小議評課的視角——以“直線和圓”為例

☉江蘇省連云港市厲莊高級中學柏貴業

小議評課的視角——以“直線和圓”為例

☉江蘇省連云港市厲莊高級中學柏貴業

課堂教學水平是教師最基本的教學訴求，是一個教師立足講臺最根本的點.在很多不同場合，人教版教材編者北師大錢躍鈴教授多次提出對當下課堂教學的看法：第一，要把教材中編者的編寫意圖通過教學設計進行滲透；第二，教師要不斷提高對教材的閱讀能力，這就需要教師多走出去、多交流探討、多評評課，相互切磋才有提高；第三，課堂教學宜慢不宜快，現在有些課不能說是數學課，而是訓練課，因為教師對于知識的不理解造成了只有通過大量訓練去理解數學，這樣的課堂需要改變.

無獨有偶，從學生層面我們也感受到另一種看法：數學課非常枯燥，就是不斷的做題，不好玩，讓人提不起興趣.而且課堂教學中也沒有什么順序性，題目編排隨意，問題千變萬化，總之與其他學科相比，興趣不大.

要解決上述問題，只有提高課堂教學才是關鍵.筆者認為，這不僅提高了學生對課堂教學的興趣，而且也提高了教師對教材中知識的理解，一舉兩得.本文從筆者聆聽的一堂“直線和圓”的復習課入手，與大家一起剖析評價看看課堂教學如何才能更高效、更有效，不當之處請讀者批評指正.

一、教學回顧

筆者簡單介紹本復習課的流程：

1.知識回顧

該教師羅列直線和圓的三種位置關系：相交、相切、相離，并用代數和幾何雙重角度引導學生復習直線和圓問題解決的一般方向，并從題型教學的角度給出了一般需要解決的類型：求弦長、求圓方程、求切線、求圓心角、求弦心距、求點線距離、求最值范圍等.

2.新課簡介

該教師羅列三種問題類型，第一類型是弦心距的使用，第二類型是切線問題求解，第三類型是圓心到直線距離的問題，最后給出高考真題再現.問題如下：

例1已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0.（1）判斷直線kxy+8=0和圓的位置關系，并說明理由.（2）是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓經過原點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

例2已知圓C1：x2+y2=1，C2：（x-3）2+（y-4）2=4，由點M向C1，C2所引切線長相等，求動點M的軌跡方程.

例3點P是直線2x+y+10=0上一點，PA，PB與圓x2+ y2=4分別相切于A，B兩點，求四邊形PAOB面積的最小值，并求此時P點的坐標.

3.高考真題再現

例4（2015年湖南文13）若直線3x-4y+5=0與圓x2+ y2=r2（x＞0）相交于A、B兩點，且∠AOB=120°（O為坐標原點），則r=__________.

例5（2013年湖北文14）已知圓O：x2+y2=5，直線l： xcosθ+ysinθ=1）.設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數為k，則k=_____________.

例6（2016年江蘇18）在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4），設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程.

4.課堂小結

請學生回顧本課所使用直線和圓的基本知識和基本技能.

二、評價視角

對于課堂教學的評價，結合上述案例，可以從這么幾方面入手：

1.情境視角

本課并未在復習環節使用情境，筆者認為這也無可厚非，畢竟情境不是任何知識都需要的.但是從數學具備運用價值這一角度來看，有情境總比沒有來得更好，尤其是在一些公開展示課環節，筆者認為還是不宜缺失情境的引入.此處讓筆者想起的是曾經觀摩的一堂省級展示課，教師就本課使用過的一個情境——“駕校繞鐵餅的視頻”來引入，顯然這樣的生活實例比較貼近生活，經過課件上形象的圖片展示，讓學生又產生了“原來如此”的感嘆，使學生了解了數學在生活中是無處不在的，引發了之后的學習興趣，既合理地引入了知識，又體現了數學的生活之用.

2.設計視角

這里對于某些例題的設計和掌控，筆者認為有些商榷之處：本課時所要教授的直線與圓位置關系判斷的幾何法與代數法并不難，是不是可以把前半節課到例2為止的內容都設計成學生的小組合作探究活動，讓學生充分參與到知識的生成過程中來，并在各練習與例題的解答上作展示與補充，筆者想是不是更能讓學生體會到學習的動力與成就感.因為新課程的理念就是要注重學生知識體系的自我生成，單純的講授可能會帶來更多教師的理解而不是學生的理解.

比如該老師在講例1時，解題過程中關于“為什么先要判斷點在圓外？為什么會出現分類討論？為什么數形結合更直觀”的結論都給出的很快，可能學生課后想想是對的，但在課堂上學生的體驗并不如表達的那么流暢，其實，這些并不一定要老師來講明，是可以通過學生的自主探究來體驗和默會的，這就是數學學習為什么“悟性”很重要的原因.

其次，筆者拿到這份學案，第一感覺是沒有課本例題，后半段全是題型教學，當然這是有老師的用意的，但筆者覺得教材中問題是我們上課時不能丟棄的.課本兩個例題是體現本課時教學目標的典型例題，即“如何判斷直線與圓位置關系”和“已知位置關系如何求方程”.其中例2的課本解答在學生預習時是會產生遺留問題的，它是已知過定點的直線被圓截得的弦長，求直線方程，課本解答是從設直線方程為點斜式開始，最后幾何法求出了兩解.答案正確，但不能展現思維過程，因為直線斜率是否存在是需要考慮的，而課本過程易誘導學生忽視這一點，那么我們可以在探究過程中請學生自己去發現它的問題，以及思考如何正確解決？也就自然引出了作圖，說明數形結合是最好的辦法.

