“大問題”背景下的主體學習

趙紅婷

[摘 要]學生對圓形物體并不陌生，對圓的特征亦有初步感知。基于學生經驗，設計有關車輪的備學問題，激活學生有關于圓的經驗，并促使學生進行深度思考。“車輪為什么要做成圓形的？”這一樸素問題，直抵圓的本質屬性。將圓的學習放在一個大問題背景之下，通過交流展示、質疑研討，剖析車輪是圓形的原因和優勢，從而有效突出圓“一中同長”的特質。

[關鍵詞]準備先行 經驗分享 問題研討 反省總結 拓展延伸

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）01-006

【教學內容】蘇教版五年級下冊第85～97頁的例1、例2和隨后的“練一練”及練習十三的部分習題。

【教學目標】

1.使學生在觀察、畫圖、操作等活動中感受并發現圓的有關特征，知道什么是圓的圓心、半徑和直徑;能借助工具畫圓，能用圓規畫指定大小的圓;會用圓的知識解釋一些日常生活現象。

2.通過準備性活動，激活學生有關圓的經驗，并讓學生在活動中進一步積累認識圓的學習經驗，增強空間觀念。

3.使學生進一步體驗圖形與生活的聯系，感受平面圖形的學習價值，提高學生數學學習的興趣和學好數學的自信心。

【教學重點】理解和掌握圓的特征，學會用圓規畫圓的方法。

【教學難點】理解圓的有關概念，歸納圓的特征。

【教學過程】

一、備學先行——激活圓的各類經驗

課前設計三個備學引導題：

1.觀察車輪，試著用不同方法畫出車輪外圍的圓形，并說說怎樣畫圓更準確。

2.如果將車輪做成三角形、正方形、橢圓形等形狀，會出現什么情況？請從數學的角度來分析。

3.提出三個有關圓的問題。

讓學生課前獨立完成備學作業，教師瀏覽學生的作業情況后進行教學的二度設計。

【設計意圖：在生活中，圓隨處可見，學生熟悉圓形物體，并對圓有初步的感知。以車輪問題作為切入點，激活了學生關于圓的經驗，同時也促使學生進行深入思考。“車輪為什么要做成圓形的？”這一樸素的問題，直抵圓的本質屬性。這樣的備學，為學生的后續學習奠定了堅實的基礎。】

二、經驗分享——探索圓的主要特征

1.引出話題

師：說起圓，大家一定都不陌生，昨天我們還畫了圓、剪了圓。生活中，圓隨處可見，你能舉兩個例子嗎？

生：碗、硬幣、鬧鐘、旺仔牛奶罐……

師：生活中，人們經常把圓的東西說成是圓，區分得不太嚴格。比如，球、滾圓的蘋果，人們常會說它們是圓的。但是，在數學上，“圓”特指平面圖形。譬如，在紙上畫的圓。

師（出示碗、硬幣、鬧鐘、旺仔牛奶罐）：請你找出這些物體表面的圓。此時，我們只能說這些物體的某一個面是圓。

2.備學討論

師：最近，楠楠家買了一輛新車。有一天，他突然問我：“為什么車輪是圓形的？”我當時就愣住了，車輪當然是圓形的，這還用問嗎？要說理由，還真不太好說！但這確實是一個值得研究的問題，今天我們就重點來研究這個問題。關于汽車車輪的特點，我們前幾天已經進行了的備學。現在，請四人為一組討論備學作業，每個同學都要傾聽其他同學的想法，并試著解決他們的問題。組長要分好工，召集大家提煉出典型的問題！

