化簡二次型方法的探討

許 　 娟

(安慶師范學院 數學與計算科學學院, 安徽 安慶 246133)

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化簡二次型方法的探討

許 娟

(安慶師范學院 數學與計算科學學院, 安徽 安慶 246133)

摘要：二次型是高等代數中非常重要的內容?；涡蜑闃藴市问嵌涡徒虒W中的重點與難點，除了線性替換法、矩陣法兩個常用方法外，這里我們將給出從解析幾何的角度出發的一種新方法，該方法簡單、直觀。

關鍵詞：二次型；標準形；二次曲面；主徑面

在高等代數的教學中，從行列式到矩陣做了很多的知識準備工作，用來處理后續的線性方程組解的結構、二次型化標準形、線性變換和若當標準形等問題。其中二次型的理論在微積分、力學、信號理論、計算機圖形等學科中有很廣泛的應用。如何化二次型為標準形非常重要，它有很強的直觀解釋，在3維空間里的幾何解釋實際上就是通過坐標系的旋轉、平移，將原本含有交叉項的三元二次多項式化成只有平方項的多項式，如：

2xy-6yz+2xz?2u2-2v2+6w2

2xy-6yz+2xz=0?2u2-2v2+6w2=0

χχ

(不清楚什么幾何圖形)(二次錐面，如圖1)

因此，將二次型化成標準形有助于我們對多元二次方程的幾何圖形的直觀想象(什么樣的曲線？什么樣的曲面？)。今天，我們倒過來，從幾何角度出發，給出一種新的求二次型標準形的方法。

1二次型標準形的求法

定義1[1]設P是一個數域，一個系數在數域P中的二次齊次多項式：

(1)

稱為數域P上的一個n元二次型，二次型的矩陣為：

(2)

定義2設P是一個數域，一個系數在數域P中的二次方程：

2a1x1+2a2x2+…+2anxn+a=0

(3)

稱為二次曲面的方程。特別的，

(4)

稱為數域P上的二次型的方程。

一般的，在高等代數這門基礎課的教學中，我們化簡二次型為標準形的方法只給出了兩種：線性替換法、矩陣法。由于在解析幾何這門基礎課中我們也沒有講授到一般二次曲面的研究與二次型的聯系，所以忽視了一種新的方法。下面我們就這三種方法做個介紹，給出例題，比較各自優勢，以后在處理這類問題的時候，可以選擇計算量偏小的方法。

定理1[1]數域P上的二次型都可以經過非退化的線性替換變成平方和的形式。

線性替換法如下：

1)若ai i(i=1,2,…,n)中至少有一個不為零，不失一般性，設a11≠0，令

2)若所有ai i=0(i=1,2,…,n)，但至少有一a1j≠0(j>1)，不失一般性，設a12≠0，令

這也是一個非退化線性替換，使(1)變成：

繼續1)的步棸，直到全變成平方項。

定理2[1]在數域P上，任意一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣。

矩陣法如下，

1)若ai i(i=1,2,…,n)中至少有一個不為零，例如a11≠0，令

遞推下去，直到全部變成平方項；

2)若a11=0，但有一個ai i≠0，作

P(1,i)AP(1,i)，歸結到情形1)；

3)若所有ai i=0(i=1,2,…,n)，但至少有一a1j≠0(j>1)，不失一般性設a12≠0，作

P(2,j)′AP(2,j)，然后取

于是又歸結到情形1)。

例1化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2-6x2x3+2x1x3成標準形。

解(線性替換法)作非退化線性替換：

注實際上方程2x1x2-6x2x3+2x1x3=0的幾何圖形就是一錐面。

下面將給出利用坐標變換的方法去化二次型為標準形，首先給出預備知識。三維空間一般坐標變換公式可由新坐標系的三個坐標面來確定(能夠推廣到n維)，設有兩兩垂直的平面(如下)分別為新坐標系的三個坐標面：

π1∶A1x+B1y+C1z+D1=0(y′O′z′面)

π2∶A2x+B2y+C2z+D2=0(z′O′x′面)

π3∶A3x+B3y+C3z+D3=0(x′O′y′面)

