D族END隨機變量隨機和的精致大偏差

何基嬌，胡怡玉，周之寒

(安徽大學 數學科學學院，安徽 合肥 230601)

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D族END隨機變量隨機和的精致大偏差

何基嬌，胡怡玉，周之寒

(安徽大學 數學科學學院，安徽 合肥 230601)

摘要：重尾理賠下風險模型的精致大偏差研究是現代保險精算學中的一個重要課題。假定理賠序列為一列D族重尾END同分布隨機變量序列，理賠到來過程為一與理賠序列獨立的計數過程。在一定條件下，得到該風險模型在一般情形下的精致大偏差，推廣了相關文獻已報道的結果。

關鍵詞：精致大偏差；END；隨機和；控制變換尾

保險業是經營風險產品的特殊金融服務行業。由[1]知，對于某個給定的保險公司，“占總理賠次數20%的那些大額理賠的數額約占公司歷史理賠的80%”。為了更好地進行風險管理，一個核心問題就是風險度量。重尾隨機變量，即它的指數階矩不存在，可用于刻畫大的理賠。基于重尾隨機變量隨機和的精致大偏差可用于估計公司的破產概率這一特性，近年來該問題受到廣泛關注，出現了大量的研究成果。早期的結果可見[2-4]等，近期的研究成果可見[5-9]等。值得注意的是，文[6]得到了C族END隨機變量確定和的精致大偏差，隨后文[7]和文[9]分別將上述精致大偏差結果推廣到隨機和情形。本文旨在研究D族END隨機變量隨機和的精致大偏差。其中，C族的定義可參閱[1], D族和END隨機變量的定義見第二節定義1和定義2，并且由[1]知D族是嚴格包含C族的。

假定F∈D，在一定條件下，本文得到SNt,c的精致大偏差，推廣了文[9]和文[10]中的結論。

1定義和引理

本文需要對計數過程{N(t),t≥0}做如下兩個假設：

假設1對任意的δ>0，存在

假設2對所有的0<δ<1

另外，本文采用如下記號：對兩個正無窮小函數f(·)和g(·)，滿足

若b<∞，記f(·)=O(g(·))；若b=0，記f(·)=o(g(·))；若b=1，記f(·)g(·)；若a=1，記f(·)?g(·)；若兩個條件都成立，記f(·)g(·)；若0

定義1[1]稱支撐在[0,∞)上的分布F屬于控制變換尾分布族，記作F∈D，如果對任意的0

(1)

定義2[6]稱{Xk,k=1,2,…}為END隨機變量，如果存在常數M>0，使得對任意的n=1,2,…和x1,…,xn有

(2)

(3)

引理1[9]設{Xk,k=1,2,…}為END隨機變量，共同分布為F∈D，期望μ<∞。{N(t),t≥0}滿足假設1，c是任一給定的實數且c+μ≥0，則對任意δ>0和γ>c，當t→∞，x≥γλ(t)時有

引理2[10]設{Xk,k=1,2,…}為END隨機變量，共同分布為F∈D，期望μ<∞。滿足?r>1，使得

E|X1|r1{X1≤0}<∞且

(4)

則對任意給定的γ>0，有下面不等式成立，

(5)

2主要結果及證明

定理設{Xk,k=1,2,…}為END隨機變量，共同分布為F∈D，期望μ<∞，且滿足(4)式。再設{N(t),t≥0}是一與{Xk,k=1,2,…}相互獨立的非負整數值計數過程，則對于任意給定的γ>c，關系式

(6)

在下列兩個條件下均成立：(1)當c+μ≥0時，{N(t),t≥0}滿足假設1；(2)當c+μ<0時，{N(t),t≥0}滿足假設2。

注在定理1中，如果令F∈C，注意到此時ρF=MF,μ≡1，LF≡1，則該定理可退化為[9]中的結果。

證明下面的證明過程中所有極限過程均指t→∞，且對x≥γλ(t)一致。證明過程可以分為(1)c+μ≥0與(2)c+μ<0兩種情形分別加以討論。由于

x+μλ(t)-(c+μ)n)P(N(t)=n)=

I1(x,t)+I2(x,t)+I3(x,t)

(7)

(1)當c+μ≥0時。

(c+μ)(1-δ)λ(t))nP(N(t)=n)≤

δμλ(t))P(N(t)<(1-δ)λ(t))=

(8)

(x-cλ(t)))

(9)

以及

I2(x,t)(1-δ)λ(t)(1-ε)2·

(10)

最后由引理1知，

(11)