（學生分組討論，試著提煉出主要的發現和問題）

3.交流展示

（1）分享畫車輪外形的方法

師：請一個小組代表介紹畫車輪的方法。

生1：可以沿著實物的邊畫，也可以徒手畫，或者用圓規畫。

師：怎樣畫更準確？

生1：用圓規畫更準確。

師：怎樣用圓規畫圓呢？

生1：捏住圓規的柄，針尖定在紙上，兩腳叉開一定距離，另一只腳旋轉一周，就能畫出一個圓。

師（示范畫圓，假裝不小心失敗）：用圓規也不能成功畫圓，問題可能出在哪里？

生1：圓規的兩腳距離發生了變化或針尖移動了位置。

（學生演示用圓規畫圓）

師：在畫車輪外形的過程中，你能感受到車輪做成圓形的原因嗎？

（2）指出圓的本質

師：如果車輪是三角形、正方形、橢圓形的，又會怎樣呢？

（課件演示四種輪子的汽車行進的場景，讓學生再次感悟）

生1：圓沒有角，正方形、三角形有角。橢圓形雖然沒有角，但一面長，一面短，不便于滾動。

生2：如果車輪做成正方形、三角形或橢圓形，車子在行進的過程中會高低不平、忽上忽下，而且前進的阻力會很大。如果車輪是圓形的，車子的軸都經過圓的中心，而圓心到圓周上的任意一點的距離都是相等的，所以在行進的過程中，車軸到地面的距離都是相等的，車子自然就能走得很平穩。

生3：由于圓上的各點到中心點（圓心）的距離相等，所以圓在滾動時，圓心在一條直線上運動，這樣坐在車上的人就會覺得很平穩。由于正方形、橢圓形等邊上各點到中心點的距離不一樣，使得在運動過程中，中心點運動的路線不是一條直線，人坐在這樣的車上就會感覺到顛簸。

（課件出示三角形、正方形、橢圓形、圓形等車輪形狀圖，引導學生觀察這些圖形，展示點到邊的一些線段，讓學生判斷中心到邊的距離是否都相等。通過對比，使學生理解圓的中心到邊上任何一點的距離都相等。）

師（揭示圓心、半徑的概念及字母表達式。讓學生在圓中標出圓心，用字母O表示;畫出一條半徑，用字母r表示）：可以畫多少條半徑？它們的長度怎樣呢？為什么？

生4：可以畫無數條半徑，它們的長度都相等。

生5：畫圓時，圓規兩腳間的距離不變，所以半徑都相等。

師（揭示直徑的概念，并用字母d表示直徑）：直徑可以畫多少條？它們的長度怎樣呢？為什么？

生6：直徑有無數條，長度都相等。

師：請從數學角度說說為什么車輪是圓的。

生8：因為從圓心到圓上任意一點的距離都相等。

生9：因為半徑都相等。

師： 兩千年前，偉大的思想家墨子說過：“圓，一中同長也。”請讀一讀這句話，說一說“一中”指的是什么，“同長”指的是什么。

生10：“一中”指的是圓心，“同長”指的是從圓心到圓上各點的距離一樣長。

師：“一中同長”高度概括了圓的特征。

（3）與以前學習過的平面圖形進行對比

師（出示圖形，引導學生比較）：圓跟我們以前學過的圖形有怎樣的聯系？

生1：以前學過的圖形都是直線圖形，而圓是曲線圖形，但它們都是平面圖形。

【設計意圖：介紹車輪畫法以及由此引出的畫圓過程，使學生初步感受到圓的特征。畫圓時，圓規的針尖需要固定（即為定點），兩腳間距離不變（即為定長）。借助車輪是三角形、正方形、橢圓形的假說，反向揭示了圓的特征。學生充分發表見解后，教師通過課件演示不同形狀的車輪，讓學生明白了車輪做成圓形的道理。最后，將各種車輪抽象成幾何圖形，對比各種圖形中心到各邊的距離，巧妙突出了圓“一中同長”的特征。】

三、問題研討——凸顯圓的本質屬性

呈現學生備學中產生的主要問題。

問題1：怎樣找到圓的直徑呢？

學生動手操作，并匯報演示。

問題2：怎樣找到圓的中心呢？

學生動手操作，并匯報交流。

生1：如果是圓紙片，只要對折兩次就能找到圓心。

生2：如果不能對折，畫兩條直徑，就能確定圓心，或者畫一條直徑，找到中點即為圓心。

師（隨著學生回答，課件出示更多共性問題，如：圓的面積怎么計算？圓的周長怎么計算？圓周率是什么？……）：這些問題留給大家課后思考。

【設計意圖：學習總是從產生疑問開始的。小組交流過程中，一些簡單問題已解決;全班研討時，一些共性的重要問題也基本解決。這時，教師要鼓勵學生將心中的疑問提出來，針對典型的問題進行研討。隨著怎樣確定圓的直徑、圓心等問題的解決，學生對圓的特征會有更深層次的理解。】

