考慮剪切效應(yīng)時(shí)雙模量梁的自由振動(dòng)

吳　曉, 黃志剛, 楊立軍

(湖南文理學(xué)院，湖南　常德　415000)

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考慮剪切效應(yīng)時(shí)雙模量梁的自由振動(dòng)

吳曉, 黃志剛, 楊立軍

(湖南文理學(xué)院，湖南常德415000)

在土木、機(jī)械等實(shí)際工程中，振動(dòng)問(wèn)題是較為常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象。在結(jié)構(gòu)的振動(dòng)過(guò)程中，結(jié)構(gòu)的形狀、承載力會(huì)在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生急劇的變化，對(duì)結(jié)構(gòu)的工作性能和使用壽命會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。因此，工程設(shè)計(jì)人員對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題一直極為關(guān)注。大量的試驗(yàn)和研究表明，材料在絕對(duì)值相同的拉應(yīng)力或壓應(yīng)力作用下，會(huì)發(fā)生絕對(duì)值不同的拉應(yīng)變或壓應(yīng)變，即材料具有明顯的拉壓彈性模量不同的雙模量性質(zhì)。事實(shí)上，許多工程材料都在不同程度上表現(xiàn)出雙模量特性，如混凝土、復(fù)合材料等材料。工程設(shè)計(jì)中對(duì)材料的雙模量特性一般不予區(qū)分，現(xiàn)仍沿用經(jīng)典彈性理論分析計(jì)算雙模量結(jié)構(gòu)，在某些情況下會(huì)因本構(gòu)關(guān)系不符合造成較大誤差，有可能成為工程結(jié)構(gòu)失效的隱患。所以，在梁、彈性平面等問(wèn)題的結(jié)構(gòu)中，已經(jīng)開(kāi)始考慮材料的雙模量特性。文獻(xiàn)[1-2]采用有限元法分析了雙模量材料板的變形，文獻(xiàn)[3-5]研究了雙模量材料的本構(gòu)關(guān)系及簡(jiǎn)單的彈性平面問(wèn)題，文獻(xiàn)[6-7]研究了雙模量材料的簡(jiǎn)單桁架問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]研究了雙模量圓板中心在沖擊載荷作用下的彈性計(jì)算，文獻(xiàn)[9-13]研究了雙彈性模量材料板的彎曲問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]研究了不同模量彎壓柱的解析解并證明了軸向力對(duì)雙模量梁中性軸位置有影響，文獻(xiàn)[15]研究了拉壓不同模量橫力彎曲梁的解析解，文獻(xiàn)[16]研究了不同模量彎曲梁的自由振動(dòng)。本文利用雙模量材料純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體，推導(dǎo)出了雙模量材料剪切彈性模量表達(dá)式，在考慮剪切效應(yīng)的基礎(chǔ)上，研究了雙模量梁自由振動(dòng)問(wèn)題。

1雙模量材料剪切彈性模量

在實(shí)際工程中，由于結(jié)構(gòu)受力多以平面應(yīng)力狀態(tài)居多，所以本文僅以雙模量材料結(jié)構(gòu)的平面應(yīng)力狀態(tài)為例，討論其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。當(dāng)雙模量材料結(jié)構(gòu)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，其受力單元體如圖1所示。

對(duì)于圖1所示雙模量材料平面應(yīng)力狀態(tài)單元體，可知其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系分別為

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

式中：E1、μ1為拉伸彈性模量、泊松比，E2、μ2為壓縮彈性模量、泊松比。

圖1　雙模量材料單元體Fig.1 Unit body of bimodulous material

圖2(a)所示雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，可知其受力單元體為圖2(b)所示純剪切狀態(tài)，所以由材料力學(xué)理論可以得到

(2)

式中：d為圓軸直徑。

圖2　雙模量扭轉(zhuǎn)模型Fig.2 Bimodulous torsion model

利用式(1b)或式(1c)及式(2)可以求得

(3)

由材料力學(xué)應(yīng)變公式可得以下各式

(4a)

(4b)

利用式(3)、式(4)可以求得

(5)

由于γxy=τ/G，雙模量材料剪切彈性模量為

(6)

2確定中性軸位置

因?yàn)殡p模量連續(xù)梁在外載荷作用下會(huì)形成拉壓彈性模量不同的拉伸區(qū)和壓縮區(qū)，所以研究雙模量梁的變形還需要確定其在外載荷作用下的中性層位置。由彈性理論可知雙模量梁彎曲時(shí)其拉壓區(qū)應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為

