正交各向異性矩形板的自由振動特性分析

曾軍才， 王久法， 姚　望， 于　濤

(1.中國船舶重工集團公司第七一○研究所，湖北 宜昌　443003; 2.上海帝西恩精密工具有限公司，上海　200137)

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正交各向異性矩形板的自由振動特性分析

曾軍才1， 王久法1， 姚望2， 于濤2

(1.中國船舶重工集團公司第七一○研究所，湖北 宜昌443003; 2.上海帝西恩精密工具有限公司，上海200137)

正交各向異性矩形板越來越廣泛應用于航空、航天、船舶和車輛等各種現代工程中，由于其在各個方向上具有不同力學性質，原有的各向同性板理論已不適用，因此對其振動特性的研究具有重要的工程應用價值和理論價值。近年來，許多學者進行了大量研究，取得了一系列成果。正交各向異性板的求解方法主要為數值方法，如Reyleigh-Ritz法[1]，微分求積法[2]和有限元法[3]等方法；也有一些學者使用解析解進行求解，如Gorman[4]用疊加法，Kshirsagar等[5]使用無截斷無窮級數的疊加原理，Hurlebaus等[6]基于Galerkin原理，張承宗等[7]用復級數展開法，Huang等[8]使用Green函數法，黃炎等[9]和Xing等[10]采用分離變量法，Bercin等[11]用Kantorovich法，Sakata等[12]和Rahbar Ranji等[13]使用延拓Kantorovich法分析了正交各向異性板的自由振動特性。不過這些解析法研究的矩形板的邊界條件都是經典的邊界條件，而對于更符合工程實際的彈性邊界條件卻很少涉及。

近年來，Li等[14-15]提出了一種改進的Fourier級數方法進行了板梁結構的自由振動分析，通過將板梁結構的位移函數表示為傅里葉余弦級數和輔助多項式或者輔助級數的線性組合，使得彈性約束邊界條件能夠得到精確滿足。

本文采用改進Fourier級數的方法，將正交各向異性矩形薄板的位移函數表示為標準的二維Fourier余弦級數和輔助Fourier級數之和的形式。結合Kirchhoff理論，建立了矩形板在任意邊界條件下的自由振動模型，推導出與控制方程等價的矩陣表達式，板結構的振動模態可以通過求解矩陣特征值而得到。最后通過數值仿真，驗證了本文方法的準確性和快速收斂性。

1控制微分方程求解

本文所研究的正交各向異性矩形板的模型如圖1所示，板結構的四個邊界處分別均勻地布置橫向位移彈簧和旋轉約束彈簧，通過改變剛度值，實現對任意彈性邊界條件的模擬。所有的經典邊界條件都能夠通過將彈簧系數設置為無窮大或零來簡單地獲得。例如將四邊的橫向位移約束彈簧剛度值和旋轉約束彈簧剛度值同時設置為無窮大，就相當于模擬了四邊固支的邊界條件。

圖1　任意邊界條件下板結構示意圖Fig.1 A plate with general elastic boundary support

根據薄板振動理論，各向異性矩形板自由振動的控制方程為：

(1)

式中：D1=E1h3/[12(1-v1v2)]，D2=E2h3/[12(1-v1v2)]，D3=D12+2D66，D12=v1D2=v2D1，D66=G12h3/12，w為撓度，ρ為密度，h為厚度，E1、E2、v1、v2和G12為板的彈性常數，ω為角頻率。

彎曲振動的位移場可以通過沿x和y軸方向的兩個分量來描述，本文中，位移采用二維改進傅里葉級數展開來表示：

(2)

式中：λm=mπ/a，λn=nπ/b，Amn、clm、dln分別為用來描述板結構彎曲振動未知的Fourier系數和輔助級數的系數。與x相關的輔助函數分別表示為：

(3)

(4)

(5)

(6)

與y相關的輔助函數可以將式(3)-(6)中的a和x分別用b和y進行替換得到。通過輔助級數的引入，解決了振動位移導數在邊界不連續的問題。從而此位移函數可以同時滿足位移邊界條件和力的邊界條件。這種改進的傅里葉級數解能適用于任意的彈性邊界條件，同時也能改善級數的收斂性。

