，吻合很好。

參考文獻

[1]GAUL L，LENZ J. Nonlinear dynamics of structures assembled by bolted joints[J]. ActaMechanica，1997，125(1-4)：169-181.

[2]SEGALMAN D J，GREGORY D L，STARR M J et al. Handbook on dynamics of jointed structures[R]. SAND2009-4164，2009.

[3]蔡力鋼, 王鋒, 李玲, 等. 栓接結合部動態特性研究進展 [J]. 機械工程學報, 2013, 49(9): 158-168.

[4]SEGALMAN D J. A four-parameter Iwan model for lap-type joints[J]. ASME Journal of Applied Mechanics, 2005, 72(5): 752-760.

[5]IWAN W D. A distributed-element model for hysteresis and its steady-state dynamic response [J]. Journal of Applied Mechanics, 1966, 33: 893.

[6]SONG Y. Identification and simulation of dynamics of structures with joints and interfaces[D]. Urbana, Illinois: University of Illinois, 2004.

[7]ANDRADE M A, MESSINA A, RIVERA C A, et al. Identification of instantaneous attributes of torsional shaft signals using the Hilbert transform [J]. Power Systems, IEEE Transactions on, 2004, 19(3): 1422-1429.

[8]李秀英, 韓志剛. 非線性系統辨識方法的新進展 [J]. 自動化技術與應用, 2004, 23(10): 5-7.

[9]HUANG N E, WU M L, QU W, et al. Applications of Hilbert-Huang transform to non‐stationary financial time series analysis [J]. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 2003, 19(3): 245-268.

[10] FELDMAN M. Non-linear free vibration identification via the Hilbert transform [J]. Journal of Sound and Vibration, 1997,

[11] LEE YS, TSAKIRTZIS S, VAKAKIS AF, et al. Physics-based foundation for empirical mode decomposition [J]. AIAA journal, 2009, 47(12): 2938-63.

[12] Identification of Nonlinear Dynamic Systems Using Functional Link Artificial Neural Networks

[13] 魏東, 張明廉, 蔣志堅, 等. 基于貝葉斯方法的神經網絡非線性模型辨識[J]. 計算機工程與應用, 2005,(11): 5-11.

[14] HUANG, N E, SHEN Z, LONG S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proc. R. Soc. Lond. A 1998,454:903-995.

[15] SMALLWOOD D O, GREGORY D L, COLEMAN R G. Damping investigations of a simplified frictional shear joint[R]. Sandia National Labs., Albuquerque, NM (US); Sandia National Labs., Livermore, CA (US), 2000.

Nonlinear Mechanics Model Parameters Identification for Joint

Interface Based on BP Neural Networks

WANG Dong1，XU Chao2， WAN Qiang1

(1.InstituteofSystemsEngineering,ChinaAcademyofEngineeringPhysics,Mianyang621999,Sichuan,China；

2.SchoolofAstronautics，NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi-an710072,Shaanxi,China)

Abstract:Modeling of mechanic joint is a challenge for the complex multi-scale, multi-physics and nonlinear physics behaviors on the interface, introducing additional flexibility and damping to the overall structural dynamics. The Iwan model is applied to model and simulate the joint beam system.The nonlinearity characteristics are extracted by EMD method and applied to train the backpropagation neural networks. Then, the nonlinear mechanic model is identified by the experimental nonlinearity of jointed beam, which is applied to simulate the joint interface invested by the result of experiment.The results show that: based on the BP neural networks, the nonlinear characteristics can be applied to establish the nonlinear mechanic model of joint interface and the simulation and experimental results have a good coherence.

Key words:Joint; EMD; Nonlinearity; Neural networks; Parameter identification

中圖分類號：TP271

文獻標志碼：A

文章編號：1671-8755(2015)04-0065-06

作者簡介:王東(1988—)，男，碩士研究生，研究方向為連接界面非線性力學建模。E-mail:kingeast@sina.cn

基金項目:國家自然科學基金資助項目(11372246)；中物院科學技術重點基金(2014A0203006)。

收稿日期：2015-07-01