連續的分布函數與連續型隨機變量的關系

桂 春 燕

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

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連續的分布函數與連續型隨機變量的關系

桂 春 燕

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

摘要：通過實例探討了由分布函數的連續性不一定可以得到對應的隨機變量是連續型的，這有利于學生更深入的掌握連續型隨機變量的分布函數的特性，從而更好的應用于實際。

關鍵詞：連續型隨機變量；分布函數；連續函數

概率論中隨機變量的分布函數是一個非常重要的知識點，我們已經熟知離散型隨機變量X的分布函數F(x)一定是非連續函數， 且F(x)應滿足

(1)

其中{xn}為離散型隨機變量X的至多可列個取值；反之若分布函數F(x)滿足(1)，且{xn}的取值至多可列個，則對應的隨機變量是離散型的。本文就學生在學習連續型隨機變量分布函數的過程中經常產生的一種錯誤觀點“分布函數連續的隨機變量是連續型隨機變量”，通過列舉反例來進行解釋說明，以便于學生更好的理解隨機變量的分布函數。首先我們來看一些預備知識。

定義1[1]設X是一個隨機變量，x∈R，則稱F(x)=P(X≤x)為隨機變量X的分布函數。

由定義1，分布函數F(x)顯然滿足：

(1)F(x)單調不減，即若x1,x2∈R且x1

(2)0≤F(x)≤1且F(-∞)=0,F(+∞)=1；

定義2[1]如果對于隨機變量X的分布函數F(x)，存在非負可積函數f(x)，對任意x∈R有

則稱X為連續型隨機變量，f(x)稱為隨機變量X的概率密度函數。

1連續的分布函數與連續型隨機變量的關系

定理連續型隨機變量的分布函數是連續函數。

證明由定義2易知連續型隨機變量的分布函數是積分上限函數，從而是連續函數。

例1連續型隨機變量X的概率密度函數為

由定義2易求得其分布函數為

顯然F(x)是一個連續函數。

那么，上述定理的逆命題 “如果一個隨機變量的分布函數是連續函數，它一定是連續型隨機變量的分布函數”成立嗎？答案是否定的，請看下面分布函數：

故C是閉集，它的Lebesgue測度為

μ(C)=μ([0,1])-μ(B)=1-1=0

在開集B上定義

顯然0

易知F(x)是一個連續的分布函數，由存在定理知一定存在一個隨機變量X，使得它的分布函數是F(x)。由定義2，

(2)

但f(x)是隨機變量X的概率密度函數，應滿足

(3)

顯然(2)和(3)產生矛盾！所以隨機變量X不是連續型隨機變量。說明定理的逆命題不成立。

2幾點評注

(1)以上結果說明，分布函數的連續性只是隨機變量是連續型的必要條件而非充分條件，所以我們不能簡單的由隨機變量的分布函數是一個連續函數去判斷這個隨機變量是連續型的；

(2)對于如何利用分布函數來判定隨機變量是否為連續型的，首先，驗證分布函數是否為連續的，如果不連續，則肯定不是連續型隨機變量；其次，如果分布函數是連續的，則進一步通過分布函數求出相應的密度函數，然后驗證該密度函數是否滿足非負性與規范性[2-3]。

參考文獻:

[1] 盛驟.概率論與數理統計(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[2]何曉霞，聞江業，尹凱凱，郭發陽. 連續型隨機變量函數分布的求法及其應用[J]. 高師理科學刊，2014，34(3)：48-50.

[3] 葉仁玉. 關于連續型隨機變量函數分布的探討[J].安慶師范學院學報(自然科學版)，2010，16(4)：79-81.

Ralation Between Continuous Distribution Function and Continuous Random Variable

GUI Chun-yan

(School of mathematics and computational science，Anqing Teachers College, Anqing 246133,China)

Abstract:In this paper, an example shows that there exists a continuous distribution function which the corresponding random variable is not continuous. This knowledge can help student master the characteristics of distribution function which the random variable is continuous and apply to the actual better.

Key words:continuous random variable，distribution function， continuous function

中圖分類號：O211.62

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0101-02

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.028

作者簡介：桂春燕，女，安徽桐城人，碩士，安慶師范學院數學與計算科學學院講師，研究方向為概率統計。

基金項目：安慶師范學院校級青年科研項目(KJ201106)。

收稿日期：2014-07-14