將式(2)代入式(1)中有：

(7)

將所有的輔助級數及其導數均展開為Fourier余弦級數，并利用方程左右兩端余弦項系數相等有：

(8)

式中：m=0,1,2,…,n=0,1,2,…，輔助級數及其導數的Fourier展開為：

(9)

(10)

當所有級數展開在數值計算過程中均截斷于m=M和n=N，方程(8)可以寫為如下矩陣形式：

(BA+CP)-ρhω2(EA+FP)=0

(11)

式中：A=[A00,A01,…,A0N,A10,A11,…,A1N,…,AM0,AM1,…,AMN]，P=[c10,c11,…,c1M,c20,c21,…,c2M,…c40,c41,…,c4M,d10,d11,…,d1N, …,d40,d41,…,d4N] 。

2彈性約束邊界條件

根據薄板理論，彈性約束邊界條件寫為：

在y=0上,

(12)

(13)

在y=b上,

(14)

(15)

在x=0上,

(16)

(17)

在x=a上,

(18)

(19)

式中：kx0和Kx0(kxa和Kxa)分別表示x=0(x=a)處橫向位移和旋轉約束彈簧剛度，ky0和Ky0(kyb和Kyb)分別表示y=0(y=b)處橫向位移和旋轉約束彈簧剛度。

將式(2)代入式(12)~(19)中，并將輔助級數展開Fourier級數，由方程兩端余弦項系數相等有：

(20)

(21)

(22)

(23)

上面四個式子中，m=0,1,2,…。

(24)

(25)

(26)

(27)

式(24)~(27)中，n=0,1,2,…。

當級數的截斷數取為m=M和n=N時，式(20)-(27)可寫成矩陣表達示為：

ΗP=QA

(28)

將式(28)代入式(11)中，可得到最終的系統方程為

[K-(ρhω2/D1)M]A=0

(29)

式中：K=(B+CH-1Q)/D1，M=(E+FH-1Q)。

通過求解這一標準和矩陣特征值即可得到正交各向異性矩形板的固有頻率和特征向量，每階特征向量為所對應結構模態形狀分布的Fourier系數。

3數值結果與討論

文中用C表示固支邊界條件，F表示自由邊界條件，S表示簡支邊界條件。為了驗證本文方法的準確性，表1給出了不同長寬比和邊界條件下矩形薄板的前六階無量綱頻率參數Ω=ωa2(ρh/D1)1/2，矩形板的彈性參數為D2=0.5D1,D3=0.5D1。表中SSSS表示沿邊界x=0，y=0，x=a和y=b的邊界條件都為簡支，簡支邊界條件可通過設置橫向位移約束彈簧剛度值為無窮大，旋轉約束彈簧剛度值為零，在本文中，無窮大取為107×D1。同時表中也給出了文獻[12]中采用延拓Kantorovich法得到的結果；表2給出了彈性參數為D2=D1,D3=0.5D1的矩形薄板在不同長寬比和邊界條件下的無量綱頻率參數，同時也給出了文獻[10]通過分離變量法得到的計算結果。通過比較可以發現本文方法得到的結果與其它方法得到的結果吻合良好，在本文計算過程中，兩個方向的位移展開采用相同的截斷數，取值為M=N=14。同時，圖2給出了采用本方法得到的D2=D1,D3=0.5D1的矩形薄板在a/b=1時的前四階固有振型圖。

表1　 D2=0.5D1, D3=0.5D1時矩形板頻率的頻率參數

表2　 D2=D1, D3=0.5D1時矩形板頻率的頻率參數

圖2　SSCC矩形板前四階的振型Fig.2 The first four mode shapes for the SSCC rectangular plate

為了檢驗本文方法的收斂性，表3給出了各向異性矩形薄板在不同截斷數時的計算結果，板的長寬比a/b=1，彈性參數為D2=D1,D3=0.5D1，邊界條件為CCCC。從表中可以看出，M=N=5和M=N=20時得到的前八階無量綱固有頻率的最大偏差為0.22%，即本方法具有較好的收斂性，當截斷數取較小的值時就能得到比較精確的結果。

