緊扣對(duì)應(yīng)的視角，理解函數(shù)的根本
——以“一次函數(shù)的圖像”的教學(xué)為例

☉江蘇省張家港巿第二中學(xué)陳曉芳

緊扣對(duì)應(yīng)的視角，理解函數(shù)的根本
——以“一次函數(shù)的圖像”的教學(xué)為例

☉江蘇省張家港巿第二中學(xué)陳曉芳

一、寫在前面

最近在某微信群里，不少同行圍繞函數(shù)的概念展開了激烈的教學(xué)研討，其中大家對(duì)函數(shù)在初、高中階段的定義有不同的認(rèn)識(shí)，并給出各自不同的理解.其中，北京航空航天大學(xué)的李尚志博士有如下評(píng)論：“函數(shù)的根本點(diǎn)是對(duì)應(yīng)，也就是自變量決定因變量.這算是公理.當(dāng)你求函數(shù)值的時(shí)候，實(shí)際上是把自變量各自孤立地看成一個(gè)一個(gè)的值，一個(gè)求因變量，這就只剩下對(duì)應(yīng)不考慮變化.好比把動(dòng)畫和視頻截成一張張照片.如果你考慮定義域中各不同值的變化關(guān)系，因變量也被拖著有相應(yīng)的變化關(guān)系，這是更高級(jí)的對(duì)應(yīng)：變化的對(duì)應(yīng)，包括變化速度的對(duì)應(yīng).我從來不贊成一個(gè)數(shù)學(xué)概念有不同版本，初中版本、高中版本、大學(xué)版本，以及福建版本、江蘇版本等.初中與高中可能側(cè)重點(diǎn)不同，不是函數(shù)概念的不同，函數(shù)概念只有一個(gè)：對(duì)應(yīng).而是對(duì)自變量的關(guān)注點(diǎn)不同.靜止的自變量對(duì)應(yīng)于靜止的因變量，變化的自變量對(duì)應(yīng)于變化的因變量，大學(xué)則關(guān)注自變量變化速度與因變量變化速度的關(guān)系，就是導(dǎo)數(shù).”受到啟發(fā)，筆者近期開設(shè)一次函數(shù)的圖像研討課，就基于“對(duì)應(yīng)”的不同層次和視角，取得了較好的教學(xué)效果，本文梳理該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)解讀教學(xué)立意，提供分享與研討.

二、“一次函數(shù)的圖像”教學(xué)流程

1.開課階段

一組練習(xí)：已知函數(shù)y1＝-6x，y2＝-6x+5.

（1）當(dāng)x＝1時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的y1，y2的值；

（2）當(dāng)y1＝6時(shí)，求相應(yīng)的x的值；

（3）當(dāng)y2＝11時(shí)，求相應(yīng)的x的值；

（4）平面直角坐標(biāo)系中，若直線y＝-6x經(jīng)過點(diǎn)A（1，a），求a的值.

設(shè)計(jì)意圖：通過一組運(yùn)算求值，為后續(xù)研究函數(shù)圖像做好必要的準(zhǔn)備，同時(shí)也是函數(shù)概念中的對(duì)應(yīng)的最低層次的形式：?jiǎn)我坏淖宰兞康闹祵?duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)值.

2.一次函數(shù)的圖像

例1畫出函數(shù)y1＝-6x，y2＝-6x+5的圖像.

安排學(xué)生用“列表、描點(diǎn)、連線”法畫出函數(shù)圖像（在同一平面直角坐標(biāo)系中）.學(xué)生畫出圖像后，引導(dǎo)比較上面兩個(gè)函數(shù)圖像的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，并預(yù)設(shè)如下問題：

問題1：這兩個(gè)函數(shù)圖像的形狀都是什么？它們的傾斜程度如何？

問題2：函數(shù)y1＝-6x的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，而函數(shù)y2＝-6x+ 5的圖像與y軸交于哪個(gè)點(diǎn)？

問題3：函數(shù)y2＝-6x+5的圖像可以看成是函數(shù)y1＝-6x的圖像平移得到的嗎？如何平移呢？

問題4：比較兩個(gè)函數(shù)的解析式，你能說出兩條直線具有上述關(guān)系的道理嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過畫圖和上述思考，引導(dǎo)學(xué)生歸納出形如y1＝-6x，y2＝-6x+5這樣的函數(shù)圖像都是直線，且互相平行，它們的圖像可以通過平移得到.同時(shí)在點(diǎn)評(píng)階段還要注意引導(dǎo)學(xué)生注意兩種函數(shù)圖像前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這也是本課基于“對(duì)應(yīng)”的一個(gè)視角.

3.一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例2畫出函數(shù)y＝2x-1和y＝-0.5x+1的圖像.

預(yù)設(shè)提醒：由于上面我們已總結(jié)出一次函數(shù)的圖像是直線，因此根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，所以只需要確定兩個(gè)點(diǎn)就能畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像了.

在學(xué)生畫出圖像之后，預(yù)設(shè)追問如下問題：

問題1：有人是先畫出直線y＝2x，然后再將其平移也能得出直線y＝2x-1，你知道他是怎么做的嗎？

問題2：你能否先畫出y＝-0.5x的圖像，然后通過平移得出y＝-0.5x+1的圖像？

問題3：有人在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝x+1和y＝-x+1的圖像，發(fā)現(xiàn)這兩條直線也有特殊的位置關(guān)系？你覺得他發(fā)現(xiàn)了什么？

問題4：你再快速畫出函數(shù)y＝2x+1和y＝-2x+1的圖像，看看它們是否還有上面發(fā)現(xiàn)的一些性質(zhì)？哪些性質(zhì)還成立？哪些不成立？

設(shè)計(jì)意圖：通過上述追問讓學(xué)生在練習(xí)快速畫出一次函數(shù)圖像的同時(shí)，學(xué)會(huì)觀察不同的一次函數(shù)之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)問題的能力.

