(r,u)-非奇異的線性齊次型

劉　松，孫廣人，姜　杭

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

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(r,u)-非奇異的線性齊次型

劉松，孫廣人，姜杭

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

摘要：本文定義了數字半群(r,u)-非奇異地承認線性齊次型的概念。特別地，在u=1時得到了關于承認線性齊次型的集合Sr,1(p)不空以及包含常半群Om的充要條件。

關鍵詞：型；數字半群；(r,u)-非奇異

一個數字半群S是非負整數N集合的非空子集，包含0，加法封閉，且余集G(S)∶=NS有限。記g=#G(S)，稱之為S的虧格。而S中最小的正整數m(S)稱為S的重數。Om={0,m,m+1,…}稱為常半群。

Arf半群是數字半群中較為著名的一種類型，它的定義為對于任意的s1≥s2≥s3∈S，s1+s2-s3∈S，換句話說，對于線性齊次多項式p(x1,x2,x3)=x1+x2-x3，以及任意的s1≥s2≥s3∈S，有p(x1,x2,x3)∈S。文獻[2]把這一描述推廣為關于數字半群線性齊次型的概念：設p(x1,…,xn)為n元整系數線性齊次多項式，S稱為承認型p的數字半群，如果對于任意的s1≥…≥sn∈S，有p(s1,…,sn)∈S。

對于型p，一個重要結論：

(1) 存在數字半群承認p；

(2) N承認p；

滿足上述三個條件的型稱為齊次容許型。

受文獻[1]考慮非齊次型的啟發，在給定齊次型p下，我們定義如下概念：

定義1給定齊次型p，對于固定的正整數1≤r≤n，數字半群S={0

(1) S承認型p；

(2) 如果s1≥…≥sn∈S，滿足s1≥nu，則有p(s1,…,sn)≥nu且屬于S。

以下以Sr,u(p)表示所有(r,u)-非奇異地承認p的數字半群，如果Sr,u(p)非空，則稱p是(r,u)-非奇異的線性齊次型。容易看出，如果u≤v，則Sr,u(p)?Sr,v(p)，因此對于齊次型p，固定的正整數1≤r≤n，Sr,1(p)是所有Sr,u(p)中最大的一個集合。本文將研究Sr,1(p)的結構。

1Sr,1(p)非空的條件

首先是Sr,1(p)何時非空的問題。此時n1即為數字半群的重數。有如下基本結論：

證明因為p是齊次容許型，故由定義存在數字半群S承認p，即對s1≥…≥sn∈S，代入p可得

∑r·(sr-sr+1)+…+∑n-1·(sn-1-sn)+

∑n·sn∈S

(1)

充分性按只要證明S滿足定義1(2)，即得S∈Sr,1(p)。由定理1(3)一切∑n′≥0，因此只需說明(1)式不為0。如果r=n，結論是顯然的。如果r0，因∑n>0，故成立。否則sn=0，如果sn-1-sn>0，結論同樣成立；否則如果sn-1=0，由假設必然r0即證。

必要性用反證法，假設存在某個j≥r，使得∑j=0，但是Sr(p)非空。取S∈Sr,1(p)，令

s1=…=sj=m(S)，sj+1=…=sn=0，

代入(1)式等于0，不符合定義1(2)，因此與S∈Sr,1(p)矛盾。

2Sr,1(p)與常半群Om

受文獻[1]考慮非齊次型時的啟發，如果Sr,1(p)非空，可以進一步考慮何時包含常半群Om的問題。

定理3給定齊次容許型p，以及1≤r≤n。令m>1，則Om∈Sr,1(p)當且僅當下面兩個條件同時成立：

(2) 如果存在j

i0=max{i∶∑j>0,i

則若i0存在時，一切滿足i≤i0的正整數∑i大于等于m。

證明必要性由定理2可知(1)成立。對(2)，如i0存在，則j0≥i0+1，而n≥j0+1，所以對于i≤i0，令s1=…=si=m(S)+1，si+1=…=si0+1=m(S)，si0+2=…=sn=0，因此由(1)式可得p(s1,…,sn)=∑i，而由i0定義∑i+1≥0，所以∑i≥m。

充分性根據定義首先要證明對于任意s1≥…≥sn∈Om，p(s1,…,sn)∈Om。顯然只需要證明p(s1,…,sn)≠0時p(s1,…,sn)≥m，此時j0存在。注意s1≥…≥sn一定有正整數，可以假設其中下標最大的一個是sk。如果∑k≠0，則或者k=n有p(s1,…,sn)≥∑n·sn≥m，或者k

p(s1,…,sn)≥∑k·(sk-sk+1)=∑k·sk≥m

即證。

故假設∑k=0，因此，必然ksx+1，且∑x≠0，由假設即得

p(s1,…,sn)≥∑x·(sx-sx+1)≥m

其次，再證明對任意的s1≥…≥sn∈Om，滿足sr>0，則有p(s1,…,sn)∈S{0}。設其中下標最大的正整數為st，則t≥r。同樣，t=n，p(s1,…,sn)≥∑n·sn≥m，或者t

p(s1,…,sn)≥∑t·(st-st+1)=∑t·st≥m

參考文獻:

[1] M. Bras-Amorós, P. A. García-Sánchez and A. Vico-Oton.Nonhomogeneous patterns on numerical semigroups[J].Internat. J. Algebra Comput.,2013,23:1469-1483.

[2] M. Bras-Amorós and P. A. García-Sánchez.Patterns on numerical semigroups[J].Linear Algebra Appl.,2006,414:652-669.

[3] J. C. Rosales and P. A. García-Sánchez.Numerical semigroups[J].volume 20 of Developments in Mathematics,Springer, New York, 2009.

(r,u)-Nonsingular Linear Homogeneous Patterns

LIU Song，SUN Guang-ren，JIANG Hang

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

Abstract:In this paper，we introduce a numerical semigroup admits a linear homogeneous pattern in the (r,u)-nonsingular sense. Especially，we get necessary and sufficient conditions on Sr,1(p) isn’t empty or contains Om.

Key words:pattern, numerical semigroup, (r,u)-nonsingular

中圖分類號：O151.2

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0001-02

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.001

通訊作者：孫廣人,男,河北唐山人, 博士, 安慶師范學院數學與計算科學學院副教授，研究方向為代數與編碼。

作者簡介：劉松，男，安徽廬江，安慶師范學院數學與計算科學學院研究生，研究方向為編碼與密碼。

收稿日期：2014-03-09