(7)

假設(shè)圖3所示雙模量梁在任意載荷作用下發(fā)生彎曲變形，且使梁產(chǎn)生的彎矩全都是正彎矩或全都是負(fù)彎矩時(shí)，以A點(diǎn)為力矩支點(diǎn)可知

(8)

圖3　載荷作用下雙模量梁Fig.3 Bimodulous beam under loads

由式(8)可以求得簡(jiǎn)支梁的支反力為

(9a)

(9b)

雙模量梁的支座約束反力確定后，即可寫(xiě)出雙模量梁任意截面的彎矩表達(dá)式M(x)。

雙模量梁彎曲時(shí)其橫截面內(nèi)力應(yīng)滿(mǎn)足以下關(guān)系

(10a)

(10b)

可把式(7)代入式(10)中得到下式

(11)

文獻(xiàn)[14]已經(jīng)證明了軸向壓力對(duì)雙模量梁中性軸的位置有較大影響。以上推導(dǎo)的雙模量梁中性軸位置公式與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果一致，由此可知作用在雙模量梁上的橫向載荷，對(duì)任意邊界條件下的雙模量梁中性軸位置無(wú)影響。

3振動(dòng)微分方程

假設(shè)雙模量梁坐標(biāo)方向如圖3所示。橫坐標(biāo)軸與梁振動(dòng)時(shí)的每個(gè)周期的前半波梁段，在初始狀態(tài)即未振時(shí)的中性軸重合。由材料力學(xué)理論可知雙模量梁的彎矩及剪力表達(dá)式分別為

(12)

由材料力學(xué)理論可知梁微段平衡方程為

(13a)

(13b)

利用式(12)、式(13)可以得到雙模量梁的振動(dòng)微分方程為

(14)

假設(shè)雙模量梁無(wú)外載荷作用即q=0，可令橫振位移的表達(dá)式為

y(x,t)=Y(x)sin(ωt+φ)

(15)

把式(15)代入式(16)中可得

(16)

由式(16)可以求得雙模量梁自由振動(dòng)振形函數(shù)為

Y(x)=A0sinαx+B0cosαx+C0shβx+D0chβx

(17)

式中：A0、B0、C0、D0均為常數(shù)。

對(duì)于簡(jiǎn)支雙模量梁的自由振動(dòng)，可知其邊界條件為

(18)

把式(17)代入式(18)中可以得到簡(jiǎn)支雙模量梁自由振動(dòng)時(shí)沿x軸方向的振型函數(shù)為

(19)

簡(jiǎn)支雙模量梁的固有頻率表達(dá)式為

(20)

對(duì)于簡(jiǎn)支雙模量梁固有振動(dòng)，由于每個(gè)周期的前半波梁段的中性軸與x軸方向重合，所以振型函數(shù)為式(19)。而每個(gè)周期的前半波梁段中性軸的波型與后半波梁段的波型相反，由此導(dǎo)致每個(gè)周期的前半波梁段的拉伸區(qū)、壓縮區(qū)與后半波梁段的拉伸區(qū)、壓縮區(qū)也相反，前半波梁段中性軸與后半波梁段中性軸之間的距離相差(h1-h2)，所以后半波梁段中性軸的波型函數(shù)為

(n=2,4,…)

(21)

所以，簡(jiǎn)支雙模量梁自由振動(dòng)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)的梁段中性軸的波型表達(dá)式為式(19)，n為偶數(shù)時(shí)的梁段中性軸的波型表達(dá)式為式(21)。

對(duì)于邊界條件為其它支承雙模量梁的自由振動(dòng)，利用其邊界條件及式(17)，采用上述方法同樣可以確定雙模量梁自由振動(dòng)的振型函數(shù)及固有頻率。

4算例分析

下面把不考慮剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁自由振動(dòng)影響時(shí)的頻率，與考慮剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁自由振動(dòng)影響時(shí)的頻率均列在表1中。

表1　簡(jiǎn)支雙模量梁固有頻率w (rad/s)

注：在表1中，括號(hào)[]中數(shù)據(jù)為E1=E2=172 GPa、m1=m2=0.34時(shí)簡(jiǎn)支單模量梁固有頻率，括號(hào)()中數(shù)據(jù)為E1=E2=295 GPa、m1=m2=0.395時(shí)簡(jiǎn)支單模量梁固有頻率，無(wú)括號(hào)數(shù)據(jù)為簡(jiǎn)支雙模量梁固有頻率。

