一些簡諧振動系統中機械能守恒的探討

朱光來，許新勝

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖 241000)

?

一些簡諧振動系統中機械能守恒的探討

朱光來，許新勝

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖 241000)

摘要：對于一些作簡諧振動的系統，利用機械能守恒定律往往比用牛頓定律解決問題更簡捷。本文利用機械能守恒討論總結了幾組典型諧振系統的動力學方程，并給出了相應的周期。

關鍵詞：機械能守恒；簡諧振動；動力學方程；振動周期

凡受線性回復力或力矩作用的物體，圍繞自身平衡位置的運動稱為簡諧振動[1]。機械能守恒是力學中一條基本規律：若系統的所有外力和非保守內力均不做功，則系統內各質點間動能和勢能可以相互轉換，但其總和不變，即機械能守恒。如果一個簡諧振動系統滿足機械能守恒條件，根據分析力學的原理和方法，我們就可利用這一能量特征得到其動力學方程。文獻[2]已經將該方法應用于常見的彈簧振子和單擺模型。實際上，除彈簧振子和單擺之外，任何作簡諧振動的復雜系統，如果只有保守力做功，則整個系統的機械能守恒，這為我們提供了另一種有別于利用牛頓定律和轉動定理求解系統動力學方程的思路。為了使學生進一步熟悉該方法，能夠將其靈活應用到一些復雜體系，我們先以復擺為例對該方法作概述，然后應用該方法求得一些復雜諧振系統的動力學方程以展示該方法的簡捷性。

1復擺

復擺是在重力作用下繞一固定水平軸作小幅擺動的剛體[3]。復擺的轉軸與過剛體質心并垂直于轉軸的平面的交點稱為支點。復擺作為一個典型的測量重力加速度的裝置，雖然在很多大學物理實驗教材中是一個典型案例，但在理論教學中很多教材或老師通常不會講解透徹。要么把它類比于一個單擺直接給出相關結果，缺少必要的解析；要么利用牛頓定律并結合轉動定理，經過受力分析給出一系列方程，這種解法有點繁瑣且易出錯，不容易被學生接受。所以有必要進一步分析讓學生領會小角度復擺為什么做簡諧振動。

解析設質量為m的剛體繞轉軸的轉動慣量為I，其支點為O，C為質心，支點至質心的距離為h，如圖1所示。

不計摩擦的情況下，復擺在擺動過程中只受重力和轉軸的反作用力。反作用力的作用點在支點上，因此對轉軸的力矩為零，重力矩起著回復力矩的作用而做功，而重力為保守力，所以機械能(實質上屬于復擺與地球這一系統)守恒。復擺在作微幅振動過程中的總能量為其轉動動能與重力勢能之和，取O點為勢能零點，設g為重力加速度，任一時刻剛體的角速度與角位移分別為Ω和θ，則有

(1)

2彈簧、滑輪與物體組成的諧振系統

上面我們用機械能守恒推導出了復擺作簡諧振動的動力學方程，但相對牛頓定律解題所顯示的優越性還不明顯。我們還經常碰到由彈簧、滑輪與物體組成的一類復雜諧振系統，這時候如果從能量的角度入手，解題過程則會簡捷得多。如圖2所示，已知彈簧的勁度系數為k，物體的質量為m，滑輪的半徑為R，轉動慣量為I。開始時托住物體m，使得系統保持靜止，繩子剛好拉直而彈簧無形變，t=0時放開m。設繩子與滑輪間無相對滑動。

(1) 證明放開后m作簡諧振動；

(2) 求振動周期。

方法一利用牛頓定律和轉動定理解題[4]

取未用手托，系統靜止時m的位置為平衡位置，令此點為坐標原點，此時彈簧伸長x0，各物體的受力分析如圖2所示，設物體的加速度為a，

滑輪的角加速度為β，則有mg=kx0。當物體豎直向下位移為x時，根據牛頓定律和轉動定理有：mg-T1=ma，T1R-T2R=Iβ，T2=k(x0+x) ，a=Rβ。以上式子聯解可得