再次，筆者不太贊同該老師在本課時教學中去強調幾何法相對代數法的簡潔，這點教師不說，學生也知道，上臺板演的兩位學生就同時選擇了幾何法.而從單元設計的角度來看這課時的地位與作用：幾何法是初中就已學的，這里主要是利用點到直線的距離公式，起到的是“承上”的作用，教師應強調它的本質還是解析幾何的“坐標法”.代數法則是從方程入手把握線圓位置關系，真正涉及了解析幾何的核心，它比幾何法煩瑣是代數法求解解析幾何問題的特征，“不一定很難卻一定很繁”，很繁為什么還要講，因為它具有一般性，它是為之后講圓錐曲線與直線位置關系做鋪墊的，起到的是“啟下”的作用，在此教師應說明現在學習代數法不是雞肋，而是為今后學習中需要的幾何問題代數化的抽象思維來預熱，目的是使得學生學到圓錐曲線與直線位置關系時有一種豁然開朗的頓悟：噢，現在才是主題，才是適用性更廣、更一般化的思考方式.在學生熟練了代數法之后，再來提及幾何法在解題上的優越性，又是一般到特殊的思維變遷，更突顯了幾何法的靈動.

3.創編視角

當然本課也不是毫無優點，以例3為一個引子，展開的一系列探究展示了該老師的個人修養與教學魅力，將學生與在場老師都深深吸引，漸進式的探究也讓學生感嘆原來前半節課簡簡單單的幾何判斷法竟有如此大的作用，得到了這一系列優美結論，學生的心靈再次受到震撼，這種展示數學美的教育功能正是我們平時追求和尋找的，在此堂課上得到了完美的詮釋.另外，筆者認為學生與教師形成了一種默契，不論是個別回答還是齊聲作答都顯示了該老師在平時注重啟發引導學生思考的習慣，同時學生的預習也很到位.

整體而言，就筆者來看，上述對于教材問題處理的不合理，以及問題間聯系的不緊密，使得整個課堂教學比較松散，也沒有明確的主線.因此可以課后做出一些反思、評價，為后續提升教學有效性和教師專業化水準繼續努力.

從現階段很多觀摩課中，筆者發現對于復習課的教學設計需要做精心的準備，這種準備是歷經教師教學經驗的一種積淀，并尊崇下列原則：對教材例題進行深加工.以本課為例，筆者以為可以從教材的例題出發，結合高考問題進行深加工：

例7（教材必修2）已知直線l：3x+y-6=0與圓心為C的圓C：x2+y2-2y-4=0.判斷直線l和圓C的位置關系；若相交，求出它們的交點坐標.

使用建議：學生探究，代數和幾何兩種方式求解.

創編問題1：若直線l：3x+4y-m=0與圓C：x2+y2-2y-4= 0相切，則m=______________.

創編問題2：若直線l：3x-4y+5=0與圓C：x2+（y-1）2=r2相交于A、B兩點，且∠ACB=120°（C為圓心），則r= ___________.

問題探究：直線l：x+2y-10=0，設圓C：x2+（y-1）2=5上到直線l的距離為Δ=1的點的個數為k，則k=__________.

（3）請你說說看，k值有多少種可能呢？（五種，k=0、1、2、3、4均有可能，請同學們課后做詳細的探究）

有興趣的讀者可以對比下筆者給出的創編問題1、2和問題探究，都是基于高考真題的一種改編（分別是2015年安徽文8、2015年湖南文13、2013年湖北文14、2016年江蘇18），這種基于教材的改編和源自高考真題的結合，使得教學往往來得更具張力.

4.反思視角

從應試角度而言，本課原有的課堂設計、實施、練習達到了一定的預期，但從課堂教學發展的方向和新課程實施的理念來說，完全是背道而馳.從這樣的課堂中，筆者也充滿了深深的憂慮：可見很多時候我們的常態課教學更是如此！其一，內容繁雜、沖淡主線，該老師本課所涉及的知識其實并非一堂課可以完成，將其開發成一個專題或系列更好，從本課作為復習的第一課時而言，其重點依舊側重于用幾何法研究直線和圓的位置關系，因此可以刪減類型一中求直線方程、類型二中相關求切線方程、切線長等問題.本課明線在于dr，暗線在于數形結合思想的體現，即幾何法.其二，數學訓練試題的設計結構缺乏一體化，體現在問題間的連貫性不足、審題耗時較多等.以上文中，筆者提供的問題串創編一體化設計的改編方式，大大提高了復習課教學的利用效率.

總之，從一堂課的評價中，筆者也反思了數學教學不僅在于應試，更要有高一層次的境界追求，這也是教師專業化發展對于教師課堂教學水平、教學藝術的一種提煉，對于自身不斷提高課堂教學的水平有著極大的作用.

1.喻國勇.“研究”與“成長”齊飛秋水共長天一色——談命題研究與教師的專業化成長［J］.中學數學（上），2013（8）.

2.沈恒.腳踏實地仰望星空［J］.中學數學研究，2013（10）.