本文方法不僅可以計算經典邊界條件下矩形薄板的振動頻率，而且適用于彈性支撐的矩形板。表4給出了長寬比a/b=1的正交各向異性矩形薄板在不同彈性支撐剛度下的前8階無量綱振動頻率曲線。x=0和x=a上旋轉約束彈簧剛度值都為無窮大，y=0和y=b上旋轉約束彈簧剛度值都為零，而四邊上的橫向位移約束彈簧剛度值都為10k×D1。從表中可以看出，隨著彈簧剛度值的增加，矩形板的頻率也隨之增大，當k≥5時，數值幾乎不在變化，頻率值變為邊界條件為CSCS下的結果。從這里也能看出，本文看中剛度值無窮大取為107×D1是合適的。

表3　正交各向異性矩形板頻率的收斂性

表4　 彈性邊界條件下板的振動頻率

4結論

(1) 本文采用橫向位移約束彈簧和旋轉約束彈簧來模擬任意的彈性邊界條件，所有經典的邊界條件都可以通過設置四邊上的彈簧剛度值為無窮大或者零來模擬。

(2) 文中采用改進Fourier級數法建立了正交各向異性矩形薄板的自由振動模型，得到了板結構固有頻率的解析解。振動位移函數表示為一個標準的二維Fourier余弦級數和輔助級數的線性疊加。通過輔助級數的引入，解決了振動位移的導數在邊界潛在的不連續性問題，從而使改進Fourier級數法適用于任意彈性邊界條件下的矩形板。

(3) 本文方法中，所有的頻率參數可以通過求解一個標準的特征值問題而得到。對于不同邊界條件下的模態參數，只需設置相應的邊界彈簧剛度值，然后就可以通過統一的程序進行求解。

(4) 最后進行了數值分析，并與其它文獻的結果進行了比較，驗證了本方法的快速收斂性和準確性。

參 考 文 獻

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第一作者 曾軍才 男，高級工程師，1980年10月生

摘要：采用改進Fourier級數方法，建立了正交各向異性矩形薄板的彎曲振動模型，推導出與振動控制方程等價的矩陣方程，得到控制方程在任意邊界條件下的解析解。彎曲振動的位移函數表示為標準的二維Fourier余弦級數和輔助Fourier級數之和，通過輔助級數的引入，解決了振動位移函數的偏導數在各邊界處潛在不連續的問題。矩形板的振動模態信息能夠通過求解一個標準的矩陣特征值而得到。最后進行數值計算并與現有的文獻結果進行比較，驗證了該方法的快速收斂性和計算精確性。

關鍵詞：正交各向異性板；改進Fourier級數；任意彈性邊界條件；解析解

Free vibration characteristics of orthotropic rectangular plates

ZENGJun-cai1,WANGJiu-fa1,YAOWang2,YUTao2(1. No. 710 R&D Institute, CSIC, Yichang 433003, China;2. TCM China Tool Consulting & Management Ltd. Shanghai 200137, China)

Abstract:An improved Fourier series method was proposed to develop the transverse vibration model of orthotropic rectangular plates and derive the matrix equation which is equivalent to governing differential equations. An analytical solution for vibration of plates with general elastic boundary conditions was provided. The vibration displacement was solved as the linear combination of a double Fourier cosine series and an auxiliary series. The use of these supplementary series is to solve the discontinuity problem encountered in the partial differentials of displacement function along the edges. The vibration mode characteristics were obtained by solving the eigen values of the matrix. Several numerical examples were given and the comparison of the results with those of the available literature validates the convergence and correctness of the method.

Key words:orthotropic plates; improved Fourier series; general elastic boundary support; analytic solution

基金項目：國家自然科學基金(51075215,51475246);江蘇省自然科學基金(BK20131402)

中圖分類號:TP533

文獻標志碼：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.021

收稿日期：2014-10-13修改稿收到日期：2014-12-12