由此可知物體作簡諧振動。在以上解法中，由于學生對角量的方向性把握不是很好，很容易將表達式T1R-T2R=Iβ混淆為T2R-T1R=Iβ，導致結果中相差一個符號的疑惑。如果我們利用機械能守恒解題，則可避免類似錯誤。

方法二利用簡諧振動系統的機械能守恒特性解題

我們把滑輪、物體和彈簧看作一個系統，則物體m和滑輪在運動過程中只有重力和彈性力做功，二者都是保守力，所以系統的機械能守恒，以物體處于平衡位置時所在位置的質心O點為勢能零點，則有

(2)

上述結果與方法一的結果一致，在此方法中，只需選取勢能零點，然后由式(2)演變推導而得到動力學方程，避免了方法一中受力分析時符號選取不當而出現的問題。

3物體在貫通地球的直隧道內的運動

利用機械能守恒求諧振系統的動力學方程及振動周期，這一方法不僅可以用于彈簧振子、單擺、復擺及其組成的復雜體系等常見的模型中，還可以用于其它系統，例如文獻[5]中探討了穿越貫通南北極隧道的物體與簡諧振動的幾個問題，現在我們從機械能守恒的角度討論如下：

如圖3所示，假若在地球表面的A，B之間挖開一條直通隧道，一小球只受到地球的引力作用，自A處從靜止開始沿隧道向B處運動，不計小球在運動過程中受到的摩擦力，求證小球在隧道內的運動為簡諧運動。設地球質量分布均勻，并且忽略地球自轉的影響[5]。

由題意，設地心到隧道的最短距離為d，取隧道中點為坐標原點O，當小球的位置矢量為x時，則小球距中心的距離r2=x2+d2，則其引力勢能可表達為

小球從靜止開始在隧道內運動，只受到萬有引力這一保守力的作用，所以機械能守恒，即

(3)

4結束語

機械能守恒是力學體系中物體作簡諧振動的必要條件，利用這一事實，我們可方便地導出其動力學方程，并依此判斷物體運動是否作簡諧振動，給出相應的振動周期。這種方法比用牛頓定律直接推導顯得簡捷一些，尤其在一些復雜振動系統中優勢更明顯，因此在教學中有必要強調利用機械能守恒這一特征。如果一個系統在振動過程中，除了動能與保守力做功轉換外，還有電勢能等其它形式的能參與振動，例如電磁場中帶電粒子的運動，則可以考慮將上述方法推廣用能量守恒來解決。

參考文獻:

[1]漆安慎, 杜嬋英. 力學基礎[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984: 389-392.

[2]查新未. 物理學導論[M].西安: 西安交通大學出版社, 2007: 142-144.

[3]倪致祥, 朱永忠, 袁廣宇, 黃時中. 大學物理學(上冊)[M]. 合肥: 中國科學技術大學出版社, 2005: 100-101.

[4]張淳民, 查新未, 劉鳳英, 孟杰. 普通物理、大學物理經典名題名師解析[M]. 北京: 科學出版社, 2006: 85-86.

[5]陳余華, 趙高志. 淺析物體在地球內部的引力勢能問題[J]. 物理教師, 2005, 26 (11): 61-62.

Discussions on the Conservation of Mechanical Energy of Simple Harmonic Motion

ZHU Guang-Lai, XU Xin-Sheng

(College of Physics and Electron Information, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:For some simple harmonic motion systems, it is simpler to solve problems by conservation of mechanical energy than Newton's laws of motion. Based on conservation of mechanical energy, equation of motion and their vibration periods of several special simple harmonic motion systems were discussed.

Key words:conservation of mechanical energy, simple harmonic motion, equation of motion, vibration period

中圖分類號：O321

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0112-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.032

作者簡介：朱光來，男，安徽舒城人，博士，安徽師范大學物理與電子信息學院副教授，主要從事物理教學和分子物理研究。

基金項目：安徽省自然科學基金(1308085MB20)和安徽省教育廳自然科學基金(KJ2010A145)。

收稿日期：2014-11-15