對(duì)表1進(jìn)行分析可以看出：雙模量梁固有振動(dòng)頻率與單模量梁固有振動(dòng)頻率的誤差均在12%或16%以上，超過(guò)了工程允許的誤差，這說(shuō)明拉壓彈性模量相差較大時(shí)，雙模量梁固有振動(dòng)不宜采用單彈性模量經(jīng)典彈性理論，而應(yīng)采用雙彈性模量彈性理論，否則會(huì)引起較大的誤差。不考慮剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁固有振動(dòng)影響時(shí)的頻率與考慮剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁固有振動(dòng)影響時(shí)的頻率，當(dāng)簡(jiǎn)支雙模量梁固有振型為1、2階數(shù)時(shí)，兩者誤差分別為1.0%、3.0%，均在工程允許誤差的范圍內(nèi); 當(dāng)簡(jiǎn)支雙模量梁固有振型為3階數(shù)以上時(shí)，兩者誤差分別為6.0%超過(guò)了工程允許的誤差。并且隨著簡(jiǎn)支雙模量梁固有振型階數(shù)升高，兩者誤差越來(lái)越大，當(dāng)簡(jiǎn)支雙模量梁固有振型為10階數(shù)時(shí)兩者誤差達(dá)47%。這說(shuō)明剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁固有振動(dòng)低階振型時(shí)的頻率影響不大，對(duì)高階振型時(shí)的頻率是隨著振型階數(shù)升高影響越來(lái)越大。所以，對(duì)雙模量梁固有振動(dòng)高階振型時(shí)的頻率計(jì)算，必須要考慮剪切效應(yīng)的影響

5結(jié)論

(1) 拉壓彈性模量相差較大時(shí)，雙模量梁固有振動(dòng)不宜采用單彈性模量經(jīng)典彈性理論，而應(yīng)采用雙彈性模量彈性理論，否則會(huì)引起較大的誤差。

(2) 剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁固有振動(dòng)低階振型時(shí)的頻率影響不大，對(duì)高階振型時(shí)的頻率是隨著振型階數(shù)升高影響越來(lái)越大。雙模量梁固有振動(dòng)高階振型時(shí)的頻率計(jì)算，必須要考慮剪切效應(yīng)的影響。

(3) 雙模量梁自由振動(dòng)時(shí)，奇數(shù)波型與波型振型是不連續(xù)的存在間斷點(diǎn)。

參 考 文 獻(xiàn)

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第一作者 吳曉 男，博士，教授，1965年生

摘要：研究了考慮剪切效應(yīng)時(shí)雙模量梁自由振動(dòng)問(wèn)題。利用雙模量材料純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體，推導(dǎo)出雙模量材料剪切彈性模量表達(dá)式。在考慮剪切效應(yīng)的基礎(chǔ)上，建立雙模量梁振動(dòng)的微分方程，推導(dǎo)出了雙模量梁振動(dòng)問(wèn)題的振型表達(dá)式，并討論分析了剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁自由振動(dòng)固有頻率的影響。算例分析表明，對(duì)于某些雙模量梁自由振動(dòng)問(wèn)題，剪切效應(yīng)的影響是不能忽略的。得到了雙模量梁自由振動(dòng)時(shí)，奇數(shù)波型與波型振型是不連續(xù)的存在間斷點(diǎn)的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：剪切效應(yīng)；雙模量；梁；自由振動(dòng)；頻率

Natural vibration of bimodulous beam considering shear effect

WUXiao,HUANGZhi-gang,YANGLi-jun(Hunan University of Arts & Science, Changde 415000, China)

Abstract:Considering the shear effect, the natural vibration of a bimodulous beam was studied. The vibration differential equation of the bimodulous beam was established, the mode shapes of the bimodulous beam were derived, and the influence of shear effect on natural vibration frequencies of the bimodulous beam was analyzed. The computational results indicate that the influence of shear effect can not be ignored in some cases. The conclusion is that the odd number modal shapes of bimodulous beams are discontinuous and there are discontinuity points on the odd number type of modal waves.

Key words:shear effect; bimodulous; beam; natural vibration; frequency

基金項(xiàng)目：中國(guó)航空規(guī)劃建設(shè)發(fā)展有限公司資助項(xiàng)目(技13研-51)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178041)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2011JBM260)

中圖分類(lèi)號(hào):O321

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.026

收稿日期：2014-10-22修改稿收到日期：2014-12-18