問題5：仍然從對(duì)應(yīng)的角度來研究一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，比如，同學(xué)是否發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y＝kx+b中，當(dāng)k為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，對(duì)函數(shù)的圖像有何影響呢？

問題6：在一次函數(shù)y＝kx+b中，當(dāng)b為正數(shù)、0或負(fù)數(shù)時(shí)，對(duì)函數(shù)的圖像有何影響呢？

問題7：從函數(shù)的增減性角度看，一次函數(shù)y＝kx+b中，y隨x的增大一定會(huì)增大嗎？如果不是，會(huì)受到哪個(gè)量的影響呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過一系列的問題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小.

評(píng)講時(shí)注意提醒學(xué)生的方法：我們先通過觀察發(fā)現(xiàn)圖像的規(guī)律，再根據(jù)這些規(guī)律得出關(guān)于數(shù)值大小的性質(zhì)，這種數(shù)形結(jié)合的研究方法在今后函數(shù)學(xué)習(xí)中是十分重要的.

鞏固練習(xí)：在同一直角坐標(biāo)系下畫出下列函數(shù)的圖像，并解答相關(guān)問題：

y＝-2x-1，y＝-2x，y＝-2x+1.

（1）寫出直線y＝-2x-1與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）對(duì)于函數(shù)y＝-2x+1，y隨x的增大而_____；（填“增大”或“減小”）

（3）指出上述三條直線的共同之處與不同之處；

（4）將直線y＝-2x+1向下移3個(gè)單位得到的直線解析式是什么？

4.小結(jié)與運(yùn)用

我們就以函數(shù)y＝-2x+1為例，從“對(duì)應(yīng)”的不同層次小結(jié)一次函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)：

第一層次，賦值求值，即當(dāng)x取一個(gè)值時(shí)，求出相應(yīng)的y的值；這時(shí)每組數(shù)對(duì)都是“孤立”的；

第二層次，從數(shù)到形，把第一層次中得出的有序數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)到坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，描出這些點(diǎn)；

第三層次，把第二層次中描出的點(diǎn)用平滑的線連接起來，得到函數(shù)完整的圖像，從函數(shù)關(guān)系式出發(fā)，對(duì)應(yīng)著一個(gè)連接的圖像；

第四層次，研究并分析函數(shù)隨著自變量的變化（增大或減小），函數(shù)相應(yīng)是如何變化的，即函數(shù)增減性如何變化.

聽課檢測(cè)：（1）已知函數(shù)y＝（k-3）x+1.

①當(dāng)其圖像是過第一、二、三象限的直線時(shí)，求k的取值范圍；

②若函數(shù)值y隨x的增大而減小，求k的取值范圍.

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.預(yù)設(shè)追問，在追問中滲透“對(duì)應(yīng)思想”

根據(jù)章建躍博士提出的“三個(gè)理解”，從“理解數(shù)學(xué)”的層面來看，本課的教學(xué)立意主要是基于“對(duì)應(yīng)”的不同層次；從“理解學(xué)生”的層面來看，我們選擇了貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的問題情境引入新課；從“理解教學(xué)”的層面來看，我們通過對(duì)教學(xué)流程中主要活動(dòng)（如畫圖像）之后，注重預(yù)設(shè)了系列追問，通過這些追問不僅鞏固新知，而且重在滲透“對(duì)應(yīng)思想”，一直到課堂小結(jié)階段，又從不同層次跟學(xué)生明確和梳理本課中的多種“對(duì)應(yīng)”層次.

2.重視練習(xí)，在練習(xí)中傳遞“練習(xí)精神”

近讀鐘啟泉教授著作，鐘教授關(guān)于練習(xí)的“系統(tǒng)開發(fā)”有如下論述：洞察“練習(xí)”的本質(zhì)，學(xué)會(huì)領(lǐng)悟自身的自然本性，發(fā)現(xiàn)自我、修煉自我、完善自我，從而有助于使“練習(xí)”真正擁有人性的高度，使“練習(xí)精神”在學(xué)校教育中熠熠生輝——這就是“練習(xí)”的系統(tǒng)開發(fā)的終極目標(biāo).所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要精心設(shè)計(jì)練習(xí)環(huán)節(jié)，而不是隨手摘錄、簡(jiǎn)單復(fù)制，需要根據(jù)所訓(xùn)練的例題、數(shù)學(xué)活動(dòng)，編擬、改編成適合各個(gè)教學(xué)活動(dòng)之后的跟進(jìn)練習(xí)，既讓學(xué)生得到必要訓(xùn)練，又通過這些不同形式的練習(xí)向?qū)W生傳遞一種“練習(xí)精神”：從系列練習(xí)中發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)（與新知的關(guān)系，不同小題之間的關(guān)系），理解對(duì)應(yīng)（函數(shù)的對(duì)應(yīng)思想）.

四、結(jié)束語(yǔ)

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的核心概念，既是數(shù)式、方程、不等式的“升級(jí)版”，又引導(dǎo)著后續(xù)數(shù)學(xué)（如微積分）的發(fā)展，教師備課、教學(xué)時(shí)需要有大局觀，才能在教學(xué)細(xì)節(jié)處體現(xiàn)出取舍的智慧.想來，“思考大問題，設(shè)計(jì)小細(xì)節(jié)”也許應(yīng)該成為我們教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)追求吧.

1.章建躍.全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個(gè)關(guān)鍵［J］.課程·教材·教法，2015（5）.

2.鐘啟泉.讀懂課堂［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

3.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

4.陳乘風(fēng).依靠基本套路，踐行單元教學(xué)——以“矩形、菱形”第1課時(shí)教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（2）.H