根據點的坐標與點到面的距離的關系，有如下坐標變換公式[2]：

為使右手系變成右手系，正負號的選擇保證系數行列式的值為正即可。

定義3[2]二次曲面的一族平行弦的中點軌跡叫做共軛于這族平行弦的徑面，垂直于共軛弦的徑面叫做二次曲面的主徑面。

性質1[2]主徑面就是二次曲面的對稱面。

基于這些知識，二次型的方程實際上是二次曲面方程中一次項及常數項全為零的特例，實際上如果找到二次曲面的三個主徑面，以此為新坐標系，那么在這個坐標系下二次曲面的方程將特別的簡單。有學者將一般二次曲面的方程歸結為5種形式，曲面形狀也只有17種[2]。因此只要將方程化成標準形，圖形形狀也就一目了然。下面通過例題給出具體操作過程。

例2化二次型f(x1,x2,x3)=x2+y2+5z2-6xy-2xz+2yz為標準形。

解先考察二次型的方程：x2+y2+5z2-6xy-2xz+2yz=0，因為I1=7,I2=0,I3=-36,所以它的特征根為λ1=6,λ2=3,λ3=-2，則分別有：

1)與λ1=6對應的主徑面為-x+y+2z=0；

2)與λ2=3對應的主徑面為x-y+z-9=0；

3)與λ3=-2對應的主徑面為x+y=0。

取這三個主徑面作為新坐標系的三個坐標面，則坐標變換為

得到二次曲面的簡化方程：6x′2+3y′2-2z′2=0，即有原二次型的標準形為

6x′2+3y′2-2z′2

2二次型的應用

二次型的應用[4-7]很廣泛，在不等式的證明、求極值、因式分解等方面均有應用。這里我們通過幾個例題并利用前面介紹的三種化二次型為標準形的方法，展示二次型在這些方面的應用。

定理3[3]實二次型可以分解成兩個實系數的一次齊次多項式乘積的充要條件是它的秩為2和符號差為0，或者秩等于1。

例3證明Cauchy不等式：

g=(y1+2y2)(y1-2y2)=

(x1+x2+2x3)(x1-3x3)

且f=g(x1,x2,x3)=(x1+x2+2)(x1-3x3)。

3結束語

通過幾年基礎課的教學，在講授二次型和二次曲面這兩章知識的同時，找到二者之間的一定聯系，給出了一種通過主徑面的知識求二次型標準形的方法，并且二次型還有很廣泛的應用，它在不等式的證明、求最值、分解因式、求積分等方面均用利用價值。同時，希望學者可以結合幾何直觀去講授代數知識，既增加了學生的空間想象能力，又促進了代數知識的學習，相得益彰。

參考文獻:

[1] 北京大學數學系前代數小組.高等代數(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2013.

[2] 呂林根,許子道.解析幾何(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2006.

[3] 丘維聲.高等代數[M]. 北京：科學出版社, 2013.

[4] 王萼芳,石生明.高等代數輔導與習題解答[M]. 北京：高等教育出版社, 2007.

[5] Steve Roman. Advanced linear algebra[M]. 北京：世界圖書出版公司, 2008.

[6] 沈灝,沈佳辰，譯.線性代數及其應用[M]. 北京：人民郵電出版社,2010.

[7] 俞正光,魯自群,林潤亮.線性代數與幾何[M]. 北京：清華大學出版社,2008.

Discussion on the Simplification Method of Quadric Form

XU Juan

(Department of Mathematics，Anqing Teachers College，Anqing 246133，China)

Abstract:Quadratic form is an very important content in advanced algebra. How to simplify quadratic form to standard form is important and difficult in teaching. In addition to the linear replacement method and the matrix method, we will present a new approach the analytic geometry angle. The method is simple and intuitive.

Key words:quadratic form, standard form, quadratic surface, principal radial plane

中圖分類號：O231.9

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0109-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.031

作者簡介：許娟，女，安徽和縣人，碩士，安慶師范學院數學與計算科學學院講師，研究方向為數字圖像處理。

收稿日期：2014-06-28