復合函數求單調區間的數形結合方法

馮艷超

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）28-0133-01

對于復合函數求單調區間的問題常用解決方法有兩種：第一種方法可以用導數方法來求；但是解不等式有的時候難度很大；第二種方法可以用數形結合的方法來求。這種求復合函數單調區間的方法直觀、簡便、易懂、便于學生掌握，是值得一試的好方法?，F將這種方法解析如下：

比如，求函數y=log■（x2-4x-5）的單調區間。

解：要先分內外層：內層函數為：t=x2-4x-5；外層函數為： y=log■t，畫出內層函數t=x2-4x-5的圖像；由內層圖像可直接觀察得到內層函數的定義域和單調區間，外層函數y=log■t當t∈（0，∞）是減函數，用方向箭頭代表單調性標在內層圖像上；在x軸上方圖像對應外層函數為減函數，x軸下方圖像無對應的外層單調性即復合函數在這部分范圍無意義，只觀察內層和外層單調性都同時存在的部分即可；x∈（-∞，-1）內層函數是減函數，外層函數是減函數，所以根據同增異減的原則復合函數在x∈（-∞，-1）是增函數；同理在x∈（5，+∞）內層函數是增函數而對應外層函數是減函數，根據同增異減的原則復合函數在是x∈（5，+∞）減函數。即：復合函數在區間（-∞，-1）是增函數，在區間（5，+∞）減函數。

現將此方法總結一下：復合函數求單調區間，首先要把復合函數分為內層函數和外層函數；其次畫內層函數圖像，這是因為自變量范圍和單調區間能直接可觀察；第三步求出外層函數的單調區間標畫在內層函數的圖像上；第四步根據內外層函數的同增異減原則直接得出復合函數的單調區間。

再比如，求y=（sinx）2-sinx+1的單調區間。

解：內層函數： t=sinx

外層函數：y=t2-t+1在t≥■范圍上是增函數，在t≤■范圍上是減函數。

周期函數畫一個周期的圖像即可，由圖可知直線t=■上方的內層函數圖像對應外層函數單調性是增函數；t=■下方的內層函數圖象對應外層函數單調性是減函數；要先求出t=■與內層函數的交點的橫坐標，因為交點把內層函數分成四段對應不同的外層單調性，在區間-■，■內層函數是增函數對應外層函數是減函數，所以在這個區間復合函數是減函數；在區間■，■內內層函數是增函數對應外層函數是增函數，所以在這個區間復合函數是增函數；其他同理可得；因為內層函數是周期函數，所以寫復合函數的單調區間加上周期即可，所以復合函數單調區間即：2k？仔-■，2k？仔+■（k∈z）和2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）是增函數；2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）和2k？仔+■，2k？仔+■（k∈z）是減函數。

這種數形結合求復合函數單調區間的方法非常容易掌握，簡便易懂，是值得推廣的方法，如果大家有興趣可以試試以下兩個題；能幫助我們鞏固一下這種數形結合的方法。

練習：1.求y=log3（x2-2x-3）的單調區間。

2.求y=（cosx）2+cosx-2的單調區間。