四、反省總結——完善圓的知識結構

師：學習了圓，你有什么收獲？

生1：我知道圓有無數條半徑和直徑，同一個圓的半徑長度都相等，直徑是半徑的2倍。

師：“圓，一中同長也。”這句話反過來說是“一中同長，圓也”，對嗎？

師（課件出示球體）：如果不限于平面內，球是不是也“一中同長”？在一個平面內，“一中同長”的就是圓，在立體空間里，“球”也是“一中同長”。數學就是這樣嚴謹而又奇特！

【設計意圖：總結能回顧所學知識，并促使知識形成體系。此處的反思，跳離了圓之本身，并隨著對“一中同長，圓也”的辨析，將視野從平面的圓向立體的球延展。】

五、拓展延伸——開闊圓的知識視野

師（出示正方形車輪的自行車）：車輪一定要做成圓形嗎？帶有正方形車輪的自行車看上去有些不切實際，但實際上它仍可以駕駛，只是它在平坦的道路上有些“大材小用”了，它更適合在像齒輪狀的非平坦道路上行駛。

師（出示太極圖，如下圖）：你見過這樣的圖嗎？

師（出示大圓套小圓的圖，圖略）：小圓半徑是3厘米，大圓半徑是幾厘米？直徑呢？請大家課后思考。

【設計意圖：課的結束并不意味著研究的終止。教師繼續追問：“車輪一定要做成圓形嗎？”這一問題變換了一種思路，為學生打開了新的視野。讓學生課后繼續研究數學名題，帶著問題走出教室，課的張力可見一斑。】

【教后反思】

這是我第二次執教“圓的認識”，跟第一次相比，思路有了很大變化。第一次執教“圓的認識”時，我緊扣“一中同長”，突出了圓的本質特征。而這次，我將學習放在了一個“大問題”背景之下，通過分析車輪是圓形的優勢，突出了圓“一中同長”的特質。

源于事實的剖析。從熟悉的車輪入手，讓學生在畫車輪、研究車輪的過程中掌握圓的特征，真正做到了“讓數學源于生活”。畫車輪時，因為車輪是實物，學生想出了不同的方法，師生重點研究用圓規畫圓。畫圓時，定點和定長的把握，正好與圓心和半徑的特點吻合。為什么車輪是圓形的？對這一司空見慣現象的追問，打開了學生思維的閘門。隨著其他形狀車輪的假設和演示，學生在對比中再次認識到，長方形、三角形車輪都會使汽車在行進過程中產生顛簸，從而深刻領悟到圓形車輪的優勢。

基于直觀的抽象。將不同形狀的車輪抽象成相應圖形后追問：“為什么其他形狀的車輪會產生顛簸？”能夠引導學生從數學的角度去思考這一問題。學生在相互啟發下發現，其他圖形中心到邊的距離并不完全相同，而圓的中心到邊的距離都相等，這是圓形車輪行駛平穩的原因，也是圓的重要特征。從直觀的車輪中抽象出數學問題，通過不斷追問和對比，學生成功探索了圓的特征，建構了圓的模型。數學模型的建立，基于直觀又超越了直觀，這樣的抽象是有根基的，這樣的教學也是有深度的。

高于現象的追問。“一中同長”是圓的本質特征，也是本課的靈魂，但教者并未滿足于此。總結后，教師繼續追問：“‘圓，一中同長也。’這句話反過來說是‘一中同長，圓也’，對嗎”？學生的視角立刻從平面走向了立體。整節課雖然一直在研究圓形車輪，課尾卻突然劍走回鋒——出示正方形車輪的自行車。“車輪一定要做成圓形嗎？”這個問題打破了學生的思維定式，使他們認識到，在某種特定情況下，正方形車輪也能平穩行走。世間并無絕對之事，新奇的問題，打開了學生思維的另一扇窗。

（責編 金 鈴）