將(8)-(11)式帶入到(7)中，并令ε↓0,δ↓0，由LF的定義可得

(12)

以及

(13)

(12)和(13)式表明定理1(1)成立。

(2)當c+μ<0時。分①γ+μ≥0和②γ+μ<0兩種情況來討論。

x+μλ(t)-(c+μ)n≥-(c+μ)n

(i)若μ≥0，c<0時有

(ii)若μ<0，c≥0時有

(iii)若μ<0，c≤0時有

故總有

于是由引理2得

(14)

(x-cλ(t)))

(15)

以及

I2(x,t)(1-δ)λ(t)(1-ε)2·

(16)

(17)

將(14)-(17)式代入(7)，并令ε↓0,δ↓0，由LF的定義同理得(12)和(13)成立。

[γλ(t),∞]=[γ1λ(t),∞)∪[γλ(t),γ1λ(t)]

對于第一部分x≥γ1λ(t)，有x+μλ(t)-(c+μ)n≥-(c+μ)n，同上①的證明可得(14)式成立。

對于第二部分γλ(t)≤x<γ1λ(t)，由γ1-c>0和F∈D得

再由假設2，對所有的γλ(t)≤x<γ1λ(t)就有

I1(x,t)≤P(N(t)≤(1-δ)λ(t))=

因此對所有的t→∞,x≥γλ(t)就有

I1(x,t)o(λ(t)

(18)

綜上，定理成立。

參考文獻:

[1] Embrechts P , Klüppelberg C, Mikosch T. Modeling extremal events for insurance and finance[M]. Spinger, Berlin, Heidelberg, 1997：1-20.

[2] Nagaev A V. Integral limit theorems with regard to large deviations when Cramér’s condition is not satisfied[J]. Theory Probability and its Applications, 1969( 14)：51-64.

[3] Heyde C C. On large deviation problems for sums of random variables which are not attracted to the normal law[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1967(38)：1575-1578.

[4] Klüppelberg C , Mikosch T. Large deviations of heavy-tailed random sums with applications in insurance and finance[J]. Journal of Applied Probability, 1997, 34(2)：293-308.

[5] Tang Qihe, Su Chun, Jiang Tao, et al. Large deviations for heavy-tailed random sums in compound renewal model[J]. Statistics & Probability Letters, 2001, 52(1)：91-100.

[6] Liu Li. Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails[J]. Statistics & Probability Letters, 2009, 79(9)：1290-1298.

[7] Chen Yiqing, Yuen Kam chuen , Ng Kai Wang. Precise large deviations of random sums in the presence of negatively dependence and consistent variation[J]. Methodology And Computing In Applied Probability, 2011, 13(4)：821-833.

[8] Chen Yiqing, Yuen Kam chuen. Precise large deviations of aggregate claims in a size-dependent renewal risk model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2012, 51(2)：457-461.

[9] Wang Shijie, Wang Xuejun. Precise large deviations for random sums of END real-valued random variables with consistent variation[J]. Mathematical Analysis and Applications, 2013, 402(2)：660-667.

[10] Wang Shijie, Wang Xuejun, Wang Wensheng. Precise large deviations of aggregate claims with dominated variation in dependent multi-risk models[J]. Abstract and Applied Analysis, 2014, doi：10.1155/2014/972029.

[11] Tang Qihe, Tsitsiashvili G. Precise estimates for the ruin probability in finite horizon in a discrete-time model with heavy-tailed insurance and financial risks[J]. Stochastic Processes and their Applications, 2003, 108(2)： 299-325.

Precise Large Deviations of Random Sums

in the Presence of END Structure and Dominated Variation

HE Ji-jiao1，HU Yi-yu2，ZHOU Zhi-han3

(School of Mathematic Science, Anhui University, Hefei 230601,China)

Abstract:The risk model of precise large deviations for sums of heavy-tailed random variables is an important topic in insurance and finance. In this paper, let the claims be a sequence of real-valued identically distributed random variables with common distribution function. The claim number is a nonnegative inter-valued counting process independent of the claims. Under some conditions, we obtained precise large deviations of the risk model under the general case and promoted a number of classical results.

Key words:precise large deviation, extended negatively dependent, sums of random variables, dominated variation

中圖分類號：O211.4

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0016-04

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.005

作者簡介：何基嬌，女，安徽合肥人，安徽大學數學科學學院碩士研究生，研究方向為保險精算。

基金項目：安徽大學科研訓練計劃資助項目(資助號：KYXL2014008)。

收稿日期：2014-07-23