一種特殊類型行列式的計算及推廣

汪 志 華

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

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一種特殊類型行列式的計算及推廣

汪 志 華

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

摘要：本文通過對教材中一特殊行列式的計算進行分析，由淺入深，對其多種情形進行推廣，從而總結歸納了這一類型行列式計算的一系列公式，并給出這些公式在行列式計算中相應的應用。

關鍵詞：行列式；加邊法；行列式計算

行列式是《高等代數》中重要的內容之一，關于行列式的教學已有很多的文獻進行過探討[1-3]。行列式的計算由于技巧強、方法多，學生在解題時往往無從下手，難以把握，因而，教師在教學中可以通過對例題及一些常見的習題進行推廣，幫助學生理清思路，并總結歸納。在我校編的教材《高等代數》[4]中(第36頁)有這樣的一道關于行列式計算的習題：

本文首先對這道習題求解，并對其深入挖掘，加以推廣，得到這一類型行列式的各種變形及相應的計算公式，從而為解決這一類型行列式的計算提供參考。

1習題求解及推廣

對引言中的行列式有

通過分析發現，上述行列式具有一定的規律可循：對角線元素全相等，而其余元素全相等。據此，我們對該行列式加以推廣，得到一般情形，以方便學生應用及計算。

推廣1n階行列式

[x+(n-1)a](x-a)n-1。

(1)

所以Dn=[x+(n-1)a](x-a)n-1。

若n=4,x=0,a=1即是引言中的習題，代入公式(1)可得[x+(n-1)a](x-a)n-1=-3。

公式(1)中行列式的對角線元素全相等，若對角線元素不全相等，我們有如下推廣。

推廣2n階行列式

(2)

若xi≠a,i=1，…，n，通過加邊有

在公式(1)中，除了對角線以外的元素都相等。若對角線以上的元素都相等，且對角線以下元素也都相等，則有：

推廣3n階行列式

(3)

若a=b，則該問題即是推廣1的情形，

Dn=[x+(n-1)a](x-a)n-1

若a≠b，則

(x-a)Dn-1+C，

a(x-b)n-1，所以

Dn=(x-a)Dn-1+a(x-b)n-1。

同樣的方法有

(x-b)Dn-1+b(x-a)n-1

聯立這兩個等式有

在推廣3中，主對角線元素全相等，若對角線元素不全相等，則有如下推廣。

推廣4n階行列式

(4)

當a=b時，即為推廣2，公式(4)成立。

當a≠b時，仿照推廣3的計算方法有

其中

可用同樣的方法計算

從以上的分析討論中，我們可以發現，公式(1)到公式(4)中的行列式都是屬于同一類型的行列式，可以把矩陣的元素分為三個部分：對角線元素、對角線以上部分元素及對角線以下部分元素。若對角線元素全相等，且其它元素也相等，可以用公式(1)求解；若對角線元素不全相等，但其它元素全相等，可以利用公式(2)求解；若對角線元素全相等，對角線以上部分元素全相等(設為a)、對角線以下部分元素全相等(設為b)，但a≠b，則可以利用公式(3)求解；對角線元素不全相等，對角線以上部分元素全相等(設為a)、對角線以下部分元素全相等(設為b)，但a≠b，則可以利用公式(4)求解。

2公式的應用

我們舉幾個例子來說明上述推廣的應用。

解由公式(1)有

Dn=[a+(n-1)](a-1)n-1。

例2[6]計算

其中a1，a2，…，an≠0。

解由公式(2)有

解由公式(4)有

3結束語

行列式的計算涉及大量的技巧，是學生學習《高等代數》的難點內容之一。本文通過對教材中的一道習題深入挖掘，由淺入深，不斷地加以提煉，推廣總結，得到更為一般性的結果。通過對習題的計算、推廣，不僅使學生得到一些計算公式，更能夠啟發學生的思維，引導學生自主進行探索，進而掌握學習及科研方法。

參考文獻:

[1] 舒阿秀. 關于線性代數中行列式教學的思考[J].安慶師范學院學報(自然科學版)，2006，12(3)：46-47.

[2] 李可峰. 線性代數中行列式教學的思考[J].中國校外教育，2011(8)：63-63.

[3] 張引兵,葉永升,王慧. 線性代數中的行列式教學探討[J].淮北師范大學學報(自然科學版)，2013,34(1)：76-79.

[4] 胡萬寶，汪志華，陳素根，舒阿秀. 高等代數[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

[5] 同濟大學數學系. 線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[6] 錢吉林. 高等代數題解精粹[M].北京：中央民族大學出版社，2002.

Computation of One Kind of Special Determinant and Its Extension

WANG Zhi-hua

(School of Mathematics & Computational Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

Abstract:By computing and analyzing one kind of special determinant, it is extended to other varieties from simple to complex in this paper. Some computational formulas for this kind of determinant are obtained by summarizing the calculations of these determinants. This paper also provides some applications to these computational formulas.

Key words:determinant, plus side method, determinant computation

中圖分類號：O172.2

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0103-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.029

作者簡介：汪志華，男，安徽樅陽人，博士研究生，安慶師范學院數學與計算科學學院講師，研究方向為計算機輔助幾何設計。

基金項目：安徽省高校省級教研項目(No. 2012 jyxm364)。

收稿